2007年全国高考数学（山东卷）试卷分析
山东省高考数学阅卷点领导小组
一．试卷的整体评价
2007年是我省实施普通高中新课程后的首次普通高校全国统一招生考试，命题依据教育部《2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称考试说明）的要求，遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则．努力实现2007年度高考平稳过渡，在稳定的基础上有所创新，基本上延续了前两年我省高考数学自主命题的风格．
从试卷整体上看，试题侧重考查中学数学通性通法；突出文理科试题难度的差异及合理搭配；注意考查学生的创新意识和实践能力；重视在知识的交汇点处命题，加强对考生数学能力的综合考查；文理试卷难度设计比较恰当，较去年明显降低，具有较高的区分度、效度和信度．
1．实现平稳过渡，突出考查主干知识
试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分，占总分的40%；填空题4个，共16分，约占总分的10%；解答题6个，共74分，约占总分的50%，全卷合计150分．
全卷重点考查中学数学主干知识和方法(见表1)；侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于知识交汇点的考查．
表1：知识点分布表
理科
文科
题号
分值
题号
分值
代数
集合与常用
逻辑用语
（2）*（7）（9）
12
（2）*（7）
8
复数
（1）*
3
（1）
5
三角函数
（1）*（5）（6）*（20）
22
（4）（6）*（17）*
13
函数
（4）（6）*（16）*（22）*
16
（6）*（11）（13）（14）
16
线性规划
（2）*（14）*
5
（2）*（15）（19）
18
数列
（10）（17）
12
（10）（18）
12
导数与积分
（22）*
7
（21）
12
几何
向量
（11）
5
（5）（9）*（17）*
13
立体几何
（3）（19）
17
（3）（20）
17
解析几何
（13）（14）*（15）（16）*（21）
24
（9）*（16）（22）
21
概率
统计
统计
（8）
5
（8）
5
概率分布
（12）*（18）
15
（12）
5
计数原理
（12）*
2
0
算法
算法与框图
（10）
5
（10）
5
合计
150
150
*：各占一部分内容．
2．全力支持课改，凸现新课标新要求
从表1不难发现，考试内容体现了新课标的要求．算法与框图、统计、函数的零点、条件概率和常用逻辑用语，以及文科的复数等课标新增内容在试卷中都有所体现（见表2）．这个调整变化反映了高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路，同时又照顾到试卷涵盖的各部分内容的平衡．并注意对这些新增内容的考查把握适当的难度，注意到这部分内容的应用．如利用统计中的直方图考查学生收集、分析和整理数据的能力以及应用数学的意识；利用程序框图简约地表示解决问题的算法过程等．
另外，根据《考试说明》的考试要求的变化，对相应内容的考试要求也进行了调整．如文科（20）立体几何题随着考试要求的改变发生了变化，缩减了考试范围，降低了考试要求；文科（21）题，利用导数研究函数的性质，已不再限于多项式函数，扩展到对数函数等．
表2：新课标新增部分内容课时数与在试卷中占分数比例对照表
理科（180+108课时）
课时数
课时比例
分数
分数比例
算法与框图
12
4.2%
5
3.3%
统计与概率
24+22
16%
20
13.3%
合计
58
20.1%
25
16.7%
文科（180+72课时）
课时数
课时比例
分数
分数比例
算法与框图
12+6
7.1%
5
3.3%
统计与概率
24
9.5%
10
6.7%
合计
42
16.7%
15
10%
3．体现文理差异，内容要求有区别
命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．在06年文科试题偏难、分数偏低的情况下，07年数学试卷保持相同题占有比例基本不变（见表3），增加了不同题、减少了姊妹题的个数和分数．
如文（9）理（13）题都是解析几何中的抛物线问题，题干完全相同，但文科是选择题，而理科是填空题．由于选择题有选择支可作参考答案，显然文科较理科要求有所降低；理（16）文（14）都是考查基本不等式问题，但是理科题以对数函数图象恒过定点为条件，而文科题以指数函数图象恒过定点为条件，显然文科题要容易一些．另外在应用基本不等式时，理科题更具有技巧性；再如文科第（20）题和理科第（19）题都是立体几何题，虽然几何载体都相同，但是由于文理科考生的考试范围和要求不同，求解的问题和工具也不同，两者化简和运算的难度拉开了档次．不同题更是体现了文理科考生的不同考查要求，如文（21）和对应的理（22）都是利用导数研究函数的性质，但是给出的函数不相同，而且对分类与整合的能力要求也不一样，明显地提高了对理科学生数学能力的考查．这样处理符合新课标对文理科学生有不同学习要求的精神，符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况．
表3：文理科试题对照表
理科
文科
相
同
题
题号
（2）（3）（6）（7）(8)（10）（15）（21）
（2）（3）(6)（7）(8)（10）（16）（22）
分值
46分（41分）
48分（41分）
百分比
30.7（27.3）
32（27.3）
姊
妹
题
题号
（13）（16）（19）
（9）（14）（20）
分值
20分（60分）
21分（60分）
百分比
13.3（40）
14（40）
不
同
题
题号
（1）（4）（5）（9）（11）（12）（14）（17）（18）（20）（22）
（1）（4）（5）（11）（12）（13）
（15）（17）（18）（19）（21）
分值
84分（49分）
81分（49分）
百分比
56（32.7）
54（32.7）
注：分值和百分比两栏括号中为06年数据．
4．重视创新意识，保持应用题的考查
在数学学习和考试中怎样培养和考查学生的创新意识？怎样避免过多地考查学生死记硬背的内容？命题者在试题结构和解法设计上作了一些尝试，如今年文科立体几何第2小题是一个条件开放的探究性问题；文科15题和理科22题第3小题都需要构造一个函数来求解不等式问题；理（12）题的解法需要构造一个独立重复试验或网格图等，这些构造法要求考生的思维具有一定的灵活性和创新性，以往这种问题只是在数学竞赛中才会出现．
应用题是考查实践能力的一个很好的载体，通过设置应用题来考查学生在新的情景中实现知识迁移的能力，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的基本数学素养，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出学生的学习潜力．可以更好的实现新课标中倡导的学生实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．
今年高考题文理科均出现一大一小两个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年持平，难度变化不大．今年试卷中文理第（8）题是一个统计应用题．文（19）是一个线性规划的应用题：求解一个公司向两个电视台投放广告获取收益的问题．理（20）是一个正余弦定理的应用题，利用正余弦定理解三角形，求轮船的航速的实际问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，解法灵活多样，难度适中．由此可以让学生平时多去关心周围的社会和生活的世界，培养学生的数学应用意识．
理科
文科
应
用
题
题号
（8）（20）
（8）（19）
分值
17分（17分）
17分（17分）
百分比
11.3（11.3）
11.3（11.3）
表4：应用题分布表
注：分值和百分比两栏括号中为06年数据．
5．适度综合考查，提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是小综合的题目明显增多，很多题目是由多个知识点构成的（见表1打星号的题目）．如：理（9）是充要条件与集合运算、函数性质、不等式、函数的零点等知识的综合；文理（10）是程序框图与等差数列求和的综合；文（9）理（13）是抛物线与向量的综合；理（16）是指数函数、直线方程与基本不等式的综合；文（19）是线性规划在实际问题中的应用；文（17）是三角函数与平面向量的综合；文（21）理（22）是导数与函数的综合等．另外，理科第（9）题含有4个小题，是一个拼盘式的多选题，具有一定的覆盖面．
通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高地要求，提高了试题的区分度，体现出高考的选拔功能．应该说这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．
6．突出学科特色，彰显数学学科特点
数学试卷要突出数学学科特点，数学学科的主要特点是对数学语言的学习和应用．数学语言包括：符号语言、图形语言和文字语言，命题注意考查学生对数学语言的正确理解与规范使用的程度．如文理科第（6）题、第（7）题和理科第（9）题着重数学符号语言的考查；文理科第（3）题、第（8）题、第（10）题突出数学图形语言理解及应用；文科第（19）题和理科第（20）题强化数学语言之间的转化；文科（20）题和理科（19）题，立体几何的推理与证明是检验学生能否正确地运用数学语言的有效手段．重视考查学生掌握和使用数学语言的能力，体现了数学学科的特点．
二．试题分析
1．重视“双基”落实，侧重通性通法
今年数学试卷与往年相同的一个特点就是“大路题”仍占多数，没有怪题、偏题，学生比较容易上手，特别是选择题和填空题运算量小、整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．
例1：（理（2）文（2））已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查学生集合的概念及运算与指数函数单调性．
化简集合N得，．故答案为（B）．
例2：（理（4））设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
（A）1，3 （B），1 （C），3 （D），1，3
解析：本小题主要考查幂函数的概念及性质．显然，答案为（A）．
例3：（1）（理（1））若（i为虚数单位），则使的值可能是
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查复数的概念和乘法运算以及简单的三角变换．
因为，观察选择支对照题设，可得答案为（D）．
（2）（文（1））复数的实部是
（A） （B）2 （C） 3 （D）4
解析：本小题主要考查复数的概念和复数的除法运算．
因为，可得答案为（B）．
例4：（理（5））函数的最小正周期和最大值分别是
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查三角函数的基本公式、周期和最值的概念．
因为
．
故答案为（A）．
例5：（理（7）文（7））命题“对任意的”的否定是
（A） 不存在 （B）存在
（C）存在 （D）对任意的
解析：本小题主要考查否定命题的概念．答案为（C）．
例6：（理（9））下列各小题中，p是q的充要条件的是
p：或；q：有两个不同的零点．
p：；q：是偶函数．
③p：；q：．
④p：；q：．
（A） ①② （B）②③ （C） ③④ （D）①④
解析：本小题主要考查充要条件、函数的零点与奇偶性、三角函数以及集合的运算等概念．题目难度不大，但是知识点的覆盖面比较广．答案为（D）．
