武强中学 2022-2023 学年度下学期调研考试
高一数学试题
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
M z z in , n N 1 i1．已知集合 ，则下列复数：① ；② 1 i 1 i ；③ 1 i 2；1 i
④ i i2 i3 i2021，其中属于集合 M的为（ ）．
A．①②； B．①③； C．①④； D．①③④．
2
．已知MN a 5b ， NP 2(a 4b)，PQ 3(a b)，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线
3．已知 A m, 6 ， B 2,m ， P 0, 2 ，Q 5,m ，则下列选项中是 AB PQ的充分
不必要条件的是（ ）
A．m 12 B．m 2 C．m 2 D．m 2或m 11
1
4．在平行四边形 ABCD中，AD 1，AB ， BAD 60 ，E为CD的中点，则
2 AC·BE
（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D． 2
5．已知a 3sin x，cos x ，b cos x，cos x ( 0) ，记函数 f x a b，且
f x 的最小正周期是 π，则 （ ）
2 1 2A． 1 B． C． D．
2 3
6．欧拉在1748年给出了著名的欧拉公式： ei cos i sin 是数学中最卓越的公式
之一，其中底数 e 2.71828 ，根据欧拉公式 ei cos i sin ，任何一个复数
z r(cos i sin )，都可以表示成 z r ei 的形式，我们把这种形式叫做复数的指
试卷第 1页，共 4页
i i z1
数形式，若复数 z 3 ，1 2e z2 e 2 ，则复数
z
z 在复平面内对应的点在（ ）2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在 ABC中，角 A,B,C
2sinB sinA 1
的对边分别是 a,b,c .已知 , cosA ，
a 2b 4
c
则 （ ）
b
3 2 3
A． B 1．
2 3
C． D．
4 2
8．已知锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a,b,c．若
2 cos Acos B cosC 3 sin B ，a 7，bc 6，则b c （ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。)
9．已知向量 a 1, 2 ，b 1,m ，则正确的是（ ）
A．若m 1 ，则 a b 13 B．若 a//b ，则m 2
1
C．若 a与b 的夹角为钝角，则m D．若向量是 c与 a同向的单位向量，则2
c
5 , 2 5
5 5
z cos 2 i sin 2 10．关于复数 （i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
3 3
A． z 1 B． z在复平面上对应的点位于第二象限
C． z3 1 D． z2 z 1 0
11．下列说法中正确的是（ ）
A．在△ ABC中，若 AB AC 0，则△ ABC为钝角三角形
B．已知非零向量 a，b，若 a b a b ，则 a与b反向共线且 a b
试卷第 2页，共 4页
C．若 a / /b，则存在唯一实数 使得 a b
D．若OA 3OB 4OC 0， S AOC， S ABC，分别表示△ AOC，△ ABC的面积，
则 SVAOC : SVABC 3 :8
12．下列说法中正确的有（ ）
A．若 AB与CD是共线向量，则点 A，B，C，D必在同一条直线上
a 1,3 a
B．若向量 ， b 1, 3 ，则 a∥b
AB
C．若平面上不共线的四点 O，A，B，C满足OA 3OB 2OC 0，则 2
BC
π
D．若非零向量 a，b满足 a b a b ，则 a与a b的夹角是 3
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：
若OA
1
x1, y1 ，OB x2 , y2 ，则 S△OAB x1y2 x2 y1 .试用上述成果解决问题：2
已知 A 1,1 ， B 2,3 ，C 4,5 ，则 S ABC ___________.
1 14．已知非零向量m，n满足 4 m =3 n ，cos m，n .
若 n⊥ t m n
，则实数 t的值3
为_____________.
15．已知向量 a sin2x, 2cosx ,b 3,cosx ，则函数 f x a b 1, x , 的 2 2
单调递增区间为__________.
16．如图所示，时钟显示的时间为 10：00，将时针 AB和分针 AC组成 ABC，若 ABC
S
的面积记为 S， ______．
AB AC
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17．已知复数 z=m＋2i 是方程 x2 6x 13 0的根（i是虚数单位，m∈R）
试卷第 3页，共 4页
(1)求|z|：
(2) z a i
2023
设复数 1 ，（ z 是 z 的共复数），且复数 z1所对应的点在第三象限，z
求实数 a的取值范围．
18．在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1 i, 2 3i,6 2i．
(1)求点 D对应的复数；
(2)若________，求TA TB TC对应的复数．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，
则按①给分．
①点 T是 ABC的垂心． ②点 T是 ABC的外心．
r
19．已知 a，b ， c
在同一平面内，且 a 1,2 .
