2021-2022学年河北省八年级下学期人教版数学期末试题选编 第十六章：二次根式练习题（含解析）

第十六章：二次根式
一、单选题
1．（2022春·河北保定·八年级校考期末）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·河北张家口·八年级统考期末）若＝﹣a，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣3
3．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．（2022春·河北承德·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·河北保定·八年级统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·河北承德·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·河北衡水·八年级统考期末）若k，m，n都是整数，且＝k，＝15，＝6，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是(　 　)
A．m＜k＜n B．m＝n＞k C．m＜n＜k D．k＜m＝n
9．（2022春·河北保定·八年级统考期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·河北保定·八年级校考期末）下列运算正确的是（　　）
A． += B． =2 C． = D．÷=2
11．（2022春·河北邢台·八年级统考期末）若＋2 ＋＝10，则x的值为(　　)
A．4 B．±4 C．2 D．±2
二、填空题
12．（2022春·河北保定·八年级统考期末）已知，则的值为_______．
13．（2022春·河北邢台·八年级校考期末）已知．
（1）将化为最简二次根式是_________；
（2）若，则“■”表示的数是_________．
14．（2022春·河北保定·八年级统考期末）若最简二次根式与能合并，则a＝___．
15．（2022春·河北保定·八年级统考期末）观察规律：
同理可得：
依照上述规律，则：
（1）______（的整数）；
（2）______．
16．（2022春·河北邢台·八年级统考期末）已知，．
（1）______．
（2）求的值为______．
17．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）若，则k=__________；比较大小：________．
三、解答题
18．（2022春·河北衡水·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．（2022春·河北张家口·八年级统考期末）计算：
20．（2022春·河北保定·八年级统考期末）按要求完成下列各小题．
(1)计算：；
(2)已知，，求的值．
21．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）（1）发现．①；②；③；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
22．（2022春·河北廊坊·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
参考答案：
1．B
【分析】使函数有意义，则且， 然后解不等组即可．
【详解】解：根据题意得：且，
解得x > 2．
故选B．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1) 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答.
【详解】∵= =﹣a，
∴a≤0，a+3≥0，
∴﹣3≤a≤0.
故选A.
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键.
3．D
【分析】根据分母不为0，被开方数大于或等于0列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意可得
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握这些知识点是解题关键．
4．A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
5．D
【分析】直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
解得，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键．
6．A
【分析】根据二次根式乘法的性质计算，即可得到答案.
【详解】∵
∴选项A正确
故选：A.
【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法的性质，从而完成求解.
7．A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
8．A
【分析】根据二次根式的性质把、、化为最简二次根式，求得k、m、n的值，比较即可解答．
【详解】解：∵＝3，＝15，＝6，
∴k=3，m=2，n=5，
∴m＜k＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是根据二次根式的性质把、、化为最简二次根式．
9．D
【分析】首先将所有选项中的二次根式进行化简，然后结合同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：∵为最简二次根式，且，，，
∴根据同类二次根式的定义可知，与是同类二次根式，
即：与是同类二次根式，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式的判断，理解并熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．
10．D
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意；
C.原式==，所以C选项错误，不符合题意；
D.原式==2，所以D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．C
【详解】＋2 ＋＝10，
，
5，
，
∴x=2，
故选C.
12．9
【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解答此题的关键是掌握算术平方根和平方互为逆运算．
13．
【分析】（1）根据 （a≥0，b≥0）化简即可；
（2）根据除数＝被除数÷商计算即可．
【详解】解：（1）
＝3；
故答案为：3；
（2）3
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．
14．4
【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴a+1＝5，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
15． 2021
【分析】①根据规律，运用平方差公式将分母有理化，即分子分母同乘以，可得到答案．
②由上面①得出的规律，分别对括号里含有无理数的式子变形，再进一步计算即可得到答案．
【详解】解：①根据规律：
=，
②原式=
=，
=2021．
故答案为：①，②2021．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握分母有理化的基本方法是解题关键．
16． 8 53
【分析】（1）直接计算即可；
（2）先计算出，再把变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴
帮答案为：8；
（2）∵，
∴
又
∴=
故答案为：53
【点睛】本题主要考查了二次根式的代简求值，正确将变形为是解答本题的关键．
17． 3 ＜
【分析】把化为最简二次根式得结论；先把2、3化为“”的形式，再比较被开方数得出结论．
【详解】解：∵
=3，
∴k=3．
故答案为：3．
∵2=×=，
3=×=，
又∵＞，
∴3＞2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，掌握二次根式的性质和实数大小的比较方法是解决本题的关键．
18．(1)
(2)15
(3)
(4)1
【分析】（1）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可；
（2）先化简二次根式再计算二次根式的乘法与除法即可；
（3）先化简二次根式、利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可；
（4）直接利用平方差公式计算二次根式的乘法即可．
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式，
，
；
（4）解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
19．15﹣16
【分析】先用完全平方公式计算，同时化简二次根式，再根据二次根式的乘除法公式计算，再计算加减即可．
【详解】解：原式＝9+6﹣6﹣÷
＝15﹣6﹣×
＝15﹣6﹣10
＝15﹣16
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算及完全平方公式的应用，熟练应用二次根式的混合运算法则是解题关键．
20．(1)5
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）先计算，根据因式分解得，代入求值即可求解．
（1）解：原式＝；
（2）解：∵，，∴∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
21．（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】解：（1）由例子可得，
④为：==，⑤=，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：= ，
（3）证明：∵n是正整数，
∴==．
即= ．
故答案为(1)==，=；(2)= ；(3)证明见解析.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
22．(1)
(2)
【分析】（1）先算绝对值，去括号，再算加减即可．
（2）先进行化简，二次根式的除法运算，二次根式的乘法运算，最后算加减即可．
（1）
原式
（2）
原式
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解此题的关键．