例7：（1）（文（5））已知向量a=(1，n)，b=(–1，n)，若2a–b与b垂直，则|a|=
（A）1 （B） （C） 2 （D） 4
解析：本小题主要考查向量数量积运算的应用和运算求解能力．
计算可得答案为（C）．
（2）（理（11））在直角中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：本小题主要考查向量数量积的概念．
根据向量数量积的概念，不难判断（A）（B）（D）是正确的．故答案为（C）．
例8：（文（13））设函数，则
．
解析：本小题主要考查复合函数的概念和分数指数的运算．
．
2．渗透数学思想，重视数学能力
从表1可以看出，今年数学试卷的一个明显的特点是，“小综合”的题目比较多，突出考查学生综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在保证多数考生得到基础分的同时，提高整张试卷的区分度．
2．1数形结合的思想
例9：（理（3）文（3））下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
①正方体；②圆锥；③三棱台；④正四棱锥（图略）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）②④
解析：本小题主要考查几何体三视图的基本概念，考查数形结合的数学思想．
正方体的三个视图皆为正方形，因此可以否定A、B、C．所以答案为（D）．
例10：（理（8）文（8））某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为
（A） 0.9，35 （B）0.9，45 （C） 0.1，35 （D）0.1，45
解析：本小题主要考查频率分布直方图的概念，考查学生的观察分析图形和数据处理能力．
如原图（图略）可知 ，
．故答案为（C）．
例11：（理（10）文（10））阅读右边的程序框图（略），若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是
（A） 2500，2500 （B） 2550，2550
（C） 2500，2550 （D） 2550，2500
解析：本小题主要考查程序框图的有关概念和应用以及等差数列求和，考查数形结合的能力．
根据循环结构的特点知道，当输入n=100时，
，
．故答案为（D）．
例12：（文（11））设函数与的图象的交点为，则所在的区间是
（0，1） （B）（1，2） （C）（2，3） （D）（3，4）
解析：本小题主要考查幂函数与指数函数的图象以及数形结合的数学思想方法．
作出两个函数图象不难发现其交点的横坐标落在区间（1，2）内．故答案为（B）．
例13：（理（14））设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点到直线距离的最大值是 ．
解析：本小题主要考查线性规划的方法和点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想．
画出平面区域D后，可知直线和的交点（1，1）到直线的距离最大，且最大值是．
例14：（理（15）文（16））与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
解析：本小题主要考查直线和圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法．
作出已知直线和圆的图形，可以发现直线和圆相离（如图）．当所求圆圆心在已知圆向已知直线所引垂线上时，半径最小（或最大）．最小半径是，所求圆圆心是（2，2）．
因此，半径最小的圆的标准方程是．
2．2函数与方程的思想
例15：（1）（文（9））设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为，则为
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查抛物线的定义和向量的夹角与模的基本概念，考查函数与方程的数学思想．
设A，则由抛物线定义，得．
所以．答案为（B）．
（2）（理（13））设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为，则为 ．
解析：本小题与文（9）是姊妹题．题干相同，题型不同．文科由于有选择支可以参照，进行答案修正，因此相对于理科填空题，文科略易．
例16：（文（15））当（1，2）时，不等式恒成立，则m的取值范围是 ．
解析：此题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系，考查函数与方程以及数形结合的数学思想方法．
设 ，由题设恒成立，则
即 解得．
2．3分类与整合的思想
例17：（文（12））设集合，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则n的所有可能值为
（A）3 （B）4 （C）2和5 （D）3和4
解析：本小题主要考查古典概型和分类与整合的数学思想方法．
由于；
；
；
；
．故答案为（D）．
2．4或然与必然的思想
例18：（1）（理（12））位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查独立事件发生的概率，考查或然与必然的数学思想．
解法一：设事件A为向上移动一个单位，事件B为向右移动一个单位．则事件A、B为相互独立事件，且其发生的概率皆为．因此，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是
．
解法二：本小题可以结合二项展开式系数性质（杨辉三角形）求解．如图质点P按规则移动五次后到点P（2，3）的不同路线（基本事件数）为10，所有不同路线的总数是（基本事件空间）32，因此，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是
．故答案为（B）．
2.5特殊与一般的思想
例19：（1）（理（16））函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ．
解析：（1）本小题主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法．
首先可知定点A（），所以．
因此，，当且仅当，即，也就是时，取得最小值8．
（2）（文（14））函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为 ．
解析：（2）本小题和理（16）是姊妹题，主要考查基本不等式和特殊与一般的数学思想方法，解题技巧上要求比理科低一些．仍需要注意条件．
由题设可知定点A（1，1），所以．
因此，．当且仅当，即，也就是时，取得最小值4．
2．6转化与化归的思想
例20：（理（6）文（6））给出下列三个等式：
．
下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要通过三种抽象函数的基本概念和性质，考查学生的转化与化归的数学思想和抽象概括能力．考查学生是否能把平时所学的基本函数的一般性质抽象概括出来，并转化加以应用．
因为对数函数满足（恒）等式（1）；指数函数满足（2）；正切函数满足（3），故答案为（B）．
2．7体现六种数学能力
例21：（文（17））在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求c．
解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系式，以及利用余弦定理解三角形的基本运算能力．
（Ⅰ）．
又，
法一：解得．是锐角，．
法二：解得．．
（Ⅱ）
．
．
例22：（文（18））设是公比大于1的等比数列，是数列的前n项和．已知，且构成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）令求数列的前n项和．
解析：本小题主要考查等差、等比数列的概念、等比数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，考查学生运算求解和等价转化的能力．
（Ⅰ）由已知得
设数列的公比为q，由，可得，
所以，解得.
由题设，.
故数列的通项为 .
（Ⅱ）由于
因此 .
例23：（理（17））设数列满足
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
解析：本小题主要考查等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查学生数列“错项求和”的方法以及运算求解和等价转化的能力．
（Ⅰ）法一：
当时，
得 .
在①中令，得. 所以 .
法二：先归纳猜想，然后用数学归纳法证明．（略）
（Ⅱ），
④–③得
所以
例24：（1）（理（18））设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）.
（Ⅰ）求方程有实根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数有5的条件下，方程有实根的概率.
解析：本小题主要考查古典概型、分布列、数学期望和条件概率的有关知识和方法，考查分类与整合的数学思想以及运算能力．
法一：（Ⅰ）用数组（b，c）表示基本事件：先后抛掷一枚骰子得到的点数．则基本事件总数为36，方程的判别式是，所以对应b、c的取值方程解的情况如下表所示
b
1
2
3
4
5
6
P
0
0
2
3
6
6
0
1
0
1
0
0
6
5
4
2
0
0
根据上述结论可知，方程有实根的概率是
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的分布列
0
1
2
P
所以的数学期望E=.
（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有5”的事件为D，“方程有实根”的事件为E，事件D所含基本事件数为：6+6–1=11，
由（Ⅰ）可得
当时，，；当时，，.
事件所含基本事件数为：6+2–1=7，.
.
法二：（几何概型）作出以b、c的取值为整点的坐标（b，c），观察抛物线b2=4c分得的区域内整点的个数即可.（略）
例25：（1）（理（19））如图，在直四棱柱中，已知
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
解析：本小题主要考查空间线面和面面位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．
（Ⅰ）连结BE，则四边形DABE是正方形，
.
所以四边形是平行四边形.
且平面，
平面.
（Ⅱ）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2），
，
设n=（x，y，z）为平面A1BD的一个法向量，
由，得
取z=1，得n=（）.
又，
设m=（x，y，z）为平面C1BD的一个法向量，
由，得
取z=1，得m=（）.
设m、n的夹角为，二面角为，则为锐角.
，.
因此所求二面角的余弦为.
（2）（文（20））如图，在直四棱柱中，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设E是DC上一点，试确定E的位置，使平面，并说明理由．
解析：本小题主要考查空间线面位置关系和空间想象能力以及推理论证能力．
（Ⅰ）在直四棱柱中，连结C1D，由题设知，四边形CDC1D1是正方形，所以.
