人教A版（2019）选择性必修第三册 第八章 统计套题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册 第八章 统计套题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-04 08:46:00 | ||
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文档简介
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2023年高中数学统计套题
一．选择题（共8小题）
1．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
2．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（ ）
A．甲的单场平均得分比乙低
B．乙的60%分位数为19
C．甲、乙的极差均为11
D．乙得分的中位数是16.5
3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（ ）
A．若a＝2，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B．若a＝4，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C．若a＝5，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D．若a＝6，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
5．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
B．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
C．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好
D．在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
6．根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A．60 B．55 C．50 D．45
7．已知变量的关系可以用模型y＝kemx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下．由表可得线性回归方程z＝3x+a，则k＝（ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A．e﹣3 B．e﹣2 C．e2 D．e3
8．关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（ ）
A．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
B．相关系数r越接近1，相关程度越强
C．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
D．残差平方和越小，拟合效果越好
二．多选题（共4小题）
（多选）9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D．85%分位数为4.5
（多选）10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；
女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4．
以下判断中正确的是（ ）
A．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2
C．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125
D．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
（多选）11．下列关于成对数据的统计说法正确的有（ ）
A．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越大，模型的拟合效果越差
（多选）12．某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A．这20人成绩的众数为75
B．这20人成绩的极差为30
C．这20人成绩的25%分位数为65
D．这20人成绩的平均数为75
三．填空题（共4小题）
13．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ．
14．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试．参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2．在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
15．设一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为6，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x8+1的方差是 ．
16．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 ．
四．解答题（共6小题）
17．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 25
未闯红灯数 85
合计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 5 15 20
未闯红灯人数 95 85 180
合计 100 100 200
将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
（1）将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
（3）结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．
18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），…，[140，150]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）．
19．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧．某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：
直播周期数x 1 2 3 4 5
产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
3.7 55 382 65 978 101
其中zi＝log2yi，＝
（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）①乙认为样本点分布在直线y＝mx+n的周围，并计算得回归方程为＝9.7x﹣10.1，以及该回归模型的相关指数R乙2＝0.98，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）
附：对于一组数据 （u1，v1）（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝，相关系数：R2＝1﹣．
20．据统计，某校高三打印室1﹣4月份购买的打印纸的箱数如表：
月份代号t 1 2 3 4
打印纸的数量y（箱） 60 65 70 85
（1）求相关系数r，并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与t的关系（若|r|≥0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，．
相关系数，参考数据：
21．中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办．
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱篮球 不喜爱篮球合计
男生 65 35 100
女生 25 75 100
合计 90 110 200
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）求P3，P4，并证明：为等比数列；
（ii）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍．某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y（%）如表所示．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
y 20% 30% 32% 39% 42% 46% 50%
（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r，并推断y与t线性相关程度；（已知：0.8≤|r|≤1，则认为y与t线性相关很强；0.3≤|r|＜0.8，则认为y与t线性相关一般；|r|＜0.3，则认为y与t线性相关较弱）
