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专题04 二项式定理
知识点1 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点2二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
知识点3二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
考点1 二项式定理的正用、逆用
【例1】设，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故，
故选：B.
【解后感悟】(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
【变式1-1】二项式的展开式中共有（ ）项.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】二项式的展开式的项数为，
本题，所以.
故选：C.
【变式1-2】化简的结果为（ ）
A．x4 B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A.
【变式1-3】化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
．
故选：B
考点2 二项式系数与项的系数问题
【例2】若的展开式中的系数与的系数相等，则______．
【答案】或
【审题】利用二项式定理求出的展开式中的系数与的系数，列出方程，即可求出答案．
【解析】的展开式通项为，
的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
展开式中的系数与的系数相等，
，
即，解得或，
【解后感悟】1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280．
【变式2-1】在的展开式中，第四项为（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】D
【解析】在的展开式中，
第四项为.
故选：D.
【变式2-2】二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答).
【答案】
【解析】∵二项式的展开式中第10项是常数项，
∴展开式的第10项为
，
∴n-9-3=0，
解得n=12，
∴常数值为
故答案为：.
【变式2-3】若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】令，则二项式展开式中各项系数和为，解得：.
故答案为：.
考点3 求二项展开式中的特定项
【例3】（2023·河南洛阳·校联考三模）的展开式中常数项为______（用数字作答）．
【答案】7
【审题】根据题意，可得其展开式的通项公式，再求出常数项即可.
【解析】因为
则其展开式的通项公式为，
令，则，
所以其常数项为.
【解后感悟】1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；
(2)求含xr的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（ ）
A．－80 B．－100 C．100 D．80
【答案】B
【解析】由中含的项为，中含的项为，故的展开式中的项为
，故系数为，
故选：B
【变式3-2】（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______.
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
令，则，
则在展开式中，的系数为，
所以.
故答案为：.
【变式3-3】（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．
【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为，
由展开式中，第项为常数项，此时，则，即．
故答案为：.
考点4 二项式系数和问题(赋值法)
【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________.
【答案】34
【审题】令，得，令，得，即可得到答案.
【解析】依题意，
令，得，
令，得.
故.
【解后感悟】二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若，则（ ）
A．45 B．27 C．15 D．3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
故选：D．
【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知，则__________．
【答案】9
【解析】
故，，
所以，
故答案为9.
【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：，则______.
【答案】
【解析】令，则，
故，
故答案为：.
考点5 二项式系数性质的应用
【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第4项与第5项系数相等且最大
【答案】BC
【解析】由题意，的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；
根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为，所以B正确；
根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；由展开式的第4项为，第5项为，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.故选：BC.
【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项．
【变式5-1】2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．32 B． C．16 D．
【答案】B
【解析】∵的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大，
∴，
∴，
∴的第项为，（），
∴令，解得：，
∴，即：展开式中项的系数为.
故选：B.
【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________．
【答案】10
【解析】因为二项式系数和为32，
；
当时，
故答案为：10
【变式5-3】（山东学情2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题B）已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【解析】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，
依题意，，即，
整理得，所以，解得，
所以展开式通项为，
所以，时，
展开式中的有理项分别为，.
（2）由（1）知，展开式通项为，
令项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，所以，
所以展开式中系数最大项为.
考点6 二项式定理的实际应用
【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
(2)求9192被100除所得的余数．
【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1
＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1
＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102
＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，
∴1110－1能被100整除．
(2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．
【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了
【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】D
【解析】，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以4的余数为，
故经过天后是是星期六，
故选：D．
【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】因为
，
而个位数均为0，
所以的个位数字与相同，
而
因为个位数均为0，
所以的个位数字与相同，
故的个位数字为7.
故选：B
考点7 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题
【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是( )
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【解析】法一：(1＋x)n的通项公式Tr＋1＝Cxr中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝35．
法二：多项式可化为＝，二项式(x＋1)7的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r,7－r＝4 r＝3，含x3项的系数为C＝35．故选C．
【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．
【变式7-1】的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
则的系数为：
故答案为：
【变式7-2】已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______.
【答案】156
【解析】∵，，展开式中，含项的系数为19，
∴.
则当或时，含项的系数为；
当，且时，含项的系数为：
，
，
，
.