又DD1平面ABCD，
所以DD1AD.
又ADDC，
所以AD平面CDC1D1.
所以ADCD1．
所以，CD1平面ADC1.
因此，.
（Ⅱ）如图所示，当A1B时，有平面.此时可证E是CD的中点.（证明见理科（19）．）
例26：（理（20））如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船北偏西120方向的B2处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？
解析：本小题主要考查正余弦定理及其应用，解决与测量和几何计算有关的实际问题，考查学生的阅读理解和应用能力．
法一：如图，连结A1B2，由已知，
.
又，
所以是等边三角形．
.
由题设，，
在中，由余弦定理，
，.
因此，乙船速度的大小为（海里/小时）.
答：乙船每小时航行海里．
法二：（向量法）由，（以下略）．
法三：（坐标法）以A1为原点，A1A2所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（以下略）．
法四：（构造直角三角形）．
法五：（求出顶角）延长、交于点，设，则
， ，
由正弦定理，
，，
.
.
又，.
即.
解得，. .
.
.
所以乙船速度的大小为（海里/小时）．
例27：（理（21）文（22））已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解析：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何的思想方法以及学生运用解析法处理几何问题的能力，考查函数与方程的思想方法．
（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，
由题设得：，解得，.则.
所以椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）设A（）、B（），
联立 得，
则
.
因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（2，0），
，即，
化简得，.
又，代入①
得..
解得：，且满足.
当时，l的方程是，直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，l的方程是，直线过定点（，0）.
所以直线l过定点，定点坐标是（，0）.
例28：（理（22））设函数，其中.
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对于任意的正整数n，不等式都成立．
解析：本小题主要考查用导数研究函数性质的方法，考查分类与整合的数学思想方法和运算求解与推理论证能力．
（Ⅰ）由题意知函数的定义域是.
，
当时，.即当时，在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知在定义域上无极值点．
②当时，有两个相同的解，
且当时，有，
因此，当时， 在定义域上无极值点．
③当时， 有两个不同的解，
，
当时，，
此时，、的符号随x的变化情况如下表：
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
由上表可知，当时，有一个极大值点和一个极小值点.
当时，，
此时，、的符号随x的变化情况如下表：
x
–
0
+
极小值
由上表可知，当时，有惟一的极小值点.
综上所述，当时，有惟一的极小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点；
当时，无极值点．
（Ⅲ）取，则有.
令函数，只须证明当时，即可．
，
在上单调递增.又，所以.
即，也就是当时，.
取，则有.
因此，结论成立．
例29：（文（19））某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所作的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和.0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：本小题主要考查不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，考查学生的阅读理解能力和应用能力以及数学建模的思想．
设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为
z元．由题意的
目标函数为.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作出直线l：3000x+2000y=0，即 3x+2y=0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立
所以点M的坐标为（100，200）．
因此，（元）．
答：该公司在甲、乙电视台分别作100分钟和200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70万元．
例30：（文（21））设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
解析：本小题主要考查学生利用导数研究函数性质和分类与整合的数学思想方法以及运算能力．
由题设知，函数的定义域是．.
（1）当时，如果，.在上单调递增；
如果，.在上单调递减．
所以，当时，函数没有极值点．
（2）当时，令，得
.
当时，、的符号随x的变化情况如下表：
x
–
0
+
极小值
有上表可以看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为
．
当时，、的符号随x的变化情况如下表：
x
+
0
–
极大值
有上表可以看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为
．
综上所述，当时，函数没有极值点．当时，若，函数有且只有一个极小值点，极小值为；若，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
三．抽样分析
今年山东省共有717159名考生参加了普通高校招生考试，其中381050名普通理科考生、204455名普通文科考生、25697名艺术理科考生、94223名艺术文科考生和11734名体育考生．为了了解考生的答卷情况，我们从全省普通理科、普通文科、艺术理科和艺术文科考生的试卷中，各分别抽取了部分样本，进行了抽样分析．抽样结果如下（见表5~表14）：
表5：卷一解答情况统计表 (样本容量 ：普理50000，普文50000)
科类
普理 %
普文 %
题号
满分
正答
A
B
C
D
难度
正答
A
B
C
D
难度
1
5
D
0.59
4.00
2.16
92.6
0.93
B
2.42
91.77
2.10
2.35
0.92
2
5
B
6.18
86.89
1.49
4.81
0.87
C
9.53
3.78
76.33
9.00
0.76
3
5
D
1.24
1.09
2.10
94.93
0.95
D
3.06
3.01
5.76
86.8
0.87
4
5
A
83.4
1.43
1.99
12.54
0.83
A
73.29
5.25
4.54
15.54
0.73
5
5
A
84.41
11.00
2.71
1.23
0.84
C
5.18
11.18
79.96
2.28
0.80
6
5
B
4.78
85.00
5.56
4.00
0.85
B
11.24
66.01
11.84
9.52
0.66
7
5
C
3.60
1.57
83.41
10.78
0.83
C
5.34
2.94
76.53
13.83
0.77
8
5
A
95.45
2.40
1.28
0.23
0.95
A
90.38
4.90
2.53
0.81
0.90
9
5
D
14.58
3.08
3.04
78.65
0.79
B
3.96
65.79
23.40
5.38
0.66
10
5
D
1.57
4.54
4.37
88.83
0.89
A
74.85
8.95
6.19
8.58
0.75
11
5
C
1.90
2.52
91.35
3.55
0.91
B
12.33
70.59
12.19
3.46
0.71
12
5
B
4.27
71.34
5.38
18.32
0.71
D
3.09
8.33
10.19
76.93
0.77
平均分
51.81
46.46
难度
0.86
0.77
科类
艺术理 %
艺术文 %
题号
满分
正答
A
B
C
D
难度
正答
A
B
C
D
难度
1
5
D
1.10
8.90
4.85
84.40
0.84
B
4.88
85.85
3.73
4.62
0.86
2
5
B
12.85
74.50
3.45
8.40
0.75
C
16.01
6.62
62.40
14.05
0.62
3
5
D
2.95
2.45
4.20
89.60
0.90
D
4.88
5.31
10.68
78.20
0.78
4
5
A
66.40
3.40
4.55
24.85
0.66
A
58.20
9.92
8.73
22.20
0.58
5
5
A
69.80
19.90
6.70
2.80
0.70
C
10.37
21.67
62.87
4.11
0.63
6
5
B
10.85
67.80
12.80
7.70
0.68
B
16.66
50.35
19.77
12.21
0.50
7
5
C
9.20
2.85
68.15
19.00
0.68
C
10.55
5.29
61.87
21.36
0.62
8
5
A
91.65
4.95
2.10
0.55
0.92
A
84.95
8.16
4.52
1.42
0.85
9
5
D
25.05
8.45
7.10
58.50
0.59
B
5.86
57.94
28.00
7.15
0.58
10
5
D
3.40
8.50
9.35
77.85
0.78
A
63.64
13.25
9.34
12.77
0.64
11
5
C
4.15
5.95
82.15
6.90
0.82
B
20.40
53.38
19.19
6.03
0.53
12
5
B
11.00
42.70
9.15
36.25
0.43
D
4.39
9.67
16.03
68.87
0.69
平均分
43.67
38.74
难度
0.73
0.65
表6：卷一解答情况统计表（样本容量： 艺术理10000，艺术文10000）
表7：卷一成绩分段统计表(样本容量：普理50000，普文50000)
分数段
普理
普文
人数
比例 %
人数
比例 %
60
18462
0.37
10554
0.21
50~59
20242
38704
0.40
0.77
18744
29298
0.37
0.59
40~49
6537
45241
0.13
0.90
10073
39371
0.20
0.79
30~39
2726
47967
0.05
0.96
5451
44822
0.11
0.90