（2）求出y与t的回归直线方程（保留一位小数）；
（3）请判断，若2024年用在“A芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求？
附：相关数据：，，，．
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，．
2023年高中数学统计套题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
【分析】根据题意，由折线图分析数据，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，这14天中有4天空气质量指数在[150，200）之间，则有4天为“中度污染”，A错误；
对于B，从2日到5日空气质量逐渐下降，即空气质量越来越好，B正确；
对于C，将14组数据从小到大排列：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，其中位数为（179+214）＝196.5，C错误；
对于D，5日到7日的三天，数据相差比较大，则连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查由折线图分析数据，涉及中位数、方差的意义，属于基础题．
2．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（ ）
A．甲的单场平均得分比乙低
B．乙的60%分位数为19
C．甲、乙的极差均为11
D．乙得分的中位数是16.5
【分析】根据茎叶图、折线图，平均数、中位数、百分数、极差的求法判断各项的正误即可．
【解答】解：A：由茎叶图和折线图，甲比赛得分为{9，12，13，14，15，20，26，28}，平均得分为，
乙比赛得分为{9，14，15，16，17，18，19，20}，平均得分为，甲高于乙，故A错误；
B：由8×60%＝4.8，故乙的60%分位数为17，故B错误；
C：甲的极差为28﹣9＝19，乙的极差为20﹣9＝11，故C错误；
D：乙得分的中位数是，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了平均数、百分位数、中位数和极差的计算，属于基础题．
3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．
【解答】解：由频率分布直方图得：
甲地区：[40，60）的频率为（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，
∴甲地区用户满意度评分的中位数，
乙地区：[50，70）的频率为（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为0.035×10＝0.35，
∴乙地区用户满意度评分的中位数，
∴m1＜m2，
由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和方差的计算，属于基础题．
4．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（ ）
A．若a＝2，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B．若a＝4，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C．若a＝5，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D．若a＝6，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
【分析】根据极差、平均数、中位数的计算方法判断ABD；由波动程度判断C．
【解答】解：对于选项A：甲地区考核得分的极差为94﹣75＝19，乙地区考核得分的极差为99﹣74＝25，
即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故选项A错误；
对于选项B：甲地区考核得分的平均数为，
乙地区考核得分的平均数为，
即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故选项B错误；
对于选项C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94，
乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99，
由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故选项C正确；
对于选项D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为85，乙地区考核得分的中位数为84，即甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了极差、平均数、中位数的计算，属于基础题．
5．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
B．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
C．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好
D．在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
【分析】根据平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的定义，对选项的问题分析与判断即可．
【解答】解：对于A，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差不变，所以选项A错误；
对于B，样本数据按从小到大顺序排列为1、3、5、7、8、9、10、12、13、18，所以中位数是＝8.5，选项B错误；
对于C，刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好，选项C正确；
对于D，调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是简单随机抽样，不是系统抽样法，选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的理解与判断问题，是基础题．
6．根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A．60 B．55 C．50 D．45
【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解．
【解答】解：由表中数据，计算，，
因为回归直线方程过样本中心，
∴，
解得m＝60．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
7．已知变量的关系可以用模型y＝kemx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下．由表可得线性回归方程z＝3x+a，则k＝（ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A．e﹣3 B．e﹣2 C．e2 D．e3
【分析】根据样本中心点在回归方程上可得a＝﹣2，再利用对数运算法则即可得lnk+mx＝3x﹣2，所以k＝e﹣2．
【解答】解：由表格数据知，．即样本中心点为（3，7），
由z＝3x+a，得a＝7﹣3×3＝﹣2，
即z＝3x﹣2，
所以z＝lny＝lnk+mx＝3x﹣2，即lnk＝﹣2，可得k＝e﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
8．关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（ ）
A．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
B．相关系数r越接近1，相关程度越强
C．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
D．残差平方和越小，拟合效果越好
【分析】根据线性回归的性质可知：b的正负决定正负相关，可判断选项A，C；根据相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，可判断B；残差平方和越小，拟合效果越好，可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为回归直线方程中的b＜0，所以变量x，y成负相关关系，故选项A错误；
对于B，因为相关系数r的绝对值越接近1，相关度越强，所以当相关系数r越接近1，相关程度越强，故选项B正确；
对于C，因为回归直线方程中的b＝1.1＞0，所以变量x，y成正相关关系，故选项C正确；
对于D，因为残差平方和越小，拟合效果越好，所以选项D正确，
综上：说法不正确的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D．85%分位数为4.5
【分析】先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列，再逐项判断．
