人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章 计数原理模拟卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章 计数原理模拟卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 384.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-04 08:42:21 | ||
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文档简介
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2023年高中数学计数原理模拟卷
一．选择题（共8小题）
1．＝（ ）
A．10 B．5 C．20 D．4
2．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64，则n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．2222除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
6．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．336
7．从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a2＝a3，则n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是﹣32x2 D．所有项的系数的和为1
（多选）10．下列选项正确的是（ ）
A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种
B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
（多选）11．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．n＝7
B．展开式中各项系数的和为1
C．展开式中第4项的系数为35
D．展开式中含x4项的系数为672
（多选）12．，若a1＝﹣6069，则下列结论正确的有（ ）
A．a＝3
B．
C．
D．（1+ax）2023的展开式中第1012项的系数最大
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，x2的系数为 ．
14．的展开式中x2项的系数为 ．
15．若，则＝ ．
16．设（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝ .（用数字作答）
四．解答题（共6小题）
17．已知（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a0+a1+a2+…+an的值．
18．在二项式的展开式中，
（1）若n＝6，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求二项展开式中的各项的系数之和．
19．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．
（1）求实数a的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．
20．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
21．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
22．已知．
（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；
（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x） g（x）展开式中的常数项．
2023年高中数学计数原理模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．＝（ ）
A．10 B．5 C．20 D．4
【分析】用排列数公式展开即可求得．
【解答】解：＝＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列数的计算，属于基础题．
2．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时k的取值，即可得出结果．
【解答】解：∵的展开式的通项为：
＝，
∴当系数为有理数时，，
∴k＝4时系数为有理数，即第五项系数为有理数．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项的应用，属基础题．
3．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64，则n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得n值．
【解答】解：在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64＝2n，
则n＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
4．2222除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二项式定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，2222＝（485﹣1）11＝，
由此可知2222除以5的余数，即为除以5的余数，
故所求余数为4．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
5．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案．
【解答】解：将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．336
【分析】由题意把甲乙捆绑成一个人，一排的8个座位相应变成7个座位，先排捆绑的人，再插入丙，根据分类计数原理，得出结论．
【解答】解：把甲乙捆绑成一个人，一排的8个座位相应变成7个座位，
若捆绑的人在两端，则中间有5个空可插入丙，此时，有 ＝20 种方法，
若捆绑的人在中间，则有4个空可插入丙，此时，有 ＝40 种方法．
综上可得，不同坐法种数为20+40＝60，
故选：B．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，相邻问题用的是捆绑法，属于中档题．
7．从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
【分析】先从除甲外的5人中任选3人，再在这三人中选择一人完成翻译工作，最后剩下的3人（含甲）完成其余的三项工作，然后由乘法原理得解．
【解答】解：先从除甲外的5人中任选3人，有种方式，
再在这三人中选择一人完成翻译工作，有种方式，
最后剩下的3人（含甲）完成其余的三项工作，有种方式，
则符合题意的不同选法有10×3×6＝180种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a2＝a3，则n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据二项式的展开式结合已知列方程，求出n值．
【解答】解：由题意，a2＝C，a3＝C，
∵C＝C，∴n＝5．
故选：A．
【点评】本题考查二项式的展开式的应用，考查组合数的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是﹣32x2 D．所有项的系数的和为1
【分析】根据二项展开式判断ABC，由赋值法可判断D．
【解答】解：因为展开式的通项公式为：
，
令2r﹣4＝0可得r＝2，∴常数项为T3＝24，∴A正确；