20~29
1232
49199
0.02
0.98
3043
47865
0.06
0.96
10~19
440
49639
0.01
0.99
1265
49130
0.02
0.98
0~9
361
50000
0.01
1.00
870
50000
0.02
1.00
表8：卷一成绩分段统计表(样本容量：艺术理10000，艺术文10000)
分数段
艺术理
艺术文
人数
比例 %
人数
比例 %
60
910
0.09
455
0.05
50~59
3363
4273
0.34
0.43
2382
2837
0.23
0.28
40~49
3130
7403
0.31
0.74
2916
5753
0.29
0.57
30~39
1669
9072
0.17
0.91
2262
8015
0.23
0.80
20~29
652
9724
0.06
0.97
1349
9364
0.14
0.94
10~19
178
9902
0.02
0.99
483
9847
0.04
0.98
0~9
98
10000
0.01
1.00
153
10000
0.02
1.00
表9：卷二解答情况统计表（样本容量： 普理50000，普文50000）
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
合计
普
理
满分
4
4
4
4
12
12
12
12
12
14
90
均分
1.97
3.06
2.29
2.51
6.89
6.56
9.46
9.05
6.11
4.75
52.27
标准差
4.64
3.86
3.41
4.38
3.91
3.12
21.28
难度
0.49
0.77
0.57
0.63
0.57
0.55
0.79
0.75
0.51
0.34
0.58
区分度
0.81
0.76
0.72
0.72
0.61
0.77
0.81
信度
0.73
效度
0.74
普
文
满分
4
4
4
4
12
12
12
12
12
14
90
均分
3.25
2.66
1.03
1.48
7.90
7.40
6.67
7.23
4.17
5.81
47.34
标准差
4.91
4.91
4.31
4.68
3.62
4.52
26.56
难度
0.81
0.67
0.26
0.37
0.66
0.62
0.56
0.60
0.35
0.42
0.53
区分度
0.84
0.84
0.86
0.78
0.82
0.82
0.84
信度
0.79
效度
0.71
表10：卷二解答情况统计表（样本容量： 艺术理9128，艺术文28986）
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
合计
艺术
理
满分
4
4
4
4
12
12
12
12
12
14
90
均分
0.64
2.24
1.18
0.91
3.45
4.13
7.38
6.87
3.10
2.07
32.06
标准差
3.82
3.49
3.93
5.03
2.97
2.17
17.18
难度
0.16
0.56
0.30
0.23
0.29
0.34
0.62
0.57
0.26
0.15
0.36
区分度
0.73
0.65
0.62
0.71
0.58
0.67
0.70
信度
0.61
艺术
文
满分
4
4
4
4
12
12
12
12
12
14
90
均分
2.31
1.13
0.22
0.41
3.16
2.47
3.14
3.05
0.97
1.69
18.57
标准差
4.34
3.75
3.52
3.86
1.87
2.65
17.50
难度
0.58
0.28
0.06
0.10
0.26
0.21
0.26
0.25
0.08
0.12
0.21
区分度
0.71
0.79
0.80
0.68
0.70
0.70
0.75
信度
0.72
表11：卷二成绩分段统计表（样本容量： 普理118468，普文73022）
分数段
普理
普文
人数
比例 %
人数
比例 %
90
35
0.00
112
0.00
80~89
5063
5098
0.04
0.04
5841
5953
0.08
0.08
70~79
21970
27068
0.19
0.23
13418
19371
0.18
0.26
60~69
25933
53001
0.22
0.45
11729
31100
0.16
0.42
50~59
20292
73293
0.17
0.62
8293
39393
0.11
0.53
40~49
14876
88169
0.13
0.75
6396
45789
0.09
0.62
30~39
10754
98923
0.08
0.83
5410
51199
0.08
0.70
20~29
7817
106740
0.07
0.90
5018
56217
0.07
0.77
10~19
5826
112566
0.05
0.95
5679
61896
0.08
0.85
0~9
5902
118468
0.05
1
11116
73022
0.15
1
表12：卷二成绩分段统计表（样本容量： 艺术理9224，艺术文29602）
分数段
艺术理
艺术文
人数
比例 %
人数
比例 %
90
0
0.00
0
0.00
80~89
2
2
0.00
0.00
25
25
0.00
0.00
70~79
122
124
0.01
0.01
254
279
0.01
0.01
60~69
492
616
0.05
0.06
746
1025
0.03
0.04
50~59
983
1599
0.11
0.17
1212
2237
0.04
0.08
40~49
1481
3080
0.16
0.33
1922
4159
0.06
0.14
30~39
1860
4940
0.20
0.53
2741
6900
0.09
0.23
20~29
1913
6853
0.21
0.74
4076
10976
0.14
0.37
10~19
1456
8309
0.16
0.90
6463
17439
0.22
0.59
0~9
915
9224
0.10
1
12163
29602
0.41
1
（注：在表7、8、11、12中，人数和所占比例栏目中的两个数字：前一个表示本段内的实际人数或比例，后一个表示从高分段到本分数段的累计数．表9、10中，第13~16题样本数分别为：普文1372、普理2330、艺术文508、艺术理132）
表13：试题难度分布表一
容易题0.7以上
中等题 0.7~0.4
难题 0.4以下
均分
难度
普理
卷Ⅰ
分值
60
合计
88
0
合计
48
0
合计
14
104.08
87.48
0.69
0.58
比例
100
0
0
卷Ⅱ
分值
28
59
48
32
14
9
比例
31
53
16
普文
卷Ⅰ
分值
50
合计
54
10
合计
76
0
合计
20
93.80
77.24
0.63
0.51
比例
83
17
0
卷Ⅱ
分值
4
36
66
51
20
13
比例
4
73
23
表14：试题难度分布表二
容易题0.7以上
中等题 0.7~0.4
难题 0.4以下
均分
难度
艺术理
卷Ⅰ
分值
35
合计
35
25
合计
53
0
合计
62
75.73
59.32
0.50
0.40
比例
58
42
0
卷Ⅱ
分值
0
23
28
35
62
42
比例
0
31
69
艺术文
卷Ⅰ
分值
15
合计
15
45
合计
49
0
合计
86
57.31
42.65
0.38
0.28
比例
25
75
0
卷Ⅱ
分值
0
10
4
33
86
57
比例
0
4
96
数据分析：从抽样数据可以看出以下几个明显特征
1．今年数学普文、普理、艺术文和艺术理试题难度较去年明显降低；
2．选择题中理科全部属于容易题、文科容易题占83%；
3．普理第17~22题的6个解答题中，19和20题的得分率高于17和18题，出现了中间高、前后低的得分分布状态；
4．理科第一个填空题（13）题难度高于后面其它三个填空题；
5．普文压轴题第22题难度系数只有0.42，属于中档题。
四．对中学数学教学与学习的启示
今年是我省进入新课改后的第一次高考，今年的高考如何顺利地完成过渡，为今后的课程改革和高考改革提供哪些信息？成为人们关注的焦点．高考命题导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和进程．因此，今年的高考试题和考生答卷情况备受关注．为了更好地进行课程改革和高考复习，需要认真研究和分析学生在高考答题中出现的错误，以反思和促进我们的数学教学与学习．
1．考生答卷中出现的主要错误
1．1概念不清晰，方法不到位．如理（15）文（16）填空题：要求写出满足题设条件的圆的标准方程，但是许多考生却写出的是圆的一般方程或将圆的标准方程中半径的平方写成了直径的平方；又如理（13）是第一个填空题，但是其正答率却是填空题中较低的．其中主要原因大致有二：一是学生把向量与x轴正向的夹角理解为两条直线的夹角，故而得到两个答案；二是学生没有利用抛物线的定义来解题，联立向量所在的直线和抛物线方程求交点，使得此题的运算量大大增加，导致解答错误．
理科（19）题中许多考生把两个法向量的夹角未经判断，就直接当作所求二面角的大小；文科（19）题线性规划问题，漏掉了变量非负的约束条件，图形中也没有目标函数的等值线，取最值点不说明原因，甚至有的将约束条件中的不等式写成了等式或漏掉了等号等等．
1．2审题不仔细，思考不全面．如文（15）题中许多考生漏掉了等号的情况，估计是没有注意题目中x的范围和没有理解恒成立的意义；文科（22）理（21）解析几何题，最后要根据已知条件舍去一个定点（2，0），而且联立直线和椭圆方程后，应有判别式大于零这个条件．
如理科（18）题是个属于古典概型的概率问题，是由教材中的一个题目演变而来的．只要学生认真审题，列出全部基本事件和满足题设的基本事件，问题就会迎刃而解．和其他题目相比，此题的计算量不大，演算步骤也少，主要是对题意的分析和理解．
1．3解答不规范，表达不严谨．如文科（13）题求复合函数的值．许多考生由于答案没有化到最简形式，而不得分，非常可惜．又如理科（17）题，猜想了，但是没有证明或用数学归纳法证明时，时没有证明就直接得出．还有的考生由求时，没有考虑n=1的情况．文科（17）题在三角形中计算出，不知道舍掉增根或不加讨论直接得出．
解题的规范性在立体几何的推理过程中尤为重要．如有的考生在理科（19）题证明线面平行时理由书写不充分，直接由线线平行就写出了线面平行，缺少线与面关系的陈述．另外，理（22）文（21）利用导数讨论函数的性质，理应首先考虑函数的定义域，而大量的考生忽略了这一点．
1．4运算不过关，能力有缺陷．今年数学试题和前两年相比，运算量有所下降．但是仍然有许多考生由于运算能力不强，出现运算方法和法则运用的不熟练或理解错误．如文（18）题，一是不会利用消元法解方程组；二是指对数运算性质不清楚．再如文（22）理（21）解析几何题型学生熟悉，方法常见，一般学生都知道解题思路．但是，由于此题第2小题含双参数，字符运算量较大，导致许多运算能力差的学生不能进行有目的、有效地化简，无法得到正确的结果，只好“望题兴叹”．理科（17）题也是学生非常熟悉的题型，第1小题是递归求通项；第2小题是学生普遍掌握的错项求和法的应用．这个题目只要是具备一定的运算能力，就能得到满分．
