三月测试高一数学试题 A. 与 相等 B. 如果 与 平行，那么 与 相等
C. + = 2 D. | | = | |
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合 = {0,1,2}， = { ∈ | 2 2 < 0}，则 ( ) 10. 下列各式中，值为
3的是( )
2
A. ∩ = {1} B. = C. ∪ = D. A. 1 cos120 B. cos2 12 sin
2
2 12
2. 1使“2 > 1”成立的一个充分不必要条件是 ( ) C. cos15 sin45 sin15 cos45 D. tan15
1 tan215
A. > 0 B. < 1 1 12 C. 0 < < 2 D. 0 < < 4 11. sin , sin ≥ cos ,对于函数 ( ) = 下列说法中不正确的是( )
, sin < cos ,
3. 命题“ ∈ ,都有 2 + + 1 > 0”的否定是 ( ) A. 该函数的值域是[ 1,1]
A. 不存在 ∈ , 2 + + 1 > 0 B. 存在 0 ∈ , 02 + 0 + 1 > 0
B. 当且仅当 = 2 + ( ∈ )时，函数取得最大值 1
C. 2存在 0 ∈ , 202 + 0 + 1 ≤ 0 D. 对任意的 ∈ , + + 1 ≤ 0
4. 已知角 的终边过点 (3,2cos )，则 cos =( ) C. 当且仅当 = 2 2 ( ∈ )时，函数取得最小值 1
A. 3 B. 1 3 C. ± 3 D. 2 D. 当且仅当 2 + < < 2 +
3
2 ( ∈ )时， ( ) < 02 2 2
5. 下列函数既是奇函数，又在区间[ 1,1]上单调递减的是 ( ) 12. ( ) = 2sin(2 + ) ( ) 已知函数 6 ，把函数 的图象沿 轴向左平移6个单位，得到函数 ( )
A. ( ) = sin B. ( ) = | + 1|
的图象，关于函数 ( )，下列说法错误的是( )
C. ( ) = 12 (
+ ) D. ( ) = ln 2 2+ A. 在[ , 4 2 ]上是减函数 B. 其图象关于直线 = 4对称
6. 设 = log54，则 = log
1
1 3， = 0.5
0.2，则 ， ， 的大小关系是 ( )
5 C. 函数 ( ) 是奇函数 D. 当 ∈ [0, 3 ]时，函数 ( )的值域是[ 1,2]
A. < < B. < < C. < < D. < <
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
7. 已知 、 1 1 1均为正实数，且 +2 + +2 = 6，则 + 的最小值为 ( ) 13. 函数 ( ) = 2cos sin( + 3 )的最大值为________．
A. 24 B. 32 C. 20 D. 28
14. 已知 2cos 1 = 2 3sin ，则 cos( 2 ) = ．
8. sin + 2cos = 0 sin 1+sin2
3
已知 ，则 sin +cos =( ) 15. sin40 (tan10 3) =________．
A. 3 B. 45 5 C.
1
5 D.
2
5 16. 若函数 ( ) = sin(2 + ) > 0,0 < < 2 部分图像如图所示，则函数 ( )的图像可由
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
= 2 的图像向左平移 个单位得到．
9. 已知 、 为两个单位向量，下列四个命题中错误的是( )
四、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 12.0分)
第 1页，共 2页
(1)已知 、 都是正数．若 + 2 = 3 1，求 + 1的最小值． (2)依据规定，当海浪高度高于 1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上
2 午 8: 00至晚上 20: 00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？(2)已知不等式 3 + 6 > 4的解集为{ | < 1或 > )( >1).求实数 ， 的值．
18. (本小题 12.0分)
21. (本小题 12.0分)
已知 sin( + ) = 5， ∈(0, )．2 5
如图所示，函数 = 2 ( + ) > 0,0 ≤ ≤ 的图象与 轴交于点 ，且该函数的最
sin(
(0, 3)
(1) 2) cos(
3
2 + )
2
求 的值；
sin( )+cos(3 + ) 小正周期为 ．
(2)求 cos(2 3 4 )的值．
19. (本小题 12.0分)
已知函数 = 4cos sin( + 6 ) 1．
(1)求 ( )的最小正周期和对称中心；
(2) 求 ( )在区间[- , (1)求 和 的值；6 4 ]上的最大值和最小值．
(2) 已知点 2 , 0 ，
是该函数图象上一点， ( 0, 0)是 的中点，当 =
3
0 ， 2 0 ∈ 2 , 时，
20. (本小题 12.0分) 求 0的值．
青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长 580米，宽 40余米的沙滩，是亚洲最大的海水浴场.