由通项公式可知，当r＝3时，第4项的系数为负数，故B错误；
第3项是，所以第三项为24，故C错误；
令x＝1可得所有项的系数的和为1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项的应用，属基础题．
（多选）10．下列选项正确的是（ ）
A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种
B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
【分析】根据题意，由组合数公式分析AB正确，列举分析可得C错误，D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，是排列问题，有A＝2520种不同的放法，A正确；
对于B，先将7个球分为5组，有3﹣1﹣1﹣1﹣1和2﹣2﹣1﹣1﹣1两种分组方法，则有C+＝140种分组方法，B正确；
对于C，用挡板法分析：将7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，有C＝21种不同的放法，C错误；
对于D，分3种情况讨论：①全部放入1个盒子中，有1种放法，②放入两个盒子中，有6﹣1、5﹣2、4﹣3，共3种放法，③放入3个盒子里，有1﹣1﹣5、1﹣2﹣4、1﹣3﹣3、2﹣2﹣3，共4种放法，则有1+3+4＝8种放法，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意排列与组合的定义，属于基础题．
（多选）11．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．n＝7
B．展开式中各项系数的和为1
C．展开式中第4项的系数为35
D．展开式中含x4项的系数为672
【分析】由展开式的二项式系数和为2n求出n，即可判断A；
令x＝1即可得到展开式各项系数和，从而判断B；
利用展开式的通项判断C、D．
【解答】解：对于A，因为的展开式的二项式系数和为2n，
所以2n＝128＝27，则n＝7，故A正确；
对于B，令x＝1，则，
所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；
对于C，因为的展开式通项为，
令k＝3可得第4项的系数为，故C错误；
对于D，在选项C中的通项公式中，
令，得k＝2，
则，
所以含x4项的系数为672，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
（多选）12．，若a1＝﹣6069，则下列结论正确的有（ ）
A．a＝3
B．
C．
D．（1+ax）2023的展开式中第1012项的系数最大
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而得到a，即可判断选项A；赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B、C；利用展开式系数之间的联系判断选项D．
【解答】解：对于A，由，可得a＝﹣3，故A错误；
对于B，因为，
令x＝1，则，故B正确；
对于C，令x＝0，则a0＝1，
令，则，故C正确；
对于D，由展开式知，a2n＞0，a2n﹣1＜0，故第1012项的系数a1011＜0，不会是展开式中系数最大的项，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，x2的系数为 40 ．
【分析】先求出在的展开式的通项公式，令x的系数为2，即可求解．
【解答】解：＝的展开式通项公式为Tr+1＝＝，
令，解得r＝2，
故x2的系数为．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14．的展开式中x2项的系数为 ﹣500 ．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：的展开式通项公式为＝，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
令6﹣2r＝2，解得r＝2，
故的展开式中x2项的系数为．
故答案为：﹣500．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．若，则＝ 0 ．
【分析】先令x＝0，求出a0，再令，得，进一步计算得出结果．
【解答】解：令x＝0，得a0＝1，
令，得，
则＝1﹣a0＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．设（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝ 729 .（用数字作答）
【分析】根据已知条件，推得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|为（1+2x）6展开式的系数和，再结合赋值法，即可求解．
【解答】解：（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，
则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|为（1+2x）6展开式的系数和，
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝（1+2）6＝36＝729．
故答案为：729．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．已知（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a0+a1+a2+…+an的值．
【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质，求得n值．
（2）在所给的等式中，令x＝1，即可求得a0+a1+a2+…+an的值．
【解答】解：（1）∵（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为2n＝32，∴n＝5．
（2）在（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a5x5（n∈N*）中，
令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a5＝﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
18．在二项式的展开式中，
（1）若n＝6，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求二项展开式中的各项的系数之和．
【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于整数，求得r的值，即可求得展开式中的有理项．
（2）由题意，先求出n的值，令再x＝﹣1，可得要求二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）二项式的展开式中，若n＝6，则二项式＝，
它的展开式中的通项公式为 Tr+1＝ （﹣2）r ，
令r＝0，3，6，可得展开式的有理项为T1＝ x2＝x2，T4＝ （﹣2）3 x﹣2＝﹣，T7＝ （﹣2）6 x﹣6＝．
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，即＝，∴n＝7，
故二项展开式中的各项的系数之和为（1﹣2）7＝﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
19．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．
（1）求实数a的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．