在理科（18）题概率求解问题中，反映了有的考生数学思维能力不高。关键是对基本事件数分析不准确．特别是第3问涉及到条件概率，需要缩减基本事件空间，这里许多学生分析不到位，造成解题出错；文（21）题利用导数讨论函数的性质，第1问在的条件下，就对导函数错误的使用均值不等式 ，导致丢分；第2问没有首先考虑到对a的符号进行分类讨论，就开始列简表，这种错误相当普遍．
今年理科（22）题作为压轴题，与往年相比难度不算大，许多学生都可以得分。因为学生对这种题目的解法熟悉，教材上有相应的例题。所以，今年数学基础扎实，能力较强的考生就可以在压轴题上得高分，甚至得满分。
2．对中学数学教学与学习的启示
针对以上高考命题走向和考生答卷中出现的问题，在今后我们的教学工作中应该特别注意以下几个方面．
2．1坚持课改，相信课改．从全国课改省份的高考试卷（特别是国家考试中心为海南和宁夏命制的高考试卷）可以看出，新课标新增教学内容，均占有较大比例．且解答题中至少有一个大题是新课标增加内容．所以，执行和推广新课标是大势所趋．
表15：新课标增加内容分数占试卷总分百分比
文科分数
比例
理科分数
比例
广东
34+5
26%
17+5
14.7%
宁夏（海南）
31+10
27.3%
32+10
28%
山东
25
16.7%
20
13.3%
注：新课标增加内容主要指：统计中的直方图、散点图和回归直线方程；三视图；程序框图；简易逻辑用语；文科的复数和系列4的内容．
为了减少教学过程中的盲目性和随意性，增加教学的实效性和计划性，应该认真学习新课标（包括考试说明）．特别是对变化的内容和要求更要细心地研讨，根据新课标的变化调整和改变自己的教学理念、教学目标和教学方法．
2．2打好基础，落实“双基”．从今年包括近几年的试卷统计情况来看，许多不重视“双基”的考生，很难取得高分．虽然我省率先进行了课程改革，但是高考改革需要一个稳定过渡的过程．高考命题总是试图在形式与内容的改革创新和相对稳定之间寻找平衡点，因此，每年试题的框架主体都是考查数学的基础知识和通性通法．如函数的单调性、奇偶性、周期性、零点、图象性质及变换；三角函数的基本性质与图象；向量的基本运算；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；数列的基本性质及应用；空间图形的识别及线面的位置关系（包括面积、体积和理科的夹角和距离）；古典概型的方法；统计的基本方法（包括散点图、直方图、回归直线方程）等．
“双基”也是与时俱进的．新的“双基”内容应该主要包括，一是和“图”有关的内容．如：三视图、统计图、程序框图、函数的图象性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥曲线的位置关系、数形结合的思想方法等；二是与“函数”有关的内容，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法（导数、三个二次、数列等）、函数与方程的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法；三是数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题。
2．3抓住通法，培养能力．重视中学数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“六种能力、一个意识”．
如今年理科（18）题和海南、宁夏（文20）题：
设有关于x的一元二次方程.
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中取的一个数，b是从0，1，2三个数中取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
实际上是由一道教材中的成题演变而来的，都和几何概型的方法有关．
原题：设，则关于x的方程有实根的概率是
A． B． C． D．
变形：设，则关于x的方程有实根的概率是
A． B． C． D．
另外，数列的错项求和已经在我省2005年和今年自主命题出现两次．立体几何的线面位置关系的判断以及夹角和距离的求法；解析几何的直线与圆锥曲线的关系；今年压轴题的最后一问构造函数，利用导数证明不等式，也是教材中的典型例题；这些都是高中数学通性通法．
数学能力包括运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、实践能力和创新意识．能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中．特别应注意新增加的“数据处理能力”和“实践能力和创新意识”．前者与统计有关，后者与应用问题有关．另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是我们国家现在大力提倡的．
2．4重视语言，提高素养．数学素养的高低在某种意义上来说就是其数学语言掌握和运用的程度的差异．因此，数学学习的过程可以理解为就是数学语言的学习过程．无论学生将来从事何种工作，经过高中（包括基础教育）阶段的数学学习，具备初步的数学语言理解、转化和表达能力是非常重要的，是一个人具备一定的数学素养的基本标志．
尤其是当前高考考试形式主要考查的是书面表达能力．试卷能否得分，不仅仅是你如何想的是否正确，而是看你卷面上的文字表述结果是否正确．因此，在日常教学中要重视对学生口头和书面表述（包括作图）能力的培养，以求达到数学语言运用的准确性、逻辑性、完整性和流畅性．
2007年7月山东省高三数学备考研讨会发言稿
高三数学备考经验介绍
山东省昌邑市教研室 李明照
一、2007年高考成绩介绍
1．潍坊市的成绩
连续几年来，我们潍坊市的高考成绩可以说在全省一直是遥遥领先的，今年在全省重点本科招生计划比去年有所减少、我们潍坊市考生总数比去年减少2800人及5个县市区因学制改革优秀生源减半的情况下，2007年普通高考再次取得较好成绩：
高分段，在全省文科665分以上21人中，潍坊市有5人，占全省的23.81％；在全省理科665分以上196人中，潍坊市有36人，占全省的18.37％。全省文理重点本科上线49557人，我市有9002人，占全省的18.17%，比去年提高1.09个百分点，领先优势进一步扩大。
我市文科本科上线4101人，其中重点本科上线1844人；理科本科上线14389人，其中重点本科上线7158人；体育本科上线565人，艺术本科资格线上10710人。我市文、理、音乐、体育、美术五类本科上线33801人，列全省第一。
潍坊一中的都珊珊(文科),总分675分，居全省第一名;昌邑一中的邱磊（理科），总分702分，居全省第二名。
2．昌邑市的成绩
我们昌邑市，地处潍坊市东部，市域面积?1578.7平方公里，总人口67.7万人，在潍坊市教科院的领导下，今年我们昌邑市高考又取得了矫人的成绩，上线率比潍坊市平均上线率高出15.1%,优秀生成绩尤其突出，文理重点本科上线650人，上线率23.9%,比潍坊市平均上线率高出9.4%，理科有3名同学进入潍坊市前10名，昌邑一中邱磊同学取得全省第二名的好成绩，同时夺得潍坊市理科状元，这是继2005、2006年我市夺得潍坊市理科状元之后，又连续第三年夺得潍坊市理科状元(05，06年潍坊市理科第一名都出在昌邑市文山中学，连续两年潍坊市的鸿启奖学金的发放会在我们昌邑召开)。
二、高三备考经验与做法交流
多年来，高考复习的很多东西都形成了共识，但每年我们总要重复这个话题，而且从不厌倦，常讲常新，谈到高三的备考思路和方法，可以说全省各地市、各个学校大同小异，高三三个轮次的复习时间安排和每个轮次的复习任务和目标是基本一致的，在这里只想和大家交流一下我们在高三复习备考过程中的一些常规的做法,不见得新鲜，仅供各位同仁参考：
1.加强考纲的研究，明确高考的方向
07年高考是新课程高考的第一年，一轮复习一开始，07年新课程考纲没有下发，我们复习的依据一是课标，二是教材。考纲下发后，教科院尹科长和徐老师立即召开了一次全市范围内的研讨会，安排参与过考纲修定的老师分析了考纲的变化，并请有关的专家作了详细的报告，为老师们研究考纲，理解考纲要求变化的意图，准确把握高考的方向，起到了非常重要的作用。
另外，在复习备考过程中，我们要求老师在复习每个单元时，对考试大纲的研究要，达到以下目标：一要了解每一章中有多少个知识点，知识点的能力要求层次是怎样的，哪些要求了解？理解？掌握？哪些是学生学习的薄弱点，要如数家珍；二要注意新考纲相对于旧考纲的变化之处, 明确考纲知识点的变化，哪些删掉了，哪些是新加的，哪些要求降低了，哪些要求提高了,不要在复习过程中做一些不必要的补充；三要对照考纲与教材，找出教材中超出考试大纲要求的内容。
2.合理整合教材内容，使零散的知识系统化
上学年在潍坊市教科院尹玉柱科长和徐会吉老师的带领和组织下，挑选了潍坊市的骨干教师和教学精英，编写了高质量的高三一轮和二轮复习备考训练。我们的复习备考训练严格按照新课程高考文理数学科的不同要求,分册编写。在编写时，尹科长先后两次组织各县市的教研员和骨干教师开会,征求意见，研究内容的编排循序和整合方案,以及每个专题项目设置.稿件编好打印后，尹科长又专们组织了一批骨干教师对资料中的每一道题进行了认真的核对和验算,该改的改，该删的删，该换的换。在大家的共同努力下，去年我们潍坊市的一轮二轮复习备考训练的质量得到了很大的提升，科学性和实用性明显增强，为07年高考优异成绩的取得打下了坚实的基础。在我看来我们的一轮复习备考训练有以下几个特点:
第一, 内容整合合理，循序编排恰当
我们的新课程教材在编写时，根据课标的要求，对一些比较系统的知识板块进行了割裂，比如理科的立体几何、概率统计、解析几何，分别在必修教材和选修教材中出现，如果再按照教材循序复习，对学生建立比较系统的知识体系是非常不利的,因此，我们对这些内容进行了合理的整合。另外, 根据需要我对有些章节的内容的复习顺序作了合理调整。
我们一轮复习备考训练的内容编排大致如下：
文科：共11个单元
第一单元 集合与逻辑、推理与证明
第二单元 不等式（一元二次不等式的解法，基本不等式）
第三单元 函数（导数）
第四单元 三角函数
第五单元 数列
第六单元 平面向量
第七单元 立体几何初步
第八单元 解析几何(平面解析几何初步与圆锥曲线与方程)
第九单元 概率与统计（必修3的统计概率与选修1-2统计案例）
第十单元 算法初步
第十一单元 复数
理科共12单元
第一单元 集合与常用逻辑用语
第二单元 不等式
第三单元 函数（导数）
第四单元 三角函数
第五单元 数列
第六单元 平面向量
第七单元 立体几何
第八单元 解析几何
第九单元 计数原理
第十单元 概率与统计
第十一单元 算法初步
第十二单元 复数
第二，每个专题项目设置层次性强，便于操作使用
每一个专题学案，根据需要设置了如下项目：
自学指导：1.基础训练 2.知识梳理 ,主要由学生自己完成，教师点拨要点就可以了。
范例解析:(例题的选择基本上遵循了以下原则: 有层次，便于区别、比较；有方法，便于选择、运用；有诱错，可供分析、解剖；有经验，可供总结、提高。大多数例题后面设计了针对性的变式训练)
深化提高：1.当堂检测 2.自我检测 3.体验高考
另外学案的相应的题目的答案非常详细,方便老师们使用.