这里三面环山，绿树丛花，现代的高层建筑与传统的别墅巧妙地结合在一起，景色非常秀丽.海
湾内水清波小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越． 22. (本小题 12.0分)
已知海湾内海浪的高度 (米)是时间 (0 ≤ ≤ 24)(单位：小时)的函数，记作 = ( ).下表是某 2已知函数 ( ) = +2 + ．
日各时刻记录的浪高数据：
(1)若 = 2，判断 的奇偶性(不用证明)．
0 3 6 9 12 15 18 21 24
(2)当 = 12时，先用定义法证明函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增，再求函数 在[1, + ∞)上的最
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
小值．
经长期观测， = ( )的图像可以近似地看成是函数 = cos + 的图像．
(3)若对任意 ∈ [1, + ∞), ( ) > 0 恒成立，求实数 的取值范围．
(1)根据以上数据，求函数 = cos + 的最小正周期 ，振幅 及函数表达式；
第 2页，共 2页【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：
，
当且仅当即时，取等号．
所以的最小值为．
因为不等式的解集为或．
所以与是方程的两个实数根，且，．
由根与系数的关系，
可得，．
解得：，．
18. 解：，即 ，，
则 ．
．
， ，
，．
．
19. 解：
，
所以的最小正周期，
由题意，解得，
所以的对称中心为
，
，
，
当，即，；
当时，，．
20. 解：，最小正周期，
由，得，
由，得，．
；
由得，解得，，
又，，或，或，
答：一天内的上午：至晚上：之间，有个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午：至下午：．
21. 解：将代入函数中，得，
因为，所以．
由已知，且，得．
因为点，是的中点，，
所以点的坐标为，
又因为点在的图象上，且，
所以，且，
从而得，或，
即，或．
22. 解：为奇函数．
证明：，
函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以是奇函数．
当时，，
，，且，
所以，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上的最小值为．
若对任意，恒成立，
则
所以问题转化为大于函数在上的最大值，
又函数在上单调递减，
所以最大值为，
所以实数的取值范围是．
【解析】
1. 【分析】
本题考查集合的基本运算和集合的关系，属于基础题．
化简集合，然后逐项判断即可；
【解答】
解：，又，
故A，，，，故A正确，其它选项错误．
故选A．
2. 【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式求解，属于基础题．
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为对应集合关系进行求解即可．
【解答】
解：由得，，即，得，
故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”故选D．
3. 【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称量词命题，
命题的否定是存在，使得，
故选：．
4. 【分析】
本题考查由基本不等式求最值以及解不含参的一元二次不等式，属于较易题．
由已知等式变形可得，由基本不等式得到关于的一元二次不等式，解不等式可得的最小值．
【解答】
解：因为，
所以，
整理得，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
解得或，
又，，所以，
故的最小值为．
故选：．
5. 【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属基础题．
分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论，
【解答】
解：对于，函数，是奇函数，在上单调递增，不满足条件．
对于，函数不是奇函数，不满足条件，
对于，函数是偶函数，不满足条件，
对于，函数的定义域为，并且
，所以它是奇函数，
又，区间上单调递减，满足条件．
故选D
6. 【分析】
本题主要考查了对数的运算及性质、指数运算及性质，大小比较，属于基础题．
利用指数运算及性质得到利用对数运算及性质得到，由此得出结论．
【解答】
解：利用指数运算及性质得到
利用对数运算及性质得到，
所以．
故选B．
7. 【分析】
