2023学年沪科版数学七年级下册期中考试质量检测卷（一）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2023八上·东方期末）下列各数中，是无理数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·翼城模拟）原子是化学变化中的最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“kg”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，那么这个小数中的“0”有（ ）
A．25个 B．26个 C．27个 D．28个
3．（2023·汨罗模拟）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·蒲城期末）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·凤凰期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·新昌月考）某商畈去菜摊买黄瓜，他上午买了30千克，价格为每千克x元，下午，他又买了20千克，价格为每千克y元﹒后来他以每千克元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A．＜y B． C． D．
7．（2022·牡丹江模拟）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（ ）折
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
8．（2022·邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023九下·柳州月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．（2021七下·泗县期末）根据等式：，，……的规律，则可以推算得出的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023·青羊模拟）比较大小： .（填“>”，“<”，或“＝”）
12．（2021七下·南开期中）已知＝1.449，＝4.573，则是 ．
13．（2023八上·安顺期末）若是关于的完全平方式，则 ．
14．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
三、解答题（共9题，共90分）
15．（2023九下·柳州月考）计算：.
16．（2022八下·紫金期末）解不等式组：
17．（2023八上·西安期末）已知：的立方根是，c是的整数部分.
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根.
18．（2021七下·兰山期末）一艘轮船从某江上游的 地匀速驶到下游的 地用了 ，从 地匀速返回 地用了不到12h，这段江水的流速为 ，轮船在静水中的往返速度不变，且为正整数．试求轮船在静水中速度的最小值是多少？
19．（2022七下·邗江期末）小明和小红在计算时，分别采用了不同的解法.
小明的解法：，
小红的解法：.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）已知满足，求的值.
20．（2022七下·长兴期末）[学习材料]——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1：分解因式：x2+2x-3．
解：原式=x2+2x+1-1-3=（x+1）2-4=（x+1-2）（x+1+2）=（x-1）（x+3）．
例2：分解因式：x3+5x-6．
解：原式=x3-x+6x-6=x（x2-1）+6（x-1）=（x-1）（x2+x+6）．
[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+14x-51= ．
（2）化简：
21．（2023八上·安岳期末）若满足，求的值.
解：设，，则，，.
（1）若满足，求的值；
（2）
【拓展应用】
如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是，分别以为边作正方形.
① ▲ ， ▲ ；(用含的式子表示)
②求阴影部分的面积.
22．（2023·湘潭模拟）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源汽车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆.若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆共需300万元；且购买一辆A型公交车的费用比购买一辆B型公交车的费用少30万元.
（1）求A型和B型公交车的单价分别为多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆日均载客量为160人次和200人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的日均载客量总和不少于1800人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
23．（2022八上·岳麓开学考）若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1） 是 阶不等式；是 阶不等式组；
（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中
如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、无理数；
B、分数是有理数；
C、有限小数是有理数；
D、，是有理数；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：将还原成原数时，小数点向左移动26位，此时小数点前有一个0，小数点后有25个0，
所以这个小数中的“0”有26个，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：
在4和5之间，即
故答案为：A.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出-1的范围，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.，原式分解不彻底，故不符合题意；
B.，等号右边不是积的形式，故不符合题意；
C.是因式分解，符合题意；
D.是乘法运算，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：，
故答案为：B.
【分析】由题意可得买黄瓜所需的总费用为30x+20y，卖出的钱数为×(20+30)，然后根据赔钱了可得总费用>卖出的钱数，再化简就可得到x、y的大小关系.
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设打x折，
根据题意得： ，
解得：x≥7，即至多打7折，
故答案为：A．
【分析】设打x折，根据题意列出不等式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴不等于组的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值应为5
故答案为：C.
【分析】分别求出两个不等式的解集，结合不等式组有且只有三个整数解可得a的范围，据此可得a的最大值.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，
∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据图形结合面积间的和差关系可得S阴影=a2-a2-(a-b)b，化简可得S阴影=[(a+b)2-3ab]，然后将a+b=7、ab=9代入进行计算.
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题目中等式的规律可得：
=（2-1）×
=22022-1，
21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，
所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2022÷4=505…2，
所以22022的末位数字是4，
22022-1的末位数字是3．
故答案为：B
【分析】根据题意先求出2022÷4=505…2，再求解即可。
11．【答案】>
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
故答案为：>.
【分析】将+1、化为小数，然后进行比较.
12．【答案】144.9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵
而
∴
故答案为144.9.
【分析】根据
所以
13．【答案】0或-6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，
∴2（m+3）＝±6x，
∴m+3=±3，
解得：m＝0或-6.