3．抓住课堂要效益 （1）五点一线备一课 我们复习课的备课要求是备起点、重点、难点、交汇点、疑点。一线是要求备讲练结合线，主要是指教师首先要心系五点，设计好教案；通过生练师批把握准学生在此部分知识存在的难点、疑点，针对这两点,备如何讲，如何再练。备课时要提前（在学生做前）多备些例题、习题、作业，安排好讲哪些，哪些是备用的；如何讲，由谁做；是老师讲还是学生做（要考虑到学生的实际）；量多少，能否当堂完成。另外练习题目的设计要注意结合多种课外资料，把握好难度，按训练层次（基础、巩固、能力；重点生，复习生、普通生）恰当地安排到教学的各个环节中去，形成讲练结合序列，按此有机序列教学，有的放矢，提高学习效率。 （2）上好两课，要效率
复习课的要求:
讲题也要讲法，要注意梳理知识，形成条理、系统的结构框架，章节过后学生头脑中要清楚。 复习不等于简单重复 ，应温故知新，温故求新,不能把复习课上成压缩后的新授课;复习也不等于单纯解题，不要把复习课上成习题课，应以题论法，变式探索，深化提高。要讲出题目的价值，讲出自己的思维过程，甚至讲出自己失败的教训。不能漫无边际的讲题（就题论题）、做题。 剖析时要讲知识的“要点、易错点、联系点”，引导学生对知识横向推广、纵向引申，形成知识框架。
讲评课的要求：
讲评课要紧紧抓住典型题目讲评，凡是出错率高的题目，必须讲，必须练，讲解时要从学生出错的根源上剖析透彻，彻底根治。
坚决落实“重点讲评”、“纠错讲评”、“变式讲评”三者的结合，还要加强“辩论式”讲评，让学生讲题、暴露思想，给学生排疑解难,帮助学生获得成功。另外，对学生的好做法要及时肯定表扬，课堂展示，提高学生的学习积极性。
要积极推进课堂教学改革，深化小组合作学习的五步教学法,即“成绩评价——合作探讨——展示交流——点拨提升——自我完善”.要不断完善对小组的评价机制，充分发挥学生的团队精神，生生互助，共同提高.
4.落实基础是第一要务
从今年的高考试题来看，充分说明了基础的重要性，我们复习的口号就是基础、基础、还是基础. 落实好基础知识(基本的概念、定理、公式、结论和通性通法)是我们大面积提高高三数学教学质量的关键所在。高考的题目常考常新，但是万变不离其踪，虽然情景不同，命题的角度不同，但其依托的仍是基础知识。
第一，我们加强了对基本概念、公式、定理的回顾复习，对基础知识的复习,有的老师仅仅停留在让学生填填学案上的空，然后让学生起来念念就行了，有时教师滔滔不绝地讲知识点、学生只管听和记.实际上效果不是很理想，我们的做法是，放手让学生看课本，自己归纳学习内容，梳理知识结构，画出知识结构图，我们相信只有学生自己的思维建构起来的知识结构才是最牢靠的，而教师则是引导学生注意概念的关键点, 围绕重点设计辨析题，帮助学生深刻理解关键的知识点。引导学生分析知识结构中的重点、难点，分析知识点间的内在联系，做到融会贯通.
第二，严格控制难度，目前的高三复习有的老师还存在着“难题掌握了，基础题就不在话下”的错误认识,有的老师还在求难、求全、（指知识能力一步到位），造成了学生的消化不良，浪费时间和精力。我们第一阶段复习要求以基础（小题）和中档题为主，二轮复习以中档题为主，适当兼顾综合性稍强一点的题目，我们要求所选题目要有目的性和针对性，既能突出数学知识重点，体现数学思想方法，又能兼顾到学生的弱点和易错点。具体的做法是：一是要坚决删去学案中的偏难怪和似是而非的题目，二是对其他参考资料和外地交流试题必须进行严格筛选，对超出学生接受能力的题目不能选用，三是充分发挥考试的导向作用，单元过关测试试题紧扣课本，紧扣考纲，所选题目层次分明，使多数学生能够过关，四是布置作业，对不同的学生提出不同的要求，要使优秀生能拔尖，中等生能上台阶，差生能学有所得.
5.搞好落实是最有效的策略
说一千，道一万，抓好落实是关键，课备得再充分，讲得再精彩，没有落实，一切都会成空话，为此，我们着重抓好以下几方面的工作:
第一. 加强了检查督促，加强批改，及时反馈，真正使所复习的内容落实到每一个学生身上，不批改只是让学生简单统计一下出错多的题目有哪些，然后就讲的做法，是过于粗旷的，对学情的了解是不够细致的，上课讲题时的针对性就会大打折扣，我们的要求是坚持落实好我们经常讲的四个务必 “有发必收，有收必批,有批必评，有评必改”，现在我们的老师基本上能做到测试题全批全改，边缘生精批，个别学生面批，批改不过夜，平时的活页练习也基本保证了不批不讲。
第二，要求学生利用好自己的错题本，对于常出错的典型题目要指导学生随时记到错题本上，深刻剖析错因所在，老师对学生容易遗忘的地地方，平时反复强调，反复提醒，直至错过的题不再错，一步一个脚印，踏踏实实地复习。
第三，模拟题做四遍, 在整个高考复习阶段，学校常常会组织一些模拟考试，人为地营造一些紧张的气氛，使学生处于一定的紧张状态，逐渐适应考场的气氛，并随时了解自己的水平。如何利用这些模拟考试，真正做到以考促学呢？我们的经验是模拟题做四遍.