（1）若 c 3 5，且 a//c，求 c；
（2）若 b 2，且 a 2b a b a ，求 与b 的夹角的余弦值.
20．已知向量 a sin ,cos 2sin ，b 1,4 .
(1)若 a // b ，求 tan 的值；
(2)若 a b a b
cos 2
，求 的值.
1 sin 2
21．已知向量 a 3,1 ，b cos x,sin x ， x 0, π .
(1)若 a b，求 x的值；
(2)若 f x a b π ，且 f 2 2 ，求 sin 2 的值.
3 6
22．已知 ABC中，角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，且满足b a cosC c sin A .
（1）求A的大小；
3 1
（2）若 cos B ， BC 5， BD BA，求CD的长.
5 7
试卷第 4页，共 4页
试卷第 5页，共 1页参考答案：
1 n．C【详解】M z z i ,n N 1, i, 1, i
1 i 1 i 2 2i
① i M ；
1 i 1 i 1 i 2
② 1 i 1 i 2 M 1 i 2；③ 2i M
2
④ i i i3 i2021 505 i i2 i3 i4 i 505 i 1 i 1 i i M 故 C
2．B 【详解】 NP 2a 8b ，PQ 3(a b )，
NQ NP PQ 2 a 8b 3( a b) a 5b MN a ， 5b ，
MN NQ，由平面向量共线定理可知，MN与NQ为共线向量，
又 MN与NQ有公共点 N， M ， N，Q三点共线，故选：B．
3．C．【详解】 A(m, 6)， B( 2,m)， P(0, 2)，Q( 5,m)，
AB ( 2 m,m 6)， PQ ( 5,m 2)，
AB PQ， 5( 2 m) (m 6)(m 2) 0 ， m 2或m 11， { 2} { 2 ，
11}， m 2是两直线垂直的充分不必要条件，符合题意．故选：C．
4．C【详解】如下图所示：
由题意可得 AC AB AD，BE BC CE
1
AD AB，
2
1
AD 1， AB
1
， BAD 60 ， AB AD AB AD cos BAD ，
2 4
2 2
AC BE AD AB AD 1 AB AD 1 AB AD 1 AB
2 2 2
答案第 1页，共 9页
12 1 1 1 1
2
1 .故选：C.
2 4 2 2
5．A a ( 3 sin x, cos x),b (cos x, cos x)( 0)
f x = 3sin xcos x+cos 2 x= 3sin2 x+ 1 1 cos 2 x =sin 2 x+
π
+
1
2 2 6 2
， 0，故T
2π
π， 1.故选：A.
2
i
6 D ． 【详解】∵ z 2e 31 2(cos i sin ) 1 3i ，3 3
i z 1 3i (1 3i)( i)z 22 e (cos i sin ) i ，∴ z
1 3 i ，
2 2 z2 i i ( i )
复数 z在复平面内对应的点为 Z ( 3， 1)，点 Z在第四象限.故选：D.
2sinB sinA
7．A【详解】 ，即 a2 4b2，故 a 2b，a 2b
2
cosA b c
2 a2 c2 3b2 1 c 3 b 1
，
2bc 2bc 2 b 2 c 4
c t 1 t 3 1 1设 ，则 ，解得 t 3 或 t 2（舍去）.故选：A
b 2 2 t 4 2
8．C.【详解】∵ 2 cos Acos B cosC 3 sin B， A B C π，
∴2cosAcosB 2cos π A B 3 sin B，
2cos Acos B 2cos A B 3 sin B ，
∴ 2sin AsinB 3 sinB．
3 π ABC ∵ 为锐角三角形，∴sinB 0，∴ sin A ．而 A 0, ，∴ A
π
．
2 2 3
2 2 2 π
由余弦定理可得 a b c 2bc cos 3，∴7 b
2 c2 6，∴b2 c2 13，
则b c b c 2 b2 c2 2bc 13 12 5．故选：C
答案第 2页，共 9页
9．ABD【详解】对于 A，若m 1，则 a b 2, 3 ，所以 a b 13，
故 A 正确；对于 B，若 a//b，则m 2 0，所以m 2，故 B正确；
a
对于 C，若 与b 的夹角为钝角，则 a b 0，且 a与b 不共线，
1 2m 0 1
即 ，解得m m 2m 2 0 ，且 ，故 C不正确；对于 D，若向量 2