【解答】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
则这组数据的中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为：，
则方差为，故B正确；
第85%分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查了中位数，平均数和方差的计算，属于基础题．
（多选）10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；
女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4．
以下判断中正确的是（ ）
A．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2
C．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125
D．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
【分析】根据平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用频率估计概率可判断C选项；利用极差与男生、女生锻炼的平均时长的分布可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，由平均数公式可知，
女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于＝7.36875（h），A错；
对于B选项，因为16×0.8＝12.8，
因此，男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2h，B对；
对于C选项，男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的有4周，
所求概率为，C错；
对于D选项，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间（8，9）内共有8个，女生有4个，
男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间（7，10）内的共14个，女生为10个，
男生每周锻炼身体的平均时长的极差为10.1﹣6.3＝3.8，女生为9.4﹣5.1＝4.3，
据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，
所以，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，D对．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了平均数、极差的计算，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
（多选）11．下列关于成对数据的统计说法正确的有（ ）
A．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越大，模型的拟合效果越差
【分析】根据题意，由变量间相关关系的定义依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由变量相关的定义，可得A正确；
对于B，样本相关系数r的绝对值越大，样本数据之间线性相关的程度越高，则样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，B正确；
对于C，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据，C正确；
对于D，系数R2越大，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查变量间的相关关系，涉及回归分析的基本概念，属于基础题．
（多选）12．某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A．这20人成绩的众数为75
B．这20人成绩的极差为30
C．这20人成绩的25%分位数为65
D．这20人成绩的平均数为75
【分析】根据众数的概念，极差的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解．
【解答】解：对A选项，∵这20名学生的化学成绩的众数为75，∴A正确；
对B选项，∵这20名学生的化学成绩的极差为90﹣60＝30，∴B正确；
对C选项，∵20×25%＝5，∴这20人成绩的25%分位数为＝67.5，∴C错误；
对D选项，∵这20名学生的化学成绩的平均数为：
＝74，∴D错误．
故选：AB．
【点评】本题考众数的概念，极差的概念，百分位数的概念，平均数的概念，属基础题．
三．填空题（共4小题）
13．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 15 ．
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可．
【解答】解：由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
14．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试．参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2．在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
【分析】先由题意得到，再由数学成绩的标准差为求解．
【解答】解：设参加考试的49名学生的数学成绩为xi（i＝1，2，3，...，49），平均成绩为，
由题意得，
则全班50名学生的数学成绩的标准差为：，＝，＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数据标准差的计算，属于基础题．
15．设一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为6，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x8+1的方差是 54 ．
【分析】设x1，x2， ，x8的平均数为，结合x1，x2， ，x8的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得到3x1+1，3x2+1， ，3x8+1的平均数和方差．
【解答】解：设x1，x2， ，x8的平均数为，
则x1+x2+…+x8＝8，
又，
故3x1+1，3x2+1， ，3x8+1的平均数为，
方差为＝．
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了方差公式及方差性质的应用，属于基础题．
16．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 20.7 ．
【分析】根据百分位数的定义即可求解．
【解答】解：因为20×0.65＝13，
所以这组数据的第65百分位数是．
故答案为：20.7．
【点评】本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 25
未闯红灯数 85
合计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 5 15 20
未闯红灯人数 95 85 180
合计 100 100 200
将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
（1）将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
（3）结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．
【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得K2的值，结合附表，即可得到结论；
（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；
（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适当的经济处罚，得到相应的结论．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 15 25 40
未闯红灯人数 85 75 160
合计 100 100 200
因为
所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为，
而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，
故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．
（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；
②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．
【点评】本题考查独立性检验，属于基础题．
18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），…，[140，150]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）．