第一遍做模拟试题是在正式考试的时候。这时不仅有时间限制，而且具有考场上的紧张氛围。一般说来，每一次考试都会从某一个侧面或角度、以分数的形式反映出学生的真实水平。这一遍学生要尽量发挥出他的能力，甚至可以连蒙带猜。但是，考试只能反映学生的水平，却不能帮助学生从根本上提高成绩。无论考多少次，无论得多少分，学生的真实水平并没有得到提高。所以，如果真的想提高成绩，就需要认认真真地做第二遍。
做第二遍的目的主要是寻找解题的原理和依据。每一次模拟考试都会从某些方面反映出学生的一些差距，这时若仅仅满足于试后改错，试卷上题都会做了，那就收获太少了。从学习是认识过程的角度来说，出错是因为学生对某方面的内容还不熟悉，有些思维方式还不习惯，若不从根本上解决问题，学生将会一错再错。因为学生没有找到出错的根本原因。一般情况下，每次考试之后，老师都会留给学生改错的时间。这时应该让学生翻开教科书，找到每道题解题的依据，错要找到错的原因，对要讲出对的道理。学生只有从原理上弄清楚了，才能应对试题的千变万化，这就是以不变应万变。这一遍是最花时间的，但这只是提高成绩的必要条件，还不是充分条件。
提高成绩的充分条件是立刻再做第三遍，把它记住；过一个星期再做第四遍，检查是否记住了。因为这时每道题都不仅会做了，而且能讲出做的根据和道理，所以，再做第三、第四遍时，往往会形成跳跃性思维，加快解题速度，花的时间很少，但效果奇好。这是提高成绩，“长”分数的充分条件。可惜许多学生都没有做到这样细，往往不注意第三、第四遍地记忆和检查作用，结果是花了时间和功夫，做了很多的题，却没有记住这些题的解题方法，最终做了无用功，也就没有达到预期的效果。
6.关注学生复习的状态，
关注学生的学习状态比关注高考考什么更重要。
作为教研员，到学校听课,调查高三学生学情，我们发现有的学校存在这样一些现象：它正好与我们常态的判断相反：
不是抓松了，而是太紧了——大量的作业占据了学生的整个时间和思考空间，学生也完成不了，就是完成了也出没有反思巩固的时间。我们知道，要学好数学不做题不行，并且要达到一定的数量。但是一味地大题量，快节奏地压学生，处理不好质与量的关系，学生就会疲于应付，效果不见得好.
不是讲虚了，而是太实了——不是从学科高度思考解法，而是详尽告诉学生该题如何解，缺乏分析思考，老师讲得滔滔不绝，课堂的主人在课堂上被动接受，老师讲的越多，学生接受的越少；
不是考少了，而是考多了——高考复习应该有一个最佳的模拟次数，而不是每周在考试与讲评试卷中度过高三生活。
有一个故事，一对夫妇听人说深海的鱼油对宠物狗健康有好处，便买回鱼油，然后紧紧抱住小狗，强行将昂贵的鱼油灌进狗的口中，但是狗拼命的挣扎，并向外吐。待主人放下狗时，狗却用嘴去舔那散落一地的鱼油。其实狗并不是不爱吃鱼油，而是不肯接受主人的喂的方式。由此可见，在我们平常教学中，学生不是不爱学习，而是不喜欢我们自认为爱的深切的教学方式。所以，老师寻求学生乐于接受的教的方式，寻找学生易于接受的切入点进行复习教学，对提高高三复习的针对性和实效性，就显得尤为重要了。考生面临前途攸关的时候，心理是非常脆弱的，需要小心呵护，高考复习必须以学生为本。经常想办法吊起学生学习胃口，提高解题欲望，让高三复习平稳、科学、有序地进行，是我们每个老师共同追求的目标。
7.教研室的做法:全市的集体大备课
我们昌邑市教研室每学年高三复习的每个轮次的开始都要开一次研讨会，每次研讨会有一个很重要的内容就是组织全市范围内的集体备课，主要是针对我们潍坊市的一轮和二轮复习资料进行集体研讨，会前各科教研员安排全市高三的骨干教师，认真研究考试大纲、新教材、潍坊市的高三复习资料，每人负责二至三节，每节都要准备一份说课稿，说课稿主要包括以下内容：第一是每节复习内容的分析，包括考纲的要求，重点难点的分析，与老教材相比要求和内容的变化；第二部分是对学案中各部分内容的改进和处理意见，针对潍坊市的资料，参照手头的一至两本参考资料，对基础练习、例题、练习题进行修改，首先要把学案中出现的错误改过来，其次对一些偏、难、怪、的题目要删去或更换，另外对每一部分知识和题目的处理要提出合理化的建议。会时，每一节学案的说课稿人手一份，骨干教师轮流发言。通过本次活动，充分发挥了骨干教师的作用，达到了教学资源的交流与共享的目的。
课件30张PPT。高考数学复习的策略与方法 ——基于数学特征的备考策略和方法淄博市教学研究室
朱恒杰一、高考数学特点和数学学习的特点
二、高考数学复习需注意的几个问题
三、措施 一、高考数学特点和数学学习的特点
要谈这个问题，就不得不涉及两个问题：一个是高考数学考查的特点；一个是数学学习的特点。只有这两个问题搞清楚了，你才能找到对路的复习策略与方法。
（一）高考数学考查的特点：
简单的说，高考数学就是考查素质和潜能，而且是以题目的形式作为载体。由于高考的限时性，要求考生在2小时内解答难度不同的22个数学试题，那么解题的效率和解决的程度，就成为衡量考生素质和潜能的标准。从这个意义上说，高考数学考查有两个特点：一个是速度考查；一个是难度考查。 速度考查，就是在有效的时间内完成试卷的长度，这就要求考生对基础知识理解准确，基本技能掌握熟练，基本数学思想方法运用自如。否则，在有效的时间里，是不可能完成试卷的。这本身就是一种能力的考查。另外，对速度的考查，常体现在常规题目上，而且占到80%左右。常规题目，就是我们在平时学习和考试中经常出现的题目类型。它们的立意、情境、设计、设问都是我们熟知的。
难度考查，就是分析问题和解决问题能力的考查。难度考查常体现在新颖题目类型上（应用题、探索题、开放题、创新题）。这类题目是学生不熟悉的，其立意、情境、设计、设问都不同寻常。 高考考查的特点给我们两点启示：
1、对于常规性题目，同学们应做到准、快；
2、对于新颖性题目，要从《考试说明》和近几年高考出现的新题型中，寻觅蛛丝马迹，从而有所把握。
从教与学的角度来看这两点启示：
1、对常规性题目，应通过学生的训练，达到准、快。因为常规性题目它们的解决大家都能掌握，只需要准确和快捷（在这里，准确应包括规范—思维、表达、书写）。因此，在常规性题目落实上，采用何种方式组织复习至关重要。
例如训练方式方面。鉴于课时分配到学科，学生做数学的时间少。我们采用定量、定时的“快餐”训练方式。“快餐”就是简单方便省时的几个小题目，从内容上讲，可以是关于当前的内容，也可以是以前的或者是以后的，范围可大可小；从题型上讲，选择填空、或者简单的主观题；时间控制在１5分钟之内；实施可以是课堂，也可以是课外，根据学校的情况来安排。
“快餐”的意义：（１）温习、巩固知识，不要让知识“凉”下来；（２）训练基本技能，灵活基本方法，提高解题速度；（３）积小成大，促进主观题的解答；（4）每天坚持，细水长流，定能见大效。（牛皮纸理论）
“快餐”的反馈矫正非常重要。要最大范围的检查做的情况（1）黑板展示，用空间换时间，节省时间，避免教师一个题一个题的讲解，时间线性累加；（2）展示的同学和下边的同学形成的生生交流，比教师一个个的讲，学生在下边听形成的师生交流强烈和广泛；（3）教师的点评是学生出现的问题，而不是教师自己的感觉，更有针对性，并且可以在学生板演的基础上进行规范化教学。
2、对于新颖性题目，教师应发挥更大作用。教师要去研究、揣摩新颖性题目的发展方向和设计形式，然后，去引领学生较准确地把握。教师的数学水平、研究问题能力尤为重要。
当然，研究“两纲一题”自不待言，更重要的是通过研究各地考题，发现新的亮点，“知微见著”，把握趋势，完善复习。例如：前几年上海高考创新题，象类比、推广、开放题、探索题、构造性问题、“小题大做”，后来在全国和各省命题中都出现了。 类似奇函数的数列有哪些性质？ 变式： （二）数学学习的特点
打蓝球，首先要熟悉球性，按照蓝球的规则去得分。学数学亦如此。首先要了解数学的特点，按照数学的规则去学习数学。这里，我们只涉及一个重要问题：就是如何解数学题，因为，高考就是考你解题的能力。
数学的特点：简单说就是抽象和概括。对象和关系的不断抽象，而结论具有概括性。高中数学对象不断变化而关系基本不变。代数对象是数、式、方程、函数，关系是运算、相等或不等、“相等”中的对称或周期、“不等”中的变化趋势（单调）；几何对象是点、线、面，关系是位置关系，度量关系。解析几何是一种思维模式和数学方法。概率和统计对象不同于代数、几何，但是，关系类似于代数，所以代数的研究方法可以迁移过来。举例： Ｓ＝Ｓ＝ rＳ＝ 对象在变，关系不变—垂直，结论相似（概括）。数学内在联系的特征给我们学习数学提供了方便，提供了思维的方式-怎样去想。类比、推广、特殊化、联想就是基于数学内在联系的思维方法。近几年对此有所考查（举例） 当前内容推广限定类比联想 基于数学特征的学习方法：（1）典型题；（2）典型方法；（3）重要的结论：（4）类比、推广、联想、特殊化；（5）抽象和概括。举例：“母题”。