【分析】（1）由题意可得（2x﹣a）7＝[（2（x+1）﹣（a+2）]7＝a，根据二项式定理求出展开式中含（x+1）4的项，建立方程即可求解；（2）因为|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|的值为二项式[2（x+1）+1]7的展开式的各项的系数和，然后分别令x＝﹣1，0建立方程联立即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得（2x﹣a）7＝[（2（x+1）﹣（a+2）]7＝a，
则展开式中含（x+1）4的项为C＝﹣560（a+2）3（x+1）4，
所以﹣560（a+2）3＝﹣560，解得a＝﹣1；
（2）由（1）可知二项式为[2（x+1）﹣1]7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，
令x＝﹣1时，a0＝﹣1，
因为|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|的值为二项式[2（x+1）+1]7的展开式的各项的系数和，
所以令x＝0，则|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|＝37，
所以|a1|+...+|a6|+|a7|＝37﹣1＝2186．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
【分析】（1）6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；
（2）由题意可分为333，225，234三种分配方案，分别分组分配计算即可．
【解答】解：（1）依题意可得不同安排方法的总数为．
（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：
第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．
故不同安排方法的总数为．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
21．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
【分析】（1）设取x个红球，y个白球，根据题意可得x，y的值，由此容易得到符合题意的取法；
（2）由（1）可知，此时应取3个红球，2个白球，再利用分步计数原理即可得解．
【解答】解：（1）设取x个红球，y个白球，
则，解得或或，
所以符合题意的取法共有种；
（2）当总分为8分时，则取3个红球，2个白球，将抽出的这5个球排成一排，仅有两个红球
第一步先取球，有种；
第二步再排球，将两个红球绑在一起，并与另外一个红球排列，然后把2个白球插入，有种，
则符合题意的排法共有60×72＝4320种．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
22．已知．
（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；
（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x） g（x）展开式中的常数项．
【分析】（1）由2n＝128，得n＝7，再根据二项式展开式的通项公式，求T3，即可；
（2）由＝4﹣1，得n＝6，再分别写出f（x），g（x）展开式的通项公式，推出+3m＝14，其中r，m∈N，且r，m∈[0，6]，从而得r＝6，m＝3，再代入运算，得解．
【解答】解：（1）因为f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，所以2n＝128，得n＝7，
所以f（x）＝，
故f（x）展开式中的第3项为T3＝T2+1＝ ＝21 4x﹣1＝84．
（2）因为f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以n为偶函数，且＝4﹣1，即n＝6，
所以f（x）＝，其展开式的通项公式为Tr+1＝＝ ，
而g（x）＝展开式的通项公式为Tm+1＝＝ x12﹣3m，
要求f（x） g（x）＝ 展开式中的常数项，则需令（2﹣）+（12﹣3m）＝0，即+3m＝14，其中r，m∈N，且r，m∈[0，6]，
所以只有当r＝6，m＝3时，+3m＝14才成立，
故所求的常数项为 ＝10040．
【点评】本题考查二项式定理，熟练掌握二项式展开式的通项公式，二项式的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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2023年高中数学计数原理模拟卷
一．选择题（共8小题）
1．＝（ ）
A．10 B．5 C．20 D．4
2．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64，则n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．2222除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
6．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．336
7．从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a2＝a3，则n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是﹣32x2 D．所有项的系数的和为1
（多选）10．下列选项正确的是（ ）
A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种
B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
（多选）11．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．n＝7
B．展开式中各项系数的和为1
C．展开式中第4项的系数为35
D．展开式中含x4项的系数为672
（多选）12．，若a1＝﹣6069，则下列结论正确的有（ ）
A．a＝3
B．
C．
D．（1+ax）2023的展开式中第1012项的系数最大
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，x2的系数为 ．
14．的展开式中x2项的系数为 ．
15．若，则＝ ．
16．设（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝ .（用数字作答）
四．解答题（共6小题）
17．已知（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a0+a1+a2+…+an的值．
18．在二项式的展开式中，
（1）若n＝6，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求二项展开式中的各项的系数之和．
19．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．
（1）求实数a的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．
20．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
21．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
22．已知．
（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；
（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x） g（x）展开式中的常数项．
2023年高中数学计数原理模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．＝（ ）
A．10 B．5 C．20 D．4
【分析】用排列数公式展开即可求得．
【解答】解：＝＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列数的计算，属于基础题．