【分析】（Ⅰ）根据频率之和为1即可求解；
（Ⅱ）求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数，再根据平均数公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得（0.0010+0.0050+0.0100+a+0.0190+0.0250+a+0.0075+0.0025）×10＝1，解得a＝0.0150；
（Ⅱ）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为（0.0150+0.0075+0.0025）×10＝0.25，
由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%，
这次考试年级优秀人数为1800×25%＝450，
设样本的平均分数为，
＝（65×0.0010+75×0.0050+85×0.0100+95×0.0150+105×0.0190+115×0.0250+125×0.0150+135×0.0075+145×0.0025）×10＝108.35，
由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，
这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧．某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：
直播周期数x 1 2 3 4 5
产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
3.7 55 382 65 978 101
其中zi＝log2yi，＝
（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）①乙认为样本点分布在直线y＝mx+n的周围，并计算得回归方程为＝9.7x﹣10.1，以及该回归模型的相关指数R乙2＝0.98，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）
附：对于一组数据 （u1，v1）（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝，相关系数：R2＝1﹣．
【分析】（1）对y＝2bx+a两边取对数，得log2y＝bx+a，设z＝log2y，有z＝bx+a，根据已知数据求出z关于x的回归方程，即可得y关于x的回归方程；
（2）①计算可得R甲2≈0.90＜0.98，再由相关系数越大，拟合效果越好，得解；
②令＝9.7x﹣10.1＞8，求出x的范围，即可．
【解答】解：（1）对y＝2bx+a两边取对数，得log2y＝（bx+a）log22＝bx+a，
设z＝log2y，则z＝bx+a，
由表中数据可知，＝×（1+2+3+4+5）＝3，
所以＝＝＝0.95，＝﹣＝3.7﹣0.95×3＝0.85，
所以＝0.95x+0.85，
所以log2y＝0.95x+0.85，即y＝20.95x+0.85，
故y关于x的回归方程为y＝20.95x+0.85．
（2）①R甲2＝1﹣＝1﹣≈0.90＜0.98，
所以乙建立的模型拟合效果更好．
②令＝9.7x﹣10.1＞8，解得x＞≈1.9，
故该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为2次．
【点评】本题考查回归方程的求法与应用，相关系数的含义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．据统计，某校高三打印室1﹣4月份购买的打印纸的箱数如表：
月份代号t 1 2 3 4
打印纸的数量y（箱） 60 65 70 85
（1）求相关系数r，并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与t的关系（若|r|≥0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，．
相关系数，参考数据：
【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得；
（2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程，然后将t＝5代入回归方程即得．
【解答】解：（1）由已知数据可得＝，
又852＝19950，，
所以＝＝＝，
因为r＞0.75，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与t的关系；
（2）因为b＝＝＝＝8，，
所以y关于t的回归方程为y＝8t+50，
将t＝5代入回归方程，得箱，
所以预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为90箱．
【点评】本题主要考查了相关系数的计算，考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
21．中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办．
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱篮球 不喜爱篮球合计
男生 65 35 100
女生 25 75 100
合计 90 110 200
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）求P3，P4，并证明：为等比数列；
（ii）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算K2，对照附表即可得出结论．
（2）（i）根据题意写出P3、P4的值，第n次触球者是甲的概率记为Pn，n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，由此得出Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣），即可判断{Pn﹣}是等比数列；
（ii）写出Pn，计算P15和Q15＝（1﹣P15）的值，比较大小即可．
【解答】解：（1）假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
计算K2＝≈32.323＞10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意知，P1＝1，P2＝0，P3＝，P4＝×0+（1﹣）×＝；
证明：第n次触球者是甲的概率记为Pn，
则当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，
第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，
则Pn＝Pn﹣1×0+（1﹣Pn﹣1）×＝（1﹣Pn﹣1），
从而Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣），
又P1﹣＝，
所以{Pn﹣}是以为首项，公比为﹣的等比数列，
（ii）第n次触球者是甲的概率为Pn＝×+，
所以P15＝×+＝×+＞，
第15次触球者是乙的概率为Q15＝（1﹣P15）＝（1﹣×﹣）＝﹣×＜，
所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了概率与统计的应用问题，是难题．
22．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍．某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y（%）如表所示．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
y 20% 30% 32% 39% 42% 46% 50%
（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r，并推断y与t线性相关程度；（已知：0.8≤|r|≤1，则认为y与t线性相关很强；0.3≤|r|＜0.8，则认为y与t线性相关一般；|r|＜0.3，则认为y与t线性相关较弱）
（2）求出y与t的回归直线方程（保留一位小数）；
（3）请判断，若2024年用在“A芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求？
附：相关数据：，，，．
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，．
【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论；
（2）采用最小二乘法即可求得回归直线；
（3）将t＝9代入回归直线可求得，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论．
【解答】解：（1）折线图如下：
由题意得：，∴，∴，
∴，
∵|0.98|＞0.8，∴y与t线性相关很强；
（2）由题意得：，∴，
∴y关于t的回归直线方程为；
（3）2024年对应的年份代码t＝9，则当t＝9时，，
∴预测2024年用在“A芯片”上的研发费用约为500×60.5%＝302.5（万元），
∵302.5＞295，∴符合研发要求．
