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专题02 导数在研究函数中的应用
知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
知识点4函数极值的定义
（1）极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点5函数极值的求法与步骤
（1）求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
（2）求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
知识点6函数最值的定义
（1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
知识点7求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点1 函数图象与导函数图象的关系
【例1】如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．曲线在处的切线斜率取得最大值
C．在处取得极小值
D．在处取得最大值
【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）
A．B．C． D．
【变式1-3】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（ ）
B．C． D．
考点2 利用导数求函数的单调区间
【例2】7．写出函数的严格增区间：____________．
【解后感悟】求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
【变式2-1】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知函数，函数的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】已知函数，则函数的单调递增区间是_____________．
.
考点3 由单调性利用导数求参数的取值范围
【例3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解后感悟】(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
【变式3-1】函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数的单调递减区间为，则（ ）.
A． B．
C． D．
【变式3-3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
考点4 求函数的极值
【例4】已知函数，则的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解后感悟】函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
【变式4-1】已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值
【变式4-2】已知函数，则的极大值为________________
【变式4-3】函数的极大值为___________.
考点5 由极值求参数的值或取值范围
【例5】1．已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【解后感悟】已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【变式5-1】已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________．
考点6 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例6】已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解后感悟】 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
【变式6-1】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线
【变式6-2】已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点7 不含参函数的最值问题
【例7】（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【解后感悟】求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
【变式7-1】（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式7-2】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
【变式7-3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
考点8 含参函数的最值问题
【例8】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值．
【解后感悟】含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
【变式8-1】（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．
【变式8-2】（2023·陕西咸阳·统考二模）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
考点9 由函数的最值求参数问题
【例9】（2023·高二校考课时练习）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解后感悟】已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题
【变式9-1】（2022春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________.
【变式9-2】（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.
【变式9-3】（2023·高二校考课时练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．
考点10 不等式恒成立问题
【例10】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解后感悟】分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
【变式10-1】（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
【变式10-2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点11 导数在实际问题中的应用
【例11】3．（2023·云南昆明·统考一模）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【解后感悟】利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
【变式11-1】（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式11-2】（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．在上单增，在上单减 D．在上单减，在上单增
2．（2023·高二单元测试）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点
6．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．无零点 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．的极小值点为
7．（2023春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知在处取得极小值，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）已知函数，则的极值点个数为（ ）
A．由参数确定 B．0 C．1 D．2
10．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）
11．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为
12．（2023·高二校考课时练习）若函数，则（ ）
A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值
C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值
13．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值
14．（2023春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________.
17．（2023春·河南·高二校联考期末）若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．
18．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．
19．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.
20．（2023·甘肃定西·高三校考期末）若是函数的极值点，则______.
21．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性.
22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知曲线．
(1)求曲线的单调区间和极值；
(2)求曲线在上的最值．
23．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．
24．（2023·陕西渭南·统考三模）已知函数．
(1)求在上的单调区间；
(2)设，试判断在上的零点个数，并说明理由．
25．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，e是自然对数的底数，为实数．
(1)若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值．
(2)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围
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专题01 导数在研究函数中的应用
知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
知识点4函数极值的定义
（1）极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点5函数极值的求法与步骤
（1）求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
（2）求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
知识点6函数最值的定义
（1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
知识点7求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点1 函数图象与导函数图象的关系
【例1】如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【审题】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.
【详解】由已知可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数在时取极小值，所以，
所以，故选A.
【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．曲线在处的切线斜率取得最大值
C．在处取得极小值
D．在处取得最大值
【答案】B
【解析】由图知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故AC错误，
在处取得最大值，所以曲线在处的切线斜率取得最大值，故B正确，
不能确定是否有最值及最值在何处取得，故D错误，
故选：B
【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，
当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，
当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.
B选项中的图象满足题意.
故选：B.
【变式1-3】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】由的图像知:当时，单调递减，，
当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
由选项各图知：选项C符合题意，
故选：C.
考点2 利用导数求函数的单调区间
【例2】7．写出函数的严格增区间：____________．
【答案】，
【审题】由题意,根据，求解即可.
【解析】由题意，解得，，
故函数的严格增区间为，.
故答案为：，.
【解后感悟】求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
【变式2-1】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，函数定义域为，，
令，得，所以函数的单调递减区间是.
故选：A.
【变式2-2】已知函数，函数的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令即，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A
【变式2-3】已知函数，则函数的单调递增区间是_____________．
【答案】
【解析】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
.