∴当或9时，的系数最小，为81.
∴，
展开式中含项的系数为.
故答案为：156
【变式7-3】设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则a3等于_____.（用二项式系数作答）
【答案】
【解析】对应的是，各项展开式中含有的系数相加为.即.
考点8 几个多项式积展开式中特定项（系数）问题
【例8】1．已知，则的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【答案】B
【审题】根据，结合二项式定理求解即可.
【解析】因为，
展开式第项，
当时，，
当时，，
故，
即.
故选：B
【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
【变式8-1】在的展开式中，的系数是（ ）
A．60 B．35 C．155 D．90
【答案】B
【解析】
且的通项公式为:
令，则；
令，则；
令，则；
综上可得，展开式中的系数是.
故选:B
【变式8-2】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】D
【解析】展开式中项是与展开式中项相乘加上与展开式中项相乘的和，
于是，
所以所求系数为25.
故选：D
【变式8-3】已知的展开式中含项的系数为，则______.
【答案】
【解析】，
又的展开式通项为，
的展开式通项为，
，解得.
故答案为：.
考点9 三项式展开式中特定项（系数）问题
【例9】若的展开式中的系数为3，则__________.
【答案】
【审题】根据二项式展开式通项特征，即可根据得的取值，进而求解.
【解析】由，
则其通项为,
令，则或，
所以，由于，所以，
【解后感悟】(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
【变式9-1】的展开式中的系数为（ ）
A．5 B． C．15 D．
【答案】C
【解析】可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：
从5个式子中取2个式子提供，余下3个式子提供，则可得到；
从5个式子中取1个式子提供，另4个式子提供，则可得到，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
【变式9-2】的展开式中含项的系数为__________.
【答案】
【解析】展开式的通项为.
令，则，展开式的通项为，令，
则的展开式中含项的系数为.
故答案为：
【变式9-3】展开式中的系数为________（用数字作答）.
【答案】30
【解析】展开式通项为，，
当时，
由得的系数为，
故的系数为.
故答案为：30.
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
则，即.
故选：B
2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设，且，若能被17整除，则等于（ ）
A．0 B．1 C．13 D．16
【答案】D
【解析】，
能被17整除，
且能被17整除，
故能被17整除，
观察选项可得.
故选：D.
3．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中的常数项是（ ）
A． B．15 C．20 D．
【答案】B
【解析】展开式通项为：，
令，常数项为．
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知多项式，则（ ）
A．11 B．74 C．86 D．
【答案】B
【解析】对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
所以.
故选：B.
5．（2023·高二单元测试）在（为正整数）的展开式中，的一次项的系数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从中取，其它取相乘，得一次项为，
从中取，其它取相乘，得一次项为，
，
从中取，其它取相乘，得一次项为，
所以在（为正整数）的展开式中，的一次项为，
所以的一次项的系数为.
故选：B
6．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）在展开式中，含项的系数是（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】D
【解析】∵，且的展开式的通项为，
则含项的系数是.
故选：D.
7．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45 B．36 C．28 D．21
【答案】A
【解析】当展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当展开式的项只含有2个字母时，有项,
当展开式的项含有3个字母时，有项,
所以的展开式共有45项；
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】二项式展开式的通项公式为，其中，
由（其中），即，
，，
依题意可知使上式成立，即，
所以.
故选：A
9．（2023·四川南充·统考二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在二项式 展开式中，二项式系数的和为，
所以.
则即，通项公式为，
故展开式共有9项，当时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种,
故有理项都互不相邻的概率为,
故选：C
10．（2023·全国·高二专题练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，得，
因为且，
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为无理式；
所以展开式一共有9个项，有3个有理式， 6个无理式，
先对6个无理式进行排列，共有种方法；
再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；
利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.
故选：C.
11．（2023·山西·校联考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84 D．有理项有2项
【答案】BC
【解析】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的通项为 ，令，解得．
故常数项为，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC
12．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64
C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项
【答案】BD
【解析】A选项：的展开式中系数分别为：，同理的展开式中系数分别为：，则展开式的系数中存在系数为的项，即A错误；
B选项：取，可得系数和为，即B正确；
C选项：含的项为，即C错误；
D选项：展开式各项可表示为，
若为有理项，则m为偶数，n为奇数，所以m为0或2，或3，共有四项，即D正确．
故选：BD
13．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对A，令得，A对；
对B，由二项式展开项通项公式可得第2项为，B错
对C，令得，C对；
对D，令得，D错.