【点评】本题主要考查了利用最小二乘法求回归直线方程，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023年高中数学统计套题
一．选择题（共8小题）
1．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
2．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（ ）
A．甲的单场平均得分比乙低
B．乙的60%分位数为19
C．甲、乙的极差均为11
D．乙得分的中位数是16.5
3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（ ）
A．若a＝2，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B．若a＝4，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C．若a＝5，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D．若a＝6，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
5．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
B．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
C．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好
D．在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
6．根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A．60 B．55 C．50 D．45
7．已知变量的关系可以用模型y＝kemx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下．由表可得线性回归方程z＝3x+a，则k＝（ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A．e﹣3 B．e﹣2 C．e2 D．e3
8．关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（ ）
A．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
B．相关系数r越接近1，相关程度越强
C．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
D．残差平方和越小，拟合效果越好
二．多选题（共4小题）
（多选）9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D．85%分位数为4.5
（多选）10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；
女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4．
以下判断中正确的是（ ）
A．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2
C．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125
D．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
（多选）11．下列关于成对数据的统计说法正确的有（ ）
A．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越大，模型的拟合效果越差
（多选）12．某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A．这20人成绩的众数为75
B．这20人成绩的极差为30
C．这20人成绩的25%分位数为65
D．这20人成绩的平均数为75
三．填空题（共4小题）
13．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ．
14．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试．参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2．在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
15．设一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为6，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x8+1的方差是 ．
16．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 ．
四．解答题（共6小题）
17．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 25
未闯红灯数 85
合计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 5 15 20
未闯红灯人数 95 85 180
合计 100 100 200
将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
（1）将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
（3）结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．
18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），…，[140，150]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）．
19．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧．某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：
直播周期数x 1 2 3 4 5
产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
3.7 55 382 65 978 101
其中zi＝log2yi，＝
（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）①乙认为样本点分布在直线y＝mx+n的周围，并计算得回归方程为＝9.7x﹣10.1，以及该回归模型的相关指数R乙2＝0.98，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）
附：对于一组数据 （u1，v1）（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝，相关系数：R2＝1﹣．
20．据统计，某校高三打印室1﹣4月份购买的打印纸的箱数如表：
月份代号t 1 2 3 4
打印纸的数量y（箱） 60 65 70 85
（1）求相关系数r，并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与t的关系（若|r|≥0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，．
相关系数，参考数据：
21．中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办．
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱篮球 不喜爱篮球合计
男生 65 35 100
女生 25 75 100
合计 90 110 200
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）求P3，P4，并证明：为等比数列；
（ii）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍．某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y（%）如表所示．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
y 20% 30% 32% 39% 42% 46% 50%
（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r，并推断y与t线性相关程度；（已知：0.8≤|r|≤1，则认为y与t线性相关很强；0.3≤|r|＜0.8，则认为y与t线性相关一般；|r|＜0.3，则认为y与t线性相关较弱）
（2）求出y与t的回归直线方程（保留一位小数）；
（3）请判断，若2024年用在“A芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求？
附：相关数据：，，，．
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，．