考点3 由单调性利用导数求参数的取值范围
【例3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【审题】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
【解后感悟】(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
【变式3-1】函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】， 函数在区间上单调递减，
∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
而 在区间上单调递减，，∴k的取值范围是 ，
故选：B．
【变式3-2】已知函数的单调递减区间为，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
【变式3-3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为在上单调递增，
则恒成立，
即恒成立，
由于，
所以，
即的取值范围是.
故答案为：
考点4 求函数的极值
【例4】已知函数，则的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【审题】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.
【解析】函数的定义域为，
因为
所以，
令，则，解得或（舍），
x 2
－ 0 ＋
单调递减 极小值 单调递增
由此表可知，当时，的取得极小值为.
故选：D.
【解后感悟】函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
【变式4-1】已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值
【答案】BCD
【解析】设，则，
可设，则，解得，
故，即，
令，则，故在上单调递增，
∴，即，则，A错误；
∵，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴，在处取得极小值，无极大值，
B、C、D均正确
故选：BCD.
【变式4-2】已知函数，则的极大值为________________
【答案】
【解析】由函数得函数，
令，则或，
当时，，当时，，当时，
故为函数的极大值点，极大值为，
故答案为：
【变式4-3】函数的极大值为___________.
【答案】
【解析】的定义域是，
，
令解得，
所以，在区间递增；
在区间递减；
所以的极大值为.
故答案为：
考点5 由极值求参数的值或取值范围
【例5】1．已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【审题】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得.
【解析】求导，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得极大值，
，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，故，解得.
故选：A
【解后感悟】已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【变式5-1】已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
得，
根据题意得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：D．
【变式5-2】已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以 ，
因为函数在上有3个极值点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：C.
【变式5-3】已知函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】函数，求导得：，
因为恒成立，则当时，，无零点，即函数单调递增，无极值点，因此，
当时，有一个零点0，不是变号零点，函数单调递增，无极值点，因此，
当时，有两个零点，并且是两个变号零点，即函数有两个极值点，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
考点6 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例6】已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【审题】（1）根据题意，列出方程组求得，求导，利用导数判断的单调性与极值；
（2）由题意得到原题意等价于与有三个交点，结合（1）中的单调性与极值，列式求解.
【解析】（1）∵，
由题意得，解得，
所以，，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取到极大值，在处取到极小值，
故符合题意，.
（2）令，则，
原题意等价于与有三个交点，
由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取到极大值，在处取到极小值，
故，解得，
所以的取值范围为．
【解后感悟】 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
【变式6-1】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线
【答案】C
【解析】，
令解得，令解得或，
所以在单调递减，单调递增，单调递减，
，且，
所以在各有一个零点，共3个零点，A错误；
为奇函数，所以图象关于对称，
所以的图象关于点对称，B错误；
由单调性可知有两个极值点为，C正确；
对于D，令，解得则，
但是当时，对于直线，有，即直线不经过切点，D错误，
故选:C.
【变式6-2】已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于，
设，，
所以，得．当时，，
所以在上单调递增，当时，，
所以在上单调递减，当时，取极大值.
又，且时，，
因此与的图像如下，直线恒过点.
当时，显然不满足条件；
当时，只需要满足，即，解得．
故选：A.
【变式6-3】已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，
结合函数图象可得：，
解得，的取值范围是.
故选：A.
考点7 不含参函数的最值问题
【例7】（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】
【审题】求导，根据极值点可得，进而解得或，代入验证极值点可确定，进而根据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【解析】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
【解后感悟】求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
【变式7-1】（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
令或，
又，所以
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以函数有极大值，
又，
所以函数在上的最大值为：，
故选：C.
【变式7-2】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
【答案】B
【解析】因为,所以为偶函数，
当时，，.
易知当时,，，则，在[0，π]上单调递增，
所以，，
故选:B
【变式7-3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，故函数最大值为，
故选：B
考点8 含参函数的最值问题
【例8】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值．
【审题】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值．
【解析】（1）因为，所以．
①当时，，则在R上单调递增；
②当时，令，解得或，
则在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，令，解得或，
则在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当时，或．
①当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，
此时在上的最小值为．
【解后感悟】含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
【变式8-1】（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．
【解析】由题意可得：，则，
∵，则有：
当时，则当时恒成立，
则函数在区间上单调递增，则；
当时，则当时恒成立，
则函数在区间上单调递减，则；
当时，则，
令，解得，令，解得，
故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，
①当，即时，则在区间上的最大值为；
②当，即时，则在区间上的最大值为；
③当，即时，则在区间上的最大值为；
综上所述：当时，则在区间上的最大值为；
当时，则在区间上的最大值为；
当时，则在区间上的最大值为.
