6.2.3组合+6.2.4排组合数 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
复习回顾
2. 排列数公式
3. 全排列


1. 排列数的定义

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲乙， 甲丙， 乙丙
问题引入
从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组
有顺序
无顺序
排列
组合
甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙
探究新知
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.
组合定义:
思考：如何区分排列问题还是组合问题？
排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
练习：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题：
(1)从中选3辆，有多少种不同的方法？
(2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
没有顺序，是组合问题
有顺序，是排列问题
例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？
(3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？
(4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
解：(1) 是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(2) 是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？
(3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？
(4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
解：(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
例5 平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
分析: (1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题;
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题.
解：
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
？
思考
从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
组合数概念:
例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数, 表示为, 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为.
探究！前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系.
从3个不同元素中取出2个元素的组合数 =3.
运用同样的方法, 我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.
设这4个元素为a, b, c, d，那么从中取出3个元素的排列数=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数=4.
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
第1步 , 从4个元素中取出3个元素作为一组 , 共有种不同的取法；
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”:
第2步, 将取出的3个元素做全排列, 共有种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有
于是，根据分布乘法计数原理有
第1步 , 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法；
同样地, 求“从n个元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到:
第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有
所以，上面的组合公式还可以写成
这里n，m∈N*，并且m≤ n. 这个公式叫组合数公式.
例6.计算：(1)；(2)；(3)；(4).
l
解：根据组合数公式，可得
(1)；
(2)；
(3)； (4).
思考 观察例6的(1)与(2) ， (3)与(4)的结果，你有什么发现？ (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
例7 在100件产品中, 有98件合格品 , 2件次品 . 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
解: (1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有 (种).
例7 在100件产品中, 有98件合格品 , 2件次品 . 从这100件产品中任意抽出3件.
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
方法2 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
(3)方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品 , 包括有1件次品和有2件次品的情况, 因此根据分类加法计数原理, 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数为
变1.(1)判断下列问题是排列问题，还是组合问题.
①从集合中任取两个数相加，得到的和共有多少个？
②从集合中任取两个数相除，得到的商共有多少个？
③四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？
解：(1)组合；排列；排列.
变1.(2)已知这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合.
解：(2)可按顺序写出，即
所以所有组合为，，，，，.
题型一：组合的有关概念以及写法
题型二：简单的组合应用问题
例3.现从10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即.
解：(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种方法；第2类，选出的2名是女教师有种方法.根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
例3.现从10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法(种).
方法技巧：
解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
[提醒]在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
变3.现从10名教师，其中男教师6名，女教师4名.若从中选2名教师参加会议，则
(1)至少有1名男教师的选法有几种？
(2)最多有一名男教师的选法有几种？
解：(1)至少有1名男教师可分两类：
1男1女有种，2男0女有种.
由分类加法计数原理知有(种).
解：(2)最多有1名男教师包括两类：
1男1女有种，0男2女有种.
由分类加法计数原理知有(种).
课堂小结
(2)如何判断计数问题是排列问题还是组合问题？
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题, 即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(1)组合的定义:
归纳小结
3、组合数的概念:
4、组合数公式
从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.