2023年高中数学统计套题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
【分析】根据题意，由折线图分析数据，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，这14天中有4天空气质量指数在[150，200）之间，则有4天为“中度污染”，A错误；
对于B，从2日到5日空气质量逐渐下降，即空气质量越来越好，B正确；
对于C，将14组数据从小到大排列：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，其中位数为（179+214）＝196.5，C错误；
对于D，5日到7日的三天，数据相差比较大，则连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查由折线图分析数据，涉及中位数、方差的意义，属于基础题．
2．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（ ）
A．甲的单场平均得分比乙低
B．乙的60%分位数为19
C．甲、乙的极差均为11
D．乙得分的中位数是16.5
【分析】根据茎叶图、折线图，平均数、中位数、百分数、极差的求法判断各项的正误即可．
【解答】解：A：由茎叶图和折线图，甲比赛得分为{9，12，13，14，15，20，26，28}，平均得分为，
乙比赛得分为{9，14，15，16，17，18，19，20}，平均得分为，甲高于乙，故A错误；
B：由8×60%＝4.8，故乙的60%分位数为17，故B错误；
C：甲的极差为28﹣9＝19，乙的极差为20﹣9＝11，故C错误；
D：乙得分的中位数是，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了平均数、百分位数、中位数和极差的计算，属于基础题．
3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．
【解答】解：由频率分布直方图得：
甲地区：[40，60）的频率为（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，
∴甲地区用户满意度评分的中位数，
乙地区：[50，70）的频率为（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为0.035×10＝0.35，
∴乙地区用户满意度评分的中位数，
∴m1＜m2，
由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和方差的计算，属于基础题．
4．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（ ）
A．若a＝2，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B．若a＝4，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C．若a＝5，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D．若a＝6，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
【分析】根据极差、平均数、中位数的计算方法判断ABD；由波动程度判断C．
【解答】解：对于选项A：甲地区考核得分的极差为94﹣75＝19，乙地区考核得分的极差为99﹣74＝25，
即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故选项A错误；
对于选项B：甲地区考核得分的平均数为，
乙地区考核得分的平均数为，
即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故选项B错误；
对于选项C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94，
乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99，
由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故选项C正确；
对于选项D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为85，乙地区考核得分的中位数为84，即甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了极差、平均数、中位数的计算，属于基础题．
5．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
B．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
C．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好
D．在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
【分析】根据平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的定义，对选项的问题分析与判断即可．
【解答】解：对于A，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差不变，所以选项A错误；
对于B，样本数据按从小到大顺序排列为1、3、5、7、8、9、10、12、13、18，所以中位数是＝8.5，选项B错误；
对于C，刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好，选项C正确；
对于D，调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是简单随机抽样，不是系统抽样法，选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的理解与判断问题，是基础题．
6．根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A．60 B．55 C．50 D．45
【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解．
【解答】解：由表中数据，计算，，
因为回归直线方程过样本中心，
∴，
解得m＝60．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
7．已知变量的关系可以用模型y＝kemx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下．由表可得线性回归方程z＝3x+a，则k＝（ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A．e﹣3 B．e﹣2 C．e2 D．e3
【分析】根据样本中心点在回归方程上可得a＝﹣2，再利用对数运算法则即可得lnk+mx＝3x﹣2，所以k＝e﹣2．
【解答】解：由表格数据知，．即样本中心点为（3，7），
由z＝3x+a，得a＝7﹣3×3＝﹣2，
即z＝3x﹣2，
所以z＝lny＝lnk+mx＝3x﹣2，即lnk＝﹣2，可得k＝e﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
8．关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（ ）
A．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
B．相关系数r越接近1，相关程度越强
C．回归直线方程中变量x，y成正相关关系
D．残差平方和越小，拟合效果越好
【分析】根据线性回归的性质可知：b的正负决定正负相关，可判断选项A，C；根据相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，可判断B；残差平方和越小，拟合效果越好，可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为回归直线方程中的b＜0，所以变量x，y成负相关关系，故选项A错误；
对于B，因为相关系数r的绝对值越接近1，相关度越强，所以当相关系数r越接近1，相关程度越强，故选项B正确；
对于C，因为回归直线方程中的b＝1.1＞0，所以变量x，y成正相关关系，故选项C正确；
对于D，因为残差平方和越小，拟合效果越好，所以选项D正确，
综上：说法不正确的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D．85%分位数为4.5
【分析】先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列，再逐项判断．
【解答】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
则这组数据的中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为：，
则方差为，故B正确；
第85%分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查了中位数，平均数和方差的计算，属于基础题．
（多选）10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；