a 5 2 5
是 c与 a同向的单位向量，则 c , 5 5 ，故 D正确.故选：ABD.a
2 2 1 3 1 2
2
10．ACD【详解】z cos i sin i 3所以 z 1
3 3 2 2 2
2
A z 1 3
1 3
故 正确 i，则 z 在复平面上对应的点为 , 位于第三2 2 2 2
象限故 B错误
z 1 3 i
2 2
2 2 2
2 1 3 z i
1 2 1 3 3 1 3 i 2 2
i i
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 1 3 1 3 z z z i i 1 3
1 3 1 2 3
i i i
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3
i2 1 3 1 C 1 3 1 3故 正确
4 4 4 4 z
2 z 1 i i 1 0 故 D正
2 2 2 2
确 故选：ACD
11．ABD【分析】由 AB AC | AB || AC | cos BAC 0即可知 cos BAC的
符号；利用向量的几何性质判断 a b a b 成立的条件；根据向量共线
的定义判断存在唯一实数 使得 a b成立的前提；设OD 3OB，
答案第 3页，共 9页
OE 4OC易知O为△ ADE的重心，再令 S AOC x、S AOB y、S BOC z
结合 S AOE S△AOD S EOD，可得 x、y、z的比例关系，最后由
SVAOC :SVABC x : (x y z) 得到结果，即可判断各选项的正误.
【详解】A：AB AC | AB || AC | cos BAC 0，则在△ ABC中 cos BAC 0，
即 BAC为钝角，△ ABC为钝角三角形，正确；
B：由向量的几何性质，要使 a b a b 0则 a与b反向共线且 a b ，
正确；
C：对于非零向量，若有 a / /b则存在唯一实数 使得 a b，若其中存在
零向量则不成立，错误；
D：若OD 3OB，OE 4OC，则OA 3OB 4OC OA OD OE 0，即
O为△ ADE的重心，令 S AOC x， S AOB y， S BOC z，则 S AOE 4x，
S AOD 3y， S EOD 12z，即 4x 3y 12z，所以
SVAOC :SVABC x : (x y z) 3:8 ，正确；故选：ABD
12．BC解】 AB与CD是共线向量，也可能是 AB CD，故 A错误；
1 x 1,
设b x, y ，∵ a 1,3 ， a b 1, 3 ，∴
3 y 3,
解得
x 2,
∴b 2,6 ，又∵1 6 3 2 0，∴a∥b，故 B正确；
y 6,
由已知得 OA OB 2 OC OB BA 2BC 0，∴ AB 2BC，
AB 2 2 2 2 C
∴ ，故 正确；由 a a b 整理可得 b 2a b，设 a与 a bBC
答案第 4页，共 9页
a 2 1
2
b 3 a 2a a b
的夹角是 ，则 cos
3
2 2 ，
a a b 2a a 2
2
b 2a b 3 a 2
π
∴ a与 a b的夹角是 ，故 D错误．故选：BC.6
13．1【详解】因为 A 1,1 ，B 2,3 ，C 4,5 ，所以 AB (1, 2), AC (3, 4)，
又当OA x1, y1 ，OB x2 , y2 时， S
1
△OAB x1y2 x2 y1 ，2
1
所以 S ABC |1 4 3 2|=1，故答案为：1.2
1
14 ． 4 非零向量m， n满足 4 m =3 n ， cos m， n , n⊥ t m n ,3
2
n t m n t m n +n t |m ||n | cos m ,n |n |
2
t 3
| n |2 | n |2 0 ,解得 t 4，故答案为： 4
3 4
, 15． 【详解】由题意， 3 6
f x 3sin 2x 2cos2 x 1 3sin 2x cos2x 2sin 2x ，故 f x
6
的单调递增区间： 2k 2x
2k k Z ，即
2 6 2
k x k k Z ，故 f x 在 x , 的单调递增区间为
3 6 2 2
x ,
故答案为： , 3 6 3 6
16 3． 【详解】设 BAC ，则 ，
2 3
1
又 S AB AC sin ， AB AC AB AC cos ，
2
1 AB AC sin 3
所以 S 1 2 tan
1
tan 3 .故答案为： .