【变式8-2】（2023·陕西咸阳·统考二模）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，，∴，
又得切点，∴，
所以切线方程为，即；
（2），∴，
令，∴
由，得，所以在上为单调增函数
又，
所以在上恒成立
即在恒成立
当时，，知在上为减函数，从而
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时，；当时.
考点9 由函数的最值求参数问题
【例9】（2023·高二校考课时练习）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【审题】求导，利用导数判断原函数的单调性及最值，根据题意分析运算.
【解析】由题意可得：，，
当时，则，显然不合题意，舍去；
当时，令，而，则，
故在上单调递减，在上单调递增，且，即，
故，解得，则；
当时，令，而，则，
故在上单调递减，在上单调递增，且，即，
故，解得，则；
综上所述：或.
故选：AC
【解后感悟】已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题
【变式9-1】（2022春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【变式9-2】（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】，在上的最小值为，
说明在上单调递减，
所以当时，恒成立，即
所以所以
故答案为：
【变式9-3】（2023·高二校考课时练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意，得．
由，得或，
则在区间和上单调递增，
由，得，
则在区间上单调递减，
所以，即解得．
故答案为：.
考点10 不等式恒成立问题
【例10】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【审题】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得．
【解析】因为
所以，
当时，，函数在上为减函数，
又当时，，不满足在定义域内恒成立；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
所以=＝
由，得，即，
所以k的取值范围是.
故选：D．
【解后感悟】分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
【变式10-1】（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【解析】由不等式，可得，
设，即使得的最小值满足条件即可，
又，
令，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即恒成立.
因此当时，；
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，即实数的最大值为.
故选：.
【变式10-2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
又，均为正实数，所以在单增
当，，当，
∴，，
当时，，当时，
故当时，取最小值，
又，得，所以
∴
即：，
故选：C
【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
且，
所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在上单调递增，
，即在恒成立，
所以，即有，所以，
设，
，
因为，所以，单调递增，，
所以，所以.
故选：A
考点11 导数在实际问题中的应用
【例11】3．（2023·云南昆明·统考一模）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【审题】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.
【解析】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，
如图，借助于圆锥的轴截面，
由题意可得：，
设，则，可得，
故该正四棱柱体积，
构建，则，
∵，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，
故该正四棱柱体积的最大值为8（）.
故选：B.
【解后感悟】利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
【变式11-1】（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则解得，
圆柱的体积为，，
则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以当时，取得最大.
故选:C
【变式11-2】（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角为，圆锥底面半径为，
则扇形的弧长为，圆锥底面周长，解得：，
由勾股定理得圆锥的高：，
容积，
方法一：设，则，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当，即时，容积最大；
方法二：由三元均值不等式（当且仅当时取等号）得：
（当且仅当，即时取等号），
即当扇形圆心角的大小为时，容积最大.
故选：C．
【变式11-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知正三棱锥的底面边长为，斜高为，侧棱长为，
边长为的等边三角形，一边上的高为，其外接圆半径为，
则正三棱锥的高为，
容积.
解法一：.
当且仅当时等号成立.
解法二：，令，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
，
所以.
故选：A
1．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．在上单增，在上单减 D．在上单减，在上单增
【答案】A
【解析】因为，则对任意的恒成立，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数.
故选：A.
2．（2023·高二单元测试）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故，所以在上递增，
，所以，故选：D
3．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图象可得当时，，当时，.
结合图象可得：当时，，即；
当时，，即；
所以的解集为.
故选：D
4．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，
∴.
故选：B.
5．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，在上单调递减，B错误；
对于C，在上单调递减，不是的极小值点，C错误；
对于D，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，D正确.
故选：D.
6．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．无零点 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．的极小值点为
【答案】C
【解析】由函数，可得定义域为，所以B不正确；
又由，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值，
所以C正确，D不正确；
当时，；当时，；当时，，
所以函数在定义域内有一个零点，所以A不正确.
故选：C.
7．（2023春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知在处取得极小值，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，，
，得，
此时，，
令，得或，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
则的值为.