女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4．
以下判断中正确的是（ ）
A．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2
C．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125
D．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
【分析】根据平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用频率估计概率可判断C选项；利用极差与男生、女生锻炼的平均时长的分布可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，由平均数公式可知，
女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于＝7.36875（h），A错；
对于B选项，因为16×0.8＝12.8，
因此，男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2h，B对；
对于C选项，男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的有4周，
所求概率为，C错；
对于D选项，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间（8，9）内共有8个，女生有4个，
男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间（7，10）内的共14个，女生为10个，
男生每周锻炼身体的平均时长的极差为10.1﹣6.3＝3.8，女生为9.4﹣5.1＝4.3，
据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，
所以，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，D对．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了平均数、极差的计算，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
（多选）11．下列关于成对数据的统计说法正确的有（ ）
A．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越大，模型的拟合效果越差
【分析】根据题意，由变量间相关关系的定义依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由变量相关的定义，可得A正确；
对于B，样本相关系数r的绝对值越大，样本数据之间线性相关的程度越高，则样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，B正确；
对于C，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据，C正确；
对于D，系数R2越大，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查变量间的相关关系，涉及回归分析的基本概念，属于基础题．
（多选）12．某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A．这20人成绩的众数为75
B．这20人成绩的极差为30
C．这20人成绩的25%分位数为65
D．这20人成绩的平均数为75
【分析】根据众数的概念，极差的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解．
【解答】解：对A选项，∵这20名学生的化学成绩的众数为75，∴A正确；
对B选项，∵这20名学生的化学成绩的极差为90﹣60＝30，∴B正确；
对C选项，∵20×25%＝5，∴这20人成绩的25%分位数为＝67.5，∴C错误；
对D选项，∵这20名学生的化学成绩的平均数为：
＝74，∴D错误．
故选：AB．
【点评】本题考众数的概念，极差的概念，百分位数的概念，平均数的概念，属基础题．
三．填空题（共4小题）
13．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 15 ．
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可．
【解答】解：由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
14．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试．参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2．在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
【分析】先由题意得到，再由数学成绩的标准差为求解．
【解答】解：设参加考试的49名学生的数学成绩为xi（i＝1，2，3，...，49），平均成绩为，
由题意得，
则全班50名学生的数学成绩的标准差为：，＝，＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数据标准差的计算，属于基础题．
15．设一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为6，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x8+1的方差是 54 ．
【分析】设x1，x2， ，x8的平均数为，结合x1，x2， ，x8的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得到3x1+1，3x2+1， ，3x8+1的平均数和方差．
【解答】解：设x1，x2， ，x8的平均数为，
则x1+x2+…+x8＝8，
又，
故3x1+1，3x2+1， ，3x8+1的平均数为，
方差为＝．
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了方差公式及方差性质的应用，属于基础题．
16．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 20.7 ．
【分析】根据百分位数的定义即可求解．
【解答】解：因为20×0.65＝13，
所以这组数据的第65百分位数是．
故答案为：20.7．
【点评】本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 25
未闯红灯数 85
合计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 5 15 20
未闯红灯人数 95 85 180
合计 100 100 200
将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
（1）将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
（3）结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．
【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得K2的值，结合附表，即可得到结论；
（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；
（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适当的经济处罚，得到相应的结论．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：
45岁以下 45岁以上 合计
闯红灯人数 15 25 40
未闯红灯人数 85 75 160
合计 100 100 200
因为
所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．
（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为，
而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，
故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．
（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；
②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．
【点评】本题考查独立性检验，属于基础题．
18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），…，[140，150]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）．
【分析】（Ⅰ）根据频率之和为1即可求解；