故答案为：0或-6.
【分析】利用完全平方公式的结构特征，可得2（m+3）＝±6x，从而得到m+3=±3，解之即可确定出m的值．
14．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
15．【答案】解：，
=，
=3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则、立方根的概念可得原式=2+1+2-2，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
16．【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得：，
∵，即
∴，
解得：，
∵，是的整数部分，
∴，
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是.
【知识点】平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小；同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念结合题意可得3a+1=-8，根据同底数幂的乘法法则得31+b+2b=34，根据估算无理数大小的方法可得4<<5，据此可得a、b、c的值；
（2）根据a、b、c的值求出2a-b+2c的值，然后利用平方根的概念进行解答.
18．【答案】解：设轮船静水中速度为 ，根据题意列不等式得
解得
因为 为正整数
所以 的最小值为34
答：轮船静水中速度的最小值为 ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】先求出
，再求出
，最后计算求解即可。
19．【答案】（1）解：
∵
∴
∴原式；
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则可得原式=32×34a+2÷33b，结合同底数幂的乘除法法则可得原式=34a+4-3b，由已知条件可得4a-3b=-1，然后代入计算即可；
（2）逆用乘法分配律可得22x+2×3=96，由同底数幂的乘方运算的性质得22x+2=32=25，即2x+2=5，求解即可.
20．【答案】（1）（x-3）（x+17）
（2）解：∵x3-x2-4=x3-2x2+x2-4
=x2（x-2）+（x+2）（x-2）
=（x-2）（x2+x+2），
∴原式==x2+x+2.
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：x2+14x-51
=x2+14x+49-49-51
=（x+7）2-100
=（x+7-10）（x+7+10）
=（x-3）（x+17）.
故答案为：（x-3）（x+17）；
【分析】（1）依据”拆项添项法“，x2+14x-51中添加49再减49，化简整理原式=（x+7）2-100，再利用平方差公式进行因式分解可得（x-3）（x+17），即可求解；
（2）将x3-x2-4变形为x3-2x2+x2-4，再因十分解原式=（x-2）（x2+x+2），再代入原分式中化简整理，即可求解.
21．【答案】（1）解：设，，
则，，，
∵，
∴，
∴
（2）解：① x-1；x-3；②∵长方形的面积是，
∴，
阴影部分的面积.
设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
即阴影部分的面积12.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）①根据图形可得 ，；
故答案为： x-1；x-3
【分析】（1）设2x+5=a，2x-1=b，则a-b=(2x+5)-(2x-1)=6，ab=2，由完全平方公式可得a2+b2=(a-b)2+2ab，代入计算即可；
（2）①根据图形可得MF=BC-AE，DF=CD-CF，据此解答；
②根据矩形的面积公式可得MF·DF=(x-1)(x-3)=8，阴影部分的面积=MF2-DF2=(x-1)2-(x-3)2，设x-1=a，x-3=b，则(x-1)(x-3)=ab=8，a-b=2，然后根据(a+b)2=(a-b)2-4ab求出a+b的值，再根据(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算.
22．【答案】（1）解：设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，
则解得.
答：A型为80万元每辆，B型为110万元每辆.
（2）解：设购买A型a辆，则B型为辆，
则，解得
又∵a为整数，
∴a＝4或5.
有两种购买方案：A型公交车4辆，B型公交车6辆.总费用为980万元；A型公交车5辆，B型公交车5辆.总费用为950万元.
答：A型和B型购公交车各买5辆方案总费用最少，最少总费用是950万元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，根据题中的相等关系“A型公交车1辆的费用+B型公交车2辆的费用=300；1辆A型公交车的费用=1辆B型公交车的费用-30”列关于x、y的方程组，解之可求解；
（2）设购买A型a辆，则B型为（10-a）辆，根据题中的不等关系“a辆A型公交车的日均载客量+（10-a）辆B型公交车的日均载客量1800，a辆A型公交车的费用+（10-a）辆B型公交车的费用1000”可列关于a的不等式组，解之可求解.