2．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时k的取值，即可得出结果．
【解答】解：∵的展开式的通项为：
＝，
∴当系数为有理数时，，
∴k＝4时系数为有理数，即第五项系数为有理数．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项的应用，属基础题．
3．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64，则n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得n值．
【解答】解：在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数和为64＝2n，
则n＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
4．2222除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二项式定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，2222＝（485﹣1）11＝，
由此可知2222除以5的余数，即为除以5的余数，
故所求余数为4．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
5．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案．
【解答】解：将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．336
【分析】由题意把甲乙捆绑成一个人，一排的8个座位相应变成7个座位，先排捆绑的人，再插入丙，根据分类计数原理，得出结论．
【解答】解：把甲乙捆绑成一个人，一排的8个座位相应变成7个座位，
若捆绑的人在两端，则中间有5个空可插入丙，此时，有 ＝20 种方法，
若捆绑的人在中间，则有4个空可插入丙，此时，有 ＝40 种方法．
综上可得，不同坐法种数为20+40＝60，
故选：B．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，相邻问题用的是捆绑法，属于中档题．
7．从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种 B．150种 C．180种 D．210种
【分析】先从除甲外的5人中任选3人，再在这三人中选择一人完成翻译工作，最后剩下的3人（含甲）完成其余的三项工作，然后由乘法原理得解．
【解答】解：先从除甲外的5人中任选3人，有种方式，
再在这三人中选择一人完成翻译工作，有种方式，
最后剩下的3人（含甲）完成其余的三项工作，有种方式，
则符合题意的不同选法有10×3×6＝180种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a2＝a3，则n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据二项式的展开式结合已知列方程，求出n值．
【解答】解：由题意，a2＝C，a3＝C，
∵C＝C，∴n＝5．
故选：A．
【点评】本题考查二项式的展开式的应用，考查组合数的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是﹣32x2 D．所有项的系数的和为1
【分析】根据二项展开式判断ABC，由赋值法可判断D．
【解答】解：因为展开式的通项公式为：
，
令2r﹣4＝0可得r＝2，∴常数项为T3＝24，∴A正确；
由通项公式可知，当r＝3时，第4项的系数为负数，故B错误；
第3项是，所以第三项为24，故C错误；
令x＝1可得所有项的系数的和为1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项的应用，属基础题．
（多选）10．下列选项正确的是（ ）
A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种
B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
【分析】根据题意，由组合数公式分析AB正确，列举分析可得C错误，D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，是排列问题，有A＝2520种不同的放法，A正确；
对于B，先将7个球分为5组，有3﹣1﹣1﹣1﹣1和2﹣2﹣1﹣1﹣1两种分组方法，则有C+＝140种分组方法，B正确；
对于C，用挡板法分析：将7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，有C＝21种不同的放法，C错误；
对于D，分3种情况讨论：①全部放入1个盒子中，有1种放法，②放入两个盒子中，有6﹣1、5﹣2、4﹣3，共3种放法，③放入3个盒子里，有1﹣1﹣5、1﹣2﹣4、1﹣3﹣3、2﹣2﹣3，共4种放法，则有1+3+4＝8种放法，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意排列与组合的定义，属于基础题．
（多选）11．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．n＝7
B．展开式中各项系数的和为1
C．展开式中第4项的系数为35
D．展开式中含x4项的系数为672
【分析】由展开式的二项式系数和为2n求出n，即可判断A；
令x＝1即可得到展开式各项系数和，从而判断B；
利用展开式的通项判断C、D．
【解答】解：对于A，因为的展开式的二项式系数和为2n，
所以2n＝128＝27，则n＝7，故A正确；
对于B，令x＝1，则，
所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；
对于C，因为的展开式通项为，
令k＝3可得第4项的系数为，故C错误；
对于D，在选项C中的通项公式中，
令，得k＝2，
则，
所以含x4项的系数为672，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
（多选）12．，若a1＝﹣6069，则下列结论正确的有（ ）
A．a＝3
B．
C．
D．（1+ax）2023的展开式中第1012项的系数最大
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而得到a，即可判断选项A；赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B、C；利用展开式系数之间的联系判断选项D．
【解答】解：对于A，由，可得a＝﹣3，故A错误；
对于B，因为，
令x＝1，则，故B正确；
对于C，令x＝0，则a0＝1，
令，则，故C正确；
对于D，由展开式知，a2n＞0，a2n﹣1＜0，故第1012项的系数a1011＜0，不会是展开式中系数最大的项，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，x2的系数为 40 ．
【分析】先求出在的展开式的通项公式，令x的系数为2，即可求解．
【解答】解：＝的展开式通项公式为Tr+1＝＝，
令，解得r＝2，
故x2的系数为．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14．的展开式中x2项的系数为 ﹣500 ．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：的展开式通项公式为＝，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
令6﹣2r＝2，解得r＝2，
故的展开式中x2项的系数为．
故答案为：﹣500．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．若，则＝ 0 ．
【分析】先令x＝0，求出a0，再令，得，进一步计算得出结果．
【解答】解：令x＝0，得a0＝1，
令，得，