基于数学特征的复习方法：一轮复习是个面，二轮复习是几条线，三轮复习几个点——“瘦身”（最后剩下典型的思想方法。若满脑子都是知识，这样的学生一定考不好）
还要符合数学的规则。即运用定义、定理、公理、性质、等概念时，思维要符合数学的规则、法则、运算律，和数学的逻辑—— “语法”和约定。例如： 注：1.等差等比数列运算类比，相差一个层级；2.谁是底数，谁是指数；3.序号的意义 1、同学们常向老师提这样一个问题：这个题目所涉及到的知识我都知道，可是就是不会解决！这是为什么？
这是因为，数学知识分为两类：一类是陈述性知识（或者说明性知识），是关于事实本身的知识，例如定义、定理、公理、概念、性质、法则、运算律等等，是关于是什么的一类知识；另一类是程序性知识，指怎样进行认识活动的知识。
例如，做菜，用同样的材料和调味品，为什么大厨做出来的就比你做出来的好吃？材料都是一样的啊！这说明除材料外，还有一个东西在起作用——就是在做菜的过程中，如何搭配材料，材料的使用顺序，何时使用材料，如何把握火候等。这些东西在起作用。 “搭配、顺序、何时使用，如何把握火候”，这些就是程序性知识。陈述性知识是静态的，被激活后是信息的再现；程序性知识是动态的，被激活后是信息的转移和迁移。只有程序性知识将陈述性知识恰当地组合在一起，才能使问题得到解决。
例如（05山东 ）注：1.对形式反映本质的认识；2.注重实质，淡化形式；但 形式也是必要的。 2、如何学习陈述性知识和程序性知识
陈述性知识可通过说明、解释、举例等方式达到理解，是可传授的，学生是容易掌握的，通过训练是能够牢固掌握的。
程序性知识更多地体现在经验，可传授性差，要靠体验、意会和悟性，而体验是要在过程中生成的。因此，程序性知识的学习是在知识的应用过程中逐步积累的。教师的作用就是暴露思维过程和进行启发性的示范。
数学学习的特点给我们两点启示：
１、程序性知识比陈述性知识更为重要。（学生为什么不会解题的原因）
2、程序性知识的学习要在应用过程中揣摩，陈述性知识要在训练中加深理解和掌握。 二、高考数学复习需注意的几个问题
通过对高考特点和数学学习特点的分析，那么在高考数学复习中应当注意以下几个问题。 1、对基础知识的复习习题化，习题题组化
对基础知识的复习当然离不开课本（课本是知识的载体），但是仅靠课本是不够的。由于高考就是考查解题，因此，对基础知识的复习必须习题化，在解答问题的过程中再现知识，理解其内涵和外延，掌握其不同的表现形式。例如，对奇偶性概念的复习，仅掌握课本的定义是不够的。还要在解题的过程中，从不同的角度来理解奇偶性的本质，积累奇偶性的不同表现形式并且加以拓展，才能形成快速再现知识，提取最佳知识形式的能力，才能提高解题的速度。 例如：函数的相关性质.doc 仅习题化还不行，因为它只能训练单个知识点，形不成知识体系，所以习题还要题组化。通过题组建立知识点联系，形成知识结构。例如，函数的单调性概念，仅知道课本给出的单调性定义还不行，要通过题组，将涉及到单调性的相关知识集成在一起，如导数与单调性的联系。把这些东西放在一起，便于比较，加深对知识的理解，形成优化的程序性知识。充分运用一题多解、一题多变；多题一解、多解归一的题组教学方法，培养学生由此及彼的迁移能力。例如：函数的相关性质.doc 2、在数学思想方法复习时，要注意引导学生去体验其中蕴含的程序性知识（就是如何选择方法，怎样应用方法的知识），对有些问题要做到“研读”，就象英语中的“精读”，体会其中的“味道”，积累解题经验。
例如，数形结合—怎样的表达式对应什么样的图形，这种联系要建立起来；转化的思想—主次转化，问题的变更化归；函数的思想— 强大的工具，体会如何看成函数问题。
3、形式化还是要重视的。一方面，数学语言的正确运用（语言是思维的载体，是表达、交流思维的工具）。你的数学水平如何，要通过表达让别人认同。表达的如何，有时就是你思维水平的重要标志。另一方面，形式对本质的反映。很多学生在式的化简、变形、运算中，走弯路，尤在三角和解析几何中表现突出。 4、大的知识块中的题型方法总结到位
①三角与向量结合，解斜三角形（正余弦定理应用），画图和图像变换；
②数列（数表、数阵）、点列问题，递推，求和；
③立体几何（三视图载体，作图，折叠型，非规则几何体，综合证法与向量结合，构造问题，存在问题）；
④概率统计（代数型，几何型，隐蔽型，终止型，条件概率，新教材中的几种重要分布），期望和方差；
⑤解析几何（定点，分点，定值最值，几何位置关系，与向量结合，构造，存在，作图）。解析几何难在运算化简，要强调过程教学。
⑥应用题
⑦函数、导数、方程、积分、零点、恒成立综合题；
⑧类比型，构造型，空间轨迹型，迁移型； 例如，用特征法求递推数列的通项问题；
立体几何关键用向量来处理位置关系（平行和垂直）；
解析几何：证明位置关系的——线线平行和垂直，注意向量的使用；判断角是锐角、直角、钝角的注意使用向量的内积是大于零、等于零、小于零。
计算问题两类：一类是结论关于 对称的，可以直接代入韦达定理；另类是结论关于 不对称，要把结论对称化处理，比如潍坊二模中求 就是非对称化的，要做对称
化处理 才可代入韦达定理，这是比较难的计算，要掌握;
函数方程、导数、零点、不等式：1、利用导数解决函数零点问题，2、 利用导数证明不等式；
5、关注细节
（1）在细节上取胜（避免分类讨论，降维、分量的应用，过程中数式的意义，“半成品”应用等）。
（2）重要概念辨析。
（3）定型（一题多解、多题一解、一题多变、正逆变形用等，发散思维到收敛）。 例如，“路径”的设计技巧
解题“路径”设计的长、短，直接关系到出错概率的大小；“路径”设计的优、劣直接关系到运算的简单与繁杂，举一例说明。
如图，已知过点 的直线 与椭圆
交于不同的两点 ，点 是弦 的中点 （Ⅰ）若 ，求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）求 的取值范围。 解：（Ⅰ）见2005.1高三期末考试题第22题解答。现给出避免分类讨论的解法：
… … … … … … … … … …
… … ①
… … ②
当 时，则
当 时，①／ ② 得： ，代入①或 ② 得方程
；在验证 适合此方程。分类讨论容易漏掉 的情况。
避免分类讨论的解法：
有①得： ③
由②／ ③ 得： ④
④代入③即得轨迹方程 。
（Ⅱ）减少运算的分量解法：
注：避免分类讨论，使用分量的解法，简化了烦琐，减少了运算。
三、措施
1、正确把握高三复习备考方向
教师要认真研究新课标和新教材及考纲，和高考试题尤其是近几年上海高考试题（思路新颖、针对性强、仿真性准、效益高的最好的复习资料），转变思路，顺应新课标，要加强与先进地区的联系和沟通，充分利用现有报刊杂志和网上高考信息资源，广泛及时地搜集新高考有关信息，了解最新高考改革动向和复习备考信息，做好高考复习备考方案和计划。
具体讲：搞好四个研究，提高复习的针对性
（1）课标和考试说明——要求
要认真研究知识点（内容和范围）、能力点（层次和要求）、应用点（知识的表现形式以及其中蕴含的能力要求）、链接点（学科内不同领域之间的综合点）、关注变化点（增删的知识、能力要求）、题型示例和考试形式与试卷结构；
（2）教材——根本（“三基”）
课本的示范性、小结与复习、研究性课题；
（3）考题——变化
常考点（近五年高考的热点）、发展趋势
（4）评价——方向
2、单项训练和综合训练相结合——是将知识、技能和思想方法置于更大的背景下，训练有效、快速提取，灵活运用的能力；
3、“多回头，勤巩固”，不要让知识“凉”下来；
4、编制学案---按照同类为伍，近类为邻的原则，把相近的内容整合起来，集中复习。既节省时间，又便于比较，加深理解，易于形成系统知识。 5、使用好“定时作业”“定时训练”“快餐”（每节课开始或结束抽几分钟时间检测）——是对零碎时间的有效运用（集腋成裘）的做法；
6、“满分卷、错题本”的使用——“满分卷”是二次过关的一种形式。通过“满分卷”，优化解题方法，将最精当的解法，规范的语言和符号，条理清晰的再现，是第二次升华；“错题本”是对知识、技能和思维缺陷的有力校正；
7、 “下海”意识。扎入“题海”，提高技艺，教给学生“游泳”术。8、抓规范，提高非智力因素得分。
9、搞好单元（相对完整的知识块，方法专题，题型专题等）过关。
10、让学生学会反思。谢 谢！