23．【答案】（1）0；1
（2）解：解不等式组得： ，
由题意得： 有4个正整数解，为：1，2，3，4，
，
解得： ；
（3）解：由题意得， 是正整数，且 有 个正整数解，
， ，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 没有正整数解，
是 阶不等式；
由 得 ，
有1个正整数解，
是1阶不等式组，
故答案为：0，1；
【分析】（1）求出不等式组的解集，然后结合“n阶不等式 ”的概念进行判断；
（2）求出不等式组的解集，结合不等式组是4阶不等式组可得2a的范围，求解可得a的范围；
（3）由题意得m是正整数，且p≤x
1 / 12023学年沪科版数学七年级下册期中考试质量检测卷（一）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2023八上·东方期末）下列各数中，是无理数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、无理数；
B、分数是有理数；
C、有限小数是有理数；
D、，是有理数；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
2．（2023·翼城模拟）原子是化学变化中的最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“kg”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，那么这个小数中的“0”有（ ）
A．25个 B．26个 C．27个 D．28个
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：将还原成原数时，小数点向左移动26位，此时小数点前有一个0，小数点后有25个0，
所以这个小数中的“0”有26个，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2023·汨罗模拟）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
4．（2023八上·蒲城期末）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：
在4和5之间，即
故答案为：A.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出-1的范围，据此解答.
5．（2023八上·凤凰期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.，原式分解不彻底，故不符合题意；
B.，等号右边不是积的形式，故不符合题意；
C.是因式分解，符合题意；
D.是乘法运算，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
6．（2022八上·新昌月考）某商畈去菜摊买黄瓜，他上午买了30千克，价格为每千克x元，下午，他又买了20千克，价格为每千克y元﹒后来他以每千克元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A．＜y B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：，
故答案为：B.
【分析】由题意可得买黄瓜所需的总费用为30x+20y，卖出的钱数为×(20+30)，然后根据赔钱了可得总费用>卖出的钱数，再化简就可得到x、y的大小关系.
7．（2022·牡丹江模拟）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（ ）折
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设打x折，
根据题意得： ，
解得：x≥7，即至多打7折，
故答案为：A．
【分析】设打x折，根据题意列出不等式求解即可。
8．（2022·邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴不等于组的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值应为5
故答案为：C.
【分析】分别求出两个不等式的解集，结合不等式组有且只有三个整数解可得a的范围，据此可得a的最大值.
9．（2023九下·柳州月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，
∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据图形结合面积间的和差关系可得S阴影=a2-a2-(a-b)b，化简可得S阴影=[(a+b)2-3ab]，然后将a+b=7、ab=9代入进行计算.
10．（2021七下·泗县期末）根据等式：，，……的规律，则可以推算得出的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题目中等式的规律可得：
=（2-1）×
=22022-1，
21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，
所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2022÷4=505…2，
所以22022的末位数字是4，
22022-1的末位数字是3．
故答案为：B
【分析】根据题意先求出2022÷4=505…2，再求解即可。
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023·青羊模拟）比较大小： .（填“>”，“<”，或“＝”）
【答案】>
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
故答案为：>.
【分析】将+1、化为小数，然后进行比较.
12．（2021七下·南开期中）已知＝1.449，＝4.573，则是 ．
【答案】144.9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵
而
∴
故答案为144.9.
【分析】根据
所以
13．（2023八上·安顺期末）若是关于的完全平方式，则 ．
【答案】0或-6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，
∴2（m+3）＝±6x，
∴m+3=±3，
解得：m＝0或-6.
故答案为：0或-6.
【分析】利用完全平方公式的结构特征，可得2（m+3）＝±6x，从而得到m+3=±3，解之即可确定出m的值．
14．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
三、解答题（共9题，共90分）
15．（2023九下·柳州月考）计算：.
【答案】解：，
=，
=3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则、立方根的概念可得原式=2+1+2-2，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
16．（2022八下·紫金期末）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．（2023八上·西安期末）已知：的立方根是，c是的整数部分.
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得：，
∵，即
∴，
解得：，
∵，是的整数部分，
∴，
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是.
【知识点】平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小；同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据立方根的概念结合题意可得3a+1=-8，根据同底数幂的乘法法则得31+b+2b=34，根据估算无理数大小的方法可得4<<5，据此可得a、b、c的值；
（2）根据a、b、c的值求出2a-b+2c的值，然后利用平方根的概念进行解答.
18．（2021七下·兰山期末）一艘轮船从某江上游的 地匀速驶到下游的 地用了 ，从 地匀速返回 地用了不到12h，这段江水的流速为 ，轮船在静水中的往返速度不变，且为正整数．试求轮船在静水中速度的最小值是多少？
【答案】解：设轮船静水中速度为 ，根据题意列不等式得
解得
因为 为正整数
所以 的最小值为34
答：轮船静水中速度的最小值为 ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】先求出
，再求出
，最后计算求解即可。
19．（2022七下·邗江期末）小明和小红在计算时，分别采用了不同的解法.
小明的解法：，
小红的解法：.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）已知满足，求的值.