本题考查任意角的三角函数，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用任意角的三角函数可得，求得，即可求解．
【解答】
解：因为角的终边过点，
则由三角函数的定义可知，，
即，，
解得，
因为角的终边过点，横坐标大于零，
所以角为第一或第四象限角，
故．
故选A．
8. 【分析】
本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于基础题．
利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为 后，添加分母，转化为齐次式，再分子分母同除 即可．
【解答】
解：因为 ，
所以，
原式
．
9. 【分析】
本题考查了正余弦函数的图象和性质，属于基础题．
先作出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象得出相应的结论．
【解答】
解：画出函数的图象，
由图象容易看出：该函数的值域是；
当且仅当或，时，函数取得最大值；
当且仅当，时，函数取得最小值；
当且仅当，时，，
可知，，不正确．
10. 【分析】
本题主要考查了二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题
根据二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式对各选项求解即可确定正确答案．
【解答】
解：．，正确，
B.，正确，
C.，不正确，
D.不正确．
故选AB．
11. 【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．
由条件利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．
【解答】
解：把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，
显然，函数是偶函数，故C错误．
当，，函数为减函数，故A正确．
当时，，故的图象不关于直线对称，故B错误．
当时，，，函数的值域是，故D正确，
故选：．
12. 【分析】
本题考查了单位向量以及相等向量的定义，考查了对概念的理解能力，属于基础题．
根据单位向量的定义以及相等向量的定义对应各个选项逐个判断即可．
【解答】
解：因为、为两个单位向量，所以，但是方向不确定，故D正确，A错误，
选项B：如果与平行，则方向相反或者相同，故B错误，
选项C：根据向量的运算法则可得C错误，
故选：．
13. 【分析】
本题考查三角函数的图象与性质、两角的和差三角函数公式，以及利用辅助角公式求最值，属于中档题．
解决问题的关键是两角和与差的三角函数公式展开，结合二倍角公式、辅助角公式化简，可得，进而求得最大值．
【解答】
解：因为
，
因为，
所以．
故答案为．
14. 【分析】
本题考查三角函数的化简求值，诱导公式，二倍角公式和辅助角公式的应用，属于基础题．
由已知条件结合辅助角公式得，从而，使用二倍角公式即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故答案为
15. 略
16. 【分析】
本题考查了三角函数的图象及性质应用，属基础题．
先根据图象信息，得到，再通过平移，即可得到结果．
【解答】
解：由图象得，
得
根据五点作图法得
，
，
所以函数的图像可由的图像向左平移个单位得到．
17. 本题考查了由基本不等式求最值问题，一元二次不等式的解法等知识点，属于基础题．
根据“”的用法，，展开后利用基本不等式可得最小值．
由根与系数的关系，可得实数，的值．
18. 本题考查三角函数的化简与求值，属于基础题．
根据诱导公式和同角三角函数基本关系式得到 和 ，再结合诱导公式得到答案；
利用二倍角公式得到和，再利用两角差的余弦公式得到答案．
19. 本题考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦余弦公式，以及三角函数的性质，题目基础．
首先整理函数式得，故的最小正周期，对称中心为；
由，求得，故，．
20. 本题考查三角函数解析式的确定，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题．
利用周期确定，利用特殊点，确定，，从而可得函数解析式；
由得，即可得出结论．
21. 本题考查由三角函数的部分图象求解析式，涉及三角函数值的运算，属于中档题．
将点代入已知函数，计算可得，由范围可得其值，由结合已知可得值；
由已知可得点的坐标为代入结合和三角函数值的运算可得．
22. 【分析】
由函数的奇偶性的定义，即可得出答案．
当时，，由函数单调性的定义，即可得出答案．
根据题意可得，问题转化为大于函数在上的最大值，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．