AB AC AB AC cos 2 2 3 2 2
17．(1) z 13
2 3
(2) a
3 2
答案第 5页，共 9页
2
【详解】（1）由题知 (m 2i) 6 m 2i 13 0
∴ 4m 12 i m2 m 9 0
4m 12 0
即 2 m 3 z 3 2i 2 2
m 6m 9 0
， z ( 3) 2 13
a i a i 3 2i 3a 2 2a 3 i
（2) z1 3 2i 3 2i 3 2i 13 ∴
3a 2 0 2
a
3
2a 3 0 3 2
18．(1)5 2i；【详解】（1）因为点 A，B，C对应的复数分别是1 i, 2 3i,6 2i，
所以 A 1,1 , B 2, 3 ,C 6, 2 ,所以 AB 1, 4 .
设D x, y ，则DC 6 x, 2 y .
6 x 1 x 5
因为 ABCD为正方形，所以 AB DC，所以 2 y 4，解得： ， y 2
所以D 5,2 ，即点 D对应的复数5 2i .
（2）选①：因为 ABC为直角三角形，且 B为直角顶点，
所以 ABC的垂心为 B,即T 2, 3 ,所以TA 1,4 ,TB 0,0 ,TC 4,1 ,
所以TA TB TC 1,4 0,0 4,1 3,5 ,对应的复数为3 5i；
选②：因为 ABC为直角三角形，且 B为直角顶点，
7 1
所以 ABC的外心为斜边 AC的中点,即T , .
2 2
TA 5 3
3 5 5 3
所以 , ,TB , ,TC , ,
2 2 2 2 2 2
TA TB TC 5 , 3 3 5 , 5 , 3 3 , 5 所以 ,
2 2 2 2 2 2 2 2
答案第 6页，共 9页
3 5
对应的复数为 i .
2 2
19．（1） c 3,6 或 c 3, 6 10；（2） .
10
r
【详解】（1）设 c x, y ，因为 a 1,2 ，a//c， c 3 5，
y 2x x 3 x 3
所以 ，解得 或 ，所以 c 3,6 或 c 3, 6
x2
；
y
2 3 5 y 6 y 6
r r
（2）因为 a 1,2 ，所以 a 1 4 5，又 a 2b a b ， b 2，
a 2b a b a 2 a b 2b 2 所以 5 a b 2 2 0 ，所以 a b 1，
所以 cos a
,b a b 1 10 a b 5 2 10 .
1 3 r r
20．(1) (2) 【详解】（1）因为 a//b，所以 4sin cos 2sin 0，6 11
1
即6sin cos ，所以 tan ；
6
2 2
（2）因为 a b a b ，所以 a b a b ，
2 2 \ 2
2
即 a b 2a b a b 2a b，所以 a b 0，
即sin 4 cos 2sin 0，所以 tan 4 ，
7
cos 2 cos 2 sin 2 1 tan 2
1 sin 2 cos 2 sin 2 2sin cos 1 tan 2 2 tan
1 16
49 3
1 16
.
8 11
49 7
2 5
21．(1) 3 (2) 【详解】（1）因为 a b所以9 a b 3 cosx sin x 0
，所
2π
以 tan x 3 由于 x 0, π ，所以 x .
3
答案第 7页，共 9页
（2）由 f x a b 3 cos x sin x 2sin x
3
π 2 2 π 2
所以 f 2sin ，即 sin 3 3 3 . 3
cos 2 2π 1 2sin2 而
π 5
3 3 9
sin 2 π sin 2 2π π cos 2 2π 5所以 6 3
.
2 3 9
22．（1） A π ；（2）
4 CD 2 5 .
【详解】解：（1）在 ABC中，由正弦定理得 sin B sin AcosC sinC sin A，
又 sin B sin π A C sin A C ，所以
sin A C sin AcosC sinC sin A
即 sin AcosC cos AsinC sin AcosC sinC sin A，整理得
cos AsinC sinC sin A，
π
因为 sinC 0可得 cos A sin A，又 0 A ，所以 A ；
4
AC BC AC 5
4
（2）在 ABC 2中， sin B 1 cos B ，由 sin B sin A 4 2 ，
5 5 2
解得 AC 4 2，
2
又因为cosC cos A B cosAcosB sin AsinB ，
10
所以 AB2 AC2 BC2 2 AC BC cosC 49，得 AB 7，
1 1
由BD BA得BD BA，所以 BD 1，
7 7
所以CD2 BD2 BC2 2 BD BC cosB 20，所以CD 20 2 5 .
【点睛】关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已
知条件选择合适的定理，并注意角的范围.
答案第 8页，共 9页
答案第 9页，共 9页