【答案】（1）解：
∵
∴
∴原式；
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则可得原式=32×34a+2÷33b，结合同底数幂的乘除法法则可得原式=34a+4-3b，由已知条件可得4a-3b=-1，然后代入计算即可；
（2）逆用乘法分配律可得22x+2×3=96，由同底数幂的乘方运算的性质得22x+2=32=25，即2x+2=5，求解即可.
20．（2022七下·长兴期末）[学习材料]——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1：分解因式：x2+2x-3．
解：原式=x2+2x+1-1-3=（x+1）2-4=（x+1-2）（x+1+2）=（x-1）（x+3）．
例2：分解因式：x3+5x-6．
解：原式=x3-x+6x-6=x（x2-1）+6（x-1）=（x-1）（x2+x+6）．
[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+14x-51= ．
（2）化简：
【答案】（1）（x-3）（x+17）
（2）解：∵x3-x2-4=x3-2x2+x2-4
=x2（x-2）+（x+2）（x-2）
=（x-2）（x2+x+2），
∴原式==x2+x+2.
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：x2+14x-51
=x2+14x+49-49-51
=（x+7）2-100
=（x+7-10）（x+7+10）
=（x-3）（x+17）.
故答案为：（x-3）（x+17）；
【分析】（1）依据”拆项添项法“，x2+14x-51中添加49再减49，化简整理原式=（x+7）2-100，再利用平方差公式进行因式分解可得（x-3）（x+17），即可求解；
（2）将x3-x2-4变形为x3-2x2+x2-4，再因十分解原式=（x-2）（x2+x+2），再代入原分式中化简整理，即可求解.
21．（2023八上·安岳期末）若满足，求的值.
解：设，，则，，.
（1）若满足，求的值；
（2）
【拓展应用】
如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是，分别以为边作正方形.
① ▲ ， ▲ ；(用含的式子表示)
②求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设，，
则，，，
∵，
∴，
∴
（2）解：① x-1；x-3；②∵长方形的面积是，
∴，
阴影部分的面积.
设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
即阴影部分的面积12.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）①根据图形可得 ，；
故答案为： x-1；x-3
【分析】（1）设2x+5=a，2x-1=b，则a-b=(2x+5)-(2x-1)=6，ab=2，由完全平方公式可得a2+b2=(a-b)2+2ab，代入计算即可；
（2）①根据图形可得MF=BC-AE，DF=CD-CF，据此解答；
②根据矩形的面积公式可得MF·DF=(x-1)(x-3)=8，阴影部分的面积=MF2-DF2=(x-1)2-(x-3)2，设x-1=a，x-3=b，则(x-1)(x-3)=ab=8，a-b=2，然后根据(a+b)2=(a-b)2-4ab求出a+b的值，再根据(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算.
22．（2023·湘潭模拟）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源汽车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆.若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆共需300万元；且购买一辆A型公交车的费用比购买一辆B型公交车的费用少30万元.
（1）求A型和B型公交车的单价分别为多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆日均载客量为160人次和200人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的日均载客量总和不少于1800人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】（1）解：设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，
则解得.
答：A型为80万元每辆，B型为110万元每辆.
（2）解：设购买A型a辆，则B型为辆，
则，解得
又∵a为整数，
∴a＝4或5.
有两种购买方案：A型公交车4辆，B型公交车6辆.总费用为980万元；A型公交车5辆，B型公交车5辆.总费用为950万元.
答：A型和B型购公交车各买5辆方案总费用最少，最少总费用是950万元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，根据题中的相等关系“A型公交车1辆的费用+B型公交车2辆的费用=300；1辆A型公交车的费用=1辆B型公交车的费用-30”列关于x、y的方程组，解之可求解；
（2）设购买A型a辆，则B型为（10-a）辆，根据题中的不等关系“a辆A型公交车的日均载客量+（10-a）辆B型公交车的日均载客量1800，a辆A型公交车的费用+（10-a）辆B型公交车的费用1000”可列关于a的不等式组，解之可求解.
23．（2022八上·岳麓开学考）若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1） 是 阶不等式；是 阶不等式组；
（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中
如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
【答案】（1）0；1
（2）解：解不等式组得： ，
由题意得： 有4个正整数解，为：1，2，3，4，
，
解得： ；
（3）解：由题意得， 是正整数，且 有 个正整数解，
， ，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 没有正整数解，
是 阶不等式；
由 得 ，
有1个正整数解，
是1阶不等式组，
故答案为：0，1；
【分析】（1）求出不等式组的解集，然后结合“n阶不等式 ”的概念进行判断；
（2）求出不等式组的解集，结合不等式组是4阶不等式组可得2a的范围，求解可得a的范围；
（3）由题意得m是正整数，且p≤x1 / 1