第十八章：平行四边形练习题（含解析）2021-2022学年河北省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·河北张家口·八年级统考期末）已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．
③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·河北保定·八年级统考期末）证明：平行四边形对角线互相平分．
已知：四边形ABCD是平行四边形，如图所示．
求证：，
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是
①，．②四边形ABCD是平行四边形．③，．④．⑤，（ ）
A．②①③④⑤ B．②③⑤①④ C．②③①④⑤ D．③②①④⑤
4．（2022春·河北保定·八年级统考期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE
7．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
8．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A． B． C． D．
9．（2022春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（　　）
A．4m B．8m C．16m D．20m
10．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（　　）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
11．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·河北张家口·八年级统考期末）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
13．（2022春·河北衡水·八年级统考期末）正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM：③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
14．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．
15．（2022春·河北保定·八年级统考期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______．
16．（2022春·河北承德·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则菱形的面积为______，四边形的周长为______．
17．（2022春·河北衡水·八年级统考期末）如图，点是菱形的边上一点，且，则______．
18．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．
19．（2022春·河北保定·八年级统考期末）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
三、解答题
20．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M．
（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）求证：AE＝CF．
21．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且ABCD．求证：四边形BECF是平行四边形．
22．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，且E、F、G、H分别是、、、的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的周长．
23．（2022春·河北沧州·八年级统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，______（填写序号）．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
24．（2022春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
(1)木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答：　 　（填“是”或“否”）；
(2)木条与 ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
25．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
26．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
27．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
28．（2022春·河北承德·八年级统考期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
29．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
参考答案：
1．A
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，
∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD==4(cm)．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
2．A
【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC，
∴∠AOF=∠COF，
∵在中，AD∥OC，
∴∠COF=∠AFO，
∴∠AOF=∠AFO，
∴AO=AF，
∵，
∴FH=2，OH=3，
设AH=m，则AO=AF=2+m，
∵在中，AH2+OH2=AO2，
∴m2+32=(2+m) 2，解得：，
∴A，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
3．C
【分析】利用平行四边形的性质证三角形全等，进而得出对应边相等，由此即可明确证明顺序.
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形
，
，
，
所以正确的顺序应为②③①④⑤
故答案为C
【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分的证明，明确证明思路是解题的关键.
4．D
【分析】根据平行四边形的性质和中心对称图形的性质逐项判断即可得到答案.
【详解】A.根据平行四边形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故A正确；
B.根据平行四边形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故B正确；
C.根据中心对称图形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故C正确；
D.由图形无法得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故D错误.
故选D.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键
5．C
【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可．
【详解】A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别平行，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．D
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA=OC，OB=OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；
A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本选项不符合题意
B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；
C、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；
D、AF=CE无法证明得到OE=OF，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6cm，
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
8．D
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【详解】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到，
∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
9．C
【分析】根据三角形中位线定理即可求出．
【详解】解：中，、分别是、的中点，
为三角形的中位线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
10．A
【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积的不变．
【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，
∴O也是AD的中点，
如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
，
∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），
在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，
根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的面积，得出O的轨迹是△ABC的中位线是解题的关键．
11．B
【分析】先利用互余计算出，再根据平行线的性质得，接着根据折叠的性质得，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵矩形沿对角线折叠，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变换—折叠，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质等知识．理解和掌握折叠的性质是解题的关键．
12．B
【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【点睛】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
13．D
【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．
【详解】①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有，
∴△EPF≌△BAP（AAS），
∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立；
②无法证出AP=AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，
∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2=AP2+EP2=2AP2，
∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
14．
【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB h=AB AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键．
15．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长．
【详解】解：，点D是AC的中点，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16． ##
【分析】（1）根据菱形的性质，结合含有的直角三角形三边关系即可得出菱形对角线长，从而求得菱形面积；
（2）证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
，
，，即，
；
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
同法可证，，，都是等边三角形，
，，
四边形的周长，
故答案为：；．
【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，两个三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定和性质，特殊角度直角三角形三遍关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．##15度
【分析】根据题意可得：，在中，得到，又因为，所以，，代入即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和．解本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
18．2
【分析】过C作于点，根据正方形的性质易得，进而得到，，易得到是等腰直角三角形，进而求出，当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为，求出即可求解．
【详解】解：过C作于点，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为．
∵，，
∴，
∴EF最小值为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出是解答关键．
19．21
【分析】由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，且都为等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴，
∵点与点关于直线对称，，
∴，AD=DP，
∴CD=DP，，
∴，
∴，
故答案为21．
【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用基本作图作∠BCD的平分线；
（2）先利用平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则∠BAE=∠DCF，∠ABE=∠CDF，然后证明△ABE≌△CDF，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，CN为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，作已知角的角平分线．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．见解析
【分析】先证明BE∥CF，证明△AEB≌△DFC，可得BE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．
【详解】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°，
∴BE∥CF，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)15
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，由中点的性质可得EO＝AO，GO＝CO，FO＝BO，HO＝DO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得EO＋FO＝9，由三角形中位线定理可得EF＝6，即可求解．
（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
， ，
四边形是平行四边形；
（2）
解：，
，
，
、分别是、的中点，
，且，
，
的周长，
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键．
23．①或③，证明见详解
【分析】根据平行四边形的判定定理，证明即可．
【详解】解：可以选择①或③．证明如下：
如图，连接BE、DF，
若选择①，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵
∴即
∴四边形DEBF是平行四边形
若选择③，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定定理，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．
24．(1)是
(2)①OE与OF始终相等；理由见解析；②四边形是AECF平行四边形；理由见解析
【分析】（1）设细木条与AB交于点G，与CD交于点H，根据平行四边形的性质，得出S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，根据“ASA”证明△AOG≌△COH，△BOG≌△DOH，得出S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，即可证明结论；
（2）①根据“ASA”结合平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，即可证明结论；
②根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可证明结论．
（1）
两部分的面积相等，理由如下：
设细木条与AB交于点G，与CD交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAG＝∠OCH，S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，
∵在△AOG和△COH中，
∴△AOG≌△COH（ASA），
同理：△BOG≌△DOH（ASA），
∴S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，
即四边形AGHD的面积＝△BGHC的面积，
∴在拨动细木条的过程中，两部分的面积是始终相等，
故答案为：是．
（2）
①OE与OF始终相等，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
②四边形是AECF平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
由①可得：OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
25．（1）∠ABC＝50°；（2）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可求解；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明△ABE≌△CDF（ASA），从而证得∠AEF＝∠CFE，即可得到AE∥CF，AE＝CF.
【详解】解：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．（1）见解析；（2）
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长
【详解】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴，，
∵延长BC至点F，使，
∴，；
（2）解：∵，，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴．
【点睛】考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
27．（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明如下：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【点睛】方法点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
28．（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EFAB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在RtCDE中，DE＝＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
29．(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
(3)当时，四边形是正方形．证明见解析
【分析】（1）根据，得，结合得，根据平行四边形的判定，得．
（2）由题（1）得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，可判定四边形是平行四边形，又根据，判定平行四边形是菱形．
（3）根据三角形内角和，当时，得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，根据等角对等边，得，又根据正方形的判定，即可判定四边形是正方形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）四边形是菱形．理由如下：
由（1）得，，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）当时，四边形是正方形．
证明，如下：
∵，
∴
又∵点为的中点
∴
∴
∴
又∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．