则＝1﹣a0＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．设（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝ 729 .（用数字作答）
【分析】根据已知条件，推得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|为（1+2x）6展开式的系数和，再结合赋值法，即可求解．
【解答】解：（1﹣2x）6＝a6x6+a5x5+…+a1x+a0，
则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|为（1+2x）6展开式的系数和，
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|＝（1+2）6＝36＝729．
故答案为：729．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．已知（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a0+a1+a2+…+an的值．
【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质，求得n值．
（2）在所给的等式中，令x＝1，即可求得a0+a1+a2+…+an的值．
【解答】解：（1）∵（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），该展开式二项式系数和为2n＝32，∴n＝5．
（2）在（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a5x5（n∈N*）中，
令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a5＝﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
18．在二项式的展开式中，
（1）若n＝6，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求二项展开式中的各项的系数之和．
【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于整数，求得r的值，即可求得展开式中的有理项．
（2）由题意，先求出n的值，令再x＝﹣1，可得要求二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）二项式的展开式中，若n＝6，则二项式＝，
它的展开式中的通项公式为 Tr+1＝ （﹣2）r ，
令r＝0，3，6，可得展开式的有理项为T1＝ x2＝x2，T4＝ （﹣2）3 x﹣2＝﹣，T7＝ （﹣2）6 x﹣6＝．
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，即＝，∴n＝7，
故二项展开式中的各项的系数之和为（1﹣2）7＝﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
19．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．
（1）求实数a的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．
【分析】（1）由题意可得（2x﹣a）7＝[（2（x+1）﹣（a+2）]7＝a，根据二项式定理求出展开式中含（x+1）4的项，建立方程即可求解；（2）因为|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|的值为二项式[2（x+1）+1]7的展开式的各项的系数和，然后分别令x＝﹣1，0建立方程联立即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得（2x﹣a）7＝[（2（x+1）﹣（a+2）]7＝a，
则展开式中含（x+1）4的项为C＝﹣560（a+2）3（x+1）4，
所以﹣560（a+2）3＝﹣560，解得a＝﹣1；
（2）由（1）可知二项式为[2（x+1）﹣1]7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，
令x＝﹣1时，a0＝﹣1，
因为|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|的值为二项式[2（x+1）+1]7的展开式的各项的系数和，
所以令x＝0，则|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|＝37，
所以|a1|+...+|a6|+|a7|＝37﹣1＝2186．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
【分析】（1）6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；
（2）由题意可分为333，225，234三种分配方案，分别分组分配计算即可．
【解答】解：（1）依题意可得不同安排方法的总数为．
（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：
第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．
故不同安排方法的总数为．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
21．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
【分析】（1）设取x个红球，y个白球，根据题意可得x，y的值，由此容易得到符合题意的取法；
（2）由（1）可知，此时应取3个红球，2个白球，再利用分步计数原理即可得解．
【解答】解：（1）设取x个红球，y个白球，
则，解得或或，
所以符合题意的取法共有种；
（2）当总分为8分时，则取3个红球，2个白球，将抽出的这5个球排成一排，仅有两个红球
第一步先取球，有种；
第二步再排球，将两个红球绑在一起，并与另外一个红球排列，然后把2个白球插入，有种，
则符合题意的排法共有60×72＝4320种．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
22．已知．
（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；
（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x） g（x）展开式中的常数项．
【分析】（1）由2n＝128，得n＝7，再根据二项式展开式的通项公式，求T3，即可；
（2）由＝4﹣1，得n＝6，再分别写出f（x），g（x）展开式的通项公式，推出+3m＝14，其中r，m∈N，且r，m∈[0，6]，从而得r＝6，m＝3，再代入运算，得解．
【解答】解：（1）因为f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，所以2n＝128，得n＝7，
所以f（x）＝，
故f（x）展开式中的第3项为T3＝T2+1＝ ＝21 4x﹣1＝84．
（2）因为f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以n为偶函数，且＝4﹣1，即n＝6，
所以f（x）＝，其展开式的通项公式为Tr+1＝＝ ，
而g（x）＝展开式的通项公式为Tm+1＝＝ x12﹣3m，
要求f（x） g（x）＝ 展开式中的常数项，则需令（2﹣）+（12﹣3m）＝0，即+3m＝14，其中r，m∈N，且r，m∈[0，6]，
所以只有当r＝6，m＝3时，+3m＝14才成立，
故所求的常数项为 ＝10040．
【点评】本题考查二项式定理，熟练掌握二项式展开式的通项公式，二项式的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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