故选：B.
8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设圆锥的底面半径为r，球半径，球心为O．
过圆锥的顶点P作底面的垂线，垂足为．则球心O必定在上，连接OB，则．
所以圆锥的高或者．要求体积的最大值，所以取．
则，．
令，．则，（），
，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，圆锥体积最大．
此时，．
故选：C.
9．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）已知函数，则的极值点个数为（ ）
A．由参数确定 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】函数的定义域为，且，
令，解得或，
所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故有个极值点.
故选：D
10．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）
【答案】C
【解析】，使得成立，则，
由题得，
所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，
所以，
由题得，
∴
故选：C
11．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为
【答案】AD
【解析】因为，所以，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，C不正确；
所以的极大值为，极小值为，A正确；
因为在上单调递增，
所以函数的最大值为，最小值为，B错误；
又，所以切线的斜率为，故切线方程是，即，D正确.
故选：AD.
12．（2023·高二校考课时练习）若函数，则（ ）
A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值
C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值
【答案】CD
【解析】，单调递增，由，
则.
∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
13．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值
【答案】BCD
【解析】设，则，
可设，则，解得，
故，即，
令，则，故在上单调递增，
∴，即，则，A错误；
∵，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴，在处取得极小值，无极大值，
B、C、D均正确
故选：BCD.
14．（2023春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】令，
∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增；
又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，
∴为上的奇函数；
∴在上单调递增.
由，可得，故A正确；
由，可得，故B错误；
由，可得，故C正确；
由，可得，故D错误.
故选：AC.
15．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由知，在R上单调递增，则,故A正确；
恒有，即，
所以的图象是向上凸起的，如图所示，
由导数的几何意义知，随着x的增加，的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小（斜率为正），
所以，故B正确，
设，则，
所以由图象知，故D正确，C错误，
故选：
16．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________.
【答案】
【解析】当时，，为减函数，所以，即，
当时，，为增函数，所以，即，
当时，，为减函数，所以，即，
综上的解集为
故答案为：
17．（2023春·河南·高二校联考期末）若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】，
由题意得在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，只需，
其中，所以.
故答案为：
18．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，
令，，则恒成立，
在上单调递增，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
函数有零点，则，解得．
故答案为：．
19．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，所以.
故答案为：
20．（2023·甘肃定西·高三校考期末）若是函数的极值点，则______.
【答案】
【解析】由题可知，，所以有，解得；检验：当时，，，，易知当时，单调增，，当时，单调减，所以是函数的极大值点，符合题意.
故答案为：
21．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）在上单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，，，
即实数的取值范围为.
（2）由题意得：，则；
令，
①当时，，在上单调递增；
②当时，；
若，即时，恒成立，恒成立，
在上单调递增；
若，即且时，令，解得：，；
（i）若，则，则在上恒成立，
恒成立，在上单调递增；
（ii）若，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知曲线．
(1)求曲线的单调区间和极值；
(2)求曲线在上的最值．
【解析】（1）由可得，
由，可得或，
则曲线的单调增区间为和；
由，可得，则曲线的单调减区间为；
则当时，曲线取得极大值
当时，曲线取得极小值
（2）由（1）可得曲线在上的单调性为：
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
则在上的最大值为2，最小值为
23．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．
【解析】（1）的定义域为．．
若，则，在上单调递增．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．
因此．由（1）知此时．
恒成立等价于恒成立．
设，即恒成立，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然函数在处有唯一零点，且．
而恒成立，所以，
所以．
24．（2023·陕西渭南·统考三模）已知函数．
(1)求在上的单调区间；
(2)设，试判断在上的零点个数，并说明理由．
【解析】（1）∵，
∴，
∴当时，，当时，，
∴在上的单调递增区间为，单调递减区间为
（2），，
则，，
当时，，单调递减，，
当时，，单调递增，，
∴在上有唯一零点，
当时，，
又，∴在上有且只有两个零点．
25．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，e是自然对数的底数，为实数．
(1)若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值．
(2)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以函数的图象在处的切线斜率为，
又因为，
所以函数的图象在处的切线方程为：．
又因为这条切线过点，代入解得．
故答案为：.
（2）当时，，所以．
下面证明，当时，对任意实数，都有恒成立．
记，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
所以当，都有，又，
所以当时，对任意实数，都有恒成立．
综上所述，a的取值范围是
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