（Ⅱ）求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数，再根据平均数公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得（0.0010+0.0050+0.0100+a+0.0190+0.0250+a+0.0075+0.0025）×10＝1，解得a＝0.0150；
（Ⅱ）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为（0.0150+0.0075+0.0025）×10＝0.25，
由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%，
这次考试年级优秀人数为1800×25%＝450，
设样本的平均分数为，
＝（65×0.0010+75×0.0050+85×0.0100+95×0.0150+105×0.0190+115×0.0250+125×0.0150+135×0.0075+145×0.0025）×10＝108.35，
由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，
这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧．某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：
直播周期数x 1 2 3 4 5
产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
3.7 55 382 65 978 101
其中zi＝log2yi，＝
（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）①乙认为样本点分布在直线y＝mx+n的周围，并计算得回归方程为＝9.7x﹣10.1，以及该回归模型的相关指数R乙2＝0.98，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）
附：对于一组数据 （u1，v1）（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝，相关系数：R2＝1﹣．
【分析】（1）对y＝2bx+a两边取对数，得log2y＝bx+a，设z＝log2y，有z＝bx+a，根据已知数据求出z关于x的回归方程，即可得y关于x的回归方程；
（2）①计算可得R甲2≈0.90＜0.98，再由相关系数越大，拟合效果越好，得解；
②令＝9.7x﹣10.1＞8，求出x的范围，即可．
【解答】解：（1）对y＝2bx+a两边取对数，得log2y＝（bx+a）log22＝bx+a，
设z＝log2y，则z＝bx+a，
由表中数据可知，＝×（1+2+3+4+5）＝3，
所以＝＝＝0.95，＝﹣＝3.7﹣0.95×3＝0.85，
所以＝0.95x+0.85，
所以log2y＝0.95x+0.85，即y＝20.95x+0.85，
故y关于x的回归方程为y＝20.95x+0.85．
（2）①R甲2＝1﹣＝1﹣≈0.90＜0.98，
所以乙建立的模型拟合效果更好．
②令＝9.7x﹣10.1＞8，解得x＞≈1.9，
故该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为2次．
【点评】本题考查回归方程的求法与应用，相关系数的含义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．据统计，某校高三打印室1﹣4月份购买的打印纸的箱数如表：
月份代号t 1 2 3 4
打印纸的数量y（箱） 60 65 70 85
（1）求相关系数r，并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与t的关系（若|r|≥0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于t的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，．
相关系数，参考数据：
【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得；
（2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程，然后将t＝5代入回归方程即得．
【解答】解：（1）由已知数据可得＝，
又852＝19950，，
所以＝＝＝，
因为r＞0.75，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与t的关系；
（2）因为b＝＝＝＝8，，
所以y关于t的回归方程为y＝8t+50，
将t＝5代入回归方程，得箱，
所以预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为90箱．
【点评】本题主要考查了相关系数的计算，考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
21．中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办．
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱篮球 不喜爱篮球合计
男生 65 35 100
女生 25 75 100
合计 90 110 200
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）求P3，P4，并证明：为等比数列；
（ii）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算K2，对照附表即可得出结论．
（2）（i）根据题意写出P3、P4的值，第n次触球者是甲的概率记为Pn，n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，由此得出Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣），即可判断{Pn﹣}是等比数列；
（ii）写出Pn，计算P15和Q15＝（1﹣P15）的值，比较大小即可．
【解答】解：（1）假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
计算K2＝≈32.323＞10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意知，P1＝1，P2＝0，P3＝，P4＝×0+（1﹣）×＝；
证明：第n次触球者是甲的概率记为Pn，
则当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，
第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，
则Pn＝Pn﹣1×0+（1﹣Pn﹣1）×＝（1﹣Pn﹣1），
从而Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣），
又P1﹣＝，
所以{Pn﹣}是以为首项，公比为﹣的等比数列，
（ii）第n次触球者是甲的概率为Pn＝×+，
所以P15＝×+＝×+＞，
第15次触球者是乙的概率为Q15＝（1﹣P15）＝（1﹣×﹣）＝﹣×＜，
所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了概率与统计的应用问题，是难题．
22．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍．某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y（%）如表所示．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
y 20% 30% 32% 39% 42% 46% 50%
（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r，并推断y与t线性相关程度；（已知：0.8≤|r|≤1，则认为y与t线性相关很强；0.3≤|r|＜0.8，则认为y与t线性相关一般；|r|＜0.3，则认为y与t线性相关较弱）
（2）求出y与t的回归直线方程（保留一位小数）；
（3）请判断，若2024年用在“A芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求？
附：相关数据：，，，．
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，．
【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论；
（2）采用最小二乘法即可求得回归直线；
（3）将t＝9代入回归直线可求得，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论．
【解答】解：（1）折线图如下：
由题意得：，∴，∴，
∴，
∵|0.98|＞0.8，∴y与t线性相关很强；
（2）由题意得：，∴，
∴y关于t的回归直线方程为；
（3）2024年对应的年份代码t＝9，则当t＝9时，，
∴预测2024年用在“A芯片”上的研发费用约为500×60.5%＝302.5（万元），
∵302.5＞295，∴符合研发要求．
【点评】本题主要考查了利用最小二乘法求回归直线方程，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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