故选：AC.
14．（2023春·江苏盐城·高二江苏省滨海中学校考期末）关于的展开式中下列结论正确的有（ ）
A．不含项 B．x3项的系数为6 C．常数项为﹣1 D．各项的系数和为0
【答案】AD
【解析】；
故展开式中不含项，故A正确；
x3项系数为11，故B错误；
常数项为﹣5，故C错误，
各项系数和为0，故D正确，
故选：AD．
15．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】二项式的展开式通项公式为，
，，A正确，B错误；
展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，
所以，C正确；
，，，，
因此，，D不正确.
故选：AC
16．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）化简：_______．（结果用表示）
【答案】##
【解析】
故答案为：
17．（上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题）二项式的展开式中，含的项的系数为___．
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项为，
令，得，
所以含的项的系数为.
故答案为：.
18．（2023春·江西·高二校联考开学考试）的二项式展开式中的系数为20，则其中系数最大的项是__________.
【答案】当时，；当时,
【解析】由通项可得，令，解得，
则，；
当时，,其中系数最大的项为；
当时，，其中系数最大的项为.
故答案为：当时，；当时,
19．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）二项式的展开式中含的系数为______．
【答案】
【解析】的展开式通项为，
因为，
在中，，由可得，
在中，，由可得，
所以，展开式中含的系数为.
故答案为：.
20．（2022秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知的展开式各项系数之和为，则展开式中第五项的二项式系数是______，展开式中的系数是______.
【答案】
【解析】的展开式各项系数之和为，解得，
所以，展开式中第五项的二项式系数为；
的展开式的通项为，
令，可得，所以，展开式中的系数为
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专题04 二项式定理
知识点1 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点2二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
知识点3二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
考点1 二项式定理的正用、逆用
【例1】设，化简（ ）
A． B． C． D．
【解后感悟】(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
【变式1-1】二项式的展开式中共有（ ）项.
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1-2】化简的结果为（ ）
A．x4 B． C． D．
【变式1-3】化简（ ）
A． B． C． D．
考点2 二项式系数与项的系数问题
【例2】若的展开式中的系数与的系数相等，则______．
【解后感悟】1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280．
【变式2-1】在的展开式中，第四项为（ ）
A．160 B． C． D．
【变式2-2】二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答).
【变式2-3】若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答）
考点3 求二项展开式中的特定项
【例3】（2023·河南洛阳·校联考三模）的展开式中常数项为______（用数字作答）．
【解后感悟】1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；
(2)求含xr的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（ ）
A．－80 B．－100 C．100 D．80
【变式3-2】（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______.
【变式3-3】（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．
考点4 二项式系数和问题(赋值法)
【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________.
【解后感悟】二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若，则（ ）
A．45 B．27 C．15 D．3
【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知，则__________．
【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：，则______.
考点5 二项式系数性质的应用
【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第4项与第5项系数相等且最大
【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项．
【变式5-1】2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．32 B． C．16 D．
【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________．
【变式5-3】（山东学情2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题B）已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
考点6 二项式定理的实际应用
【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
(2)求9192被100除所得的余数．
【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了
【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点7 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题
【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是( )
A．25 B．30 C．35 D．40
【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．
【变式7-1】的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【变式7-2】已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______.
【变式7-3】设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则a3等于_____.（用二项式系数作答）
考点8 几个多项式积展开式中特定项（系数）问题
【例8】1．已知，则的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
【变式8-1】在的展开式中，的系数是（ ）
A．60 B．35 C．155 D．90
【变式8-2】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．5 D．25
【变式8-3】已知的展开式中含项的系数为，则______.
考点9 三项式展开式中特定项（系数）问题
【例9】若的展开式中的系数为3，则__________.
【解后感悟】(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
【变式9-1】的展开式中的系数为（ ）
A．5 B． C．15 D．
【变式9-2】的展开式中含项的系数为__________.
【变式9-3】展开式中的系数为________（用数字作答）.
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设，且，若能被17整除，则等于（ ）
A．0 B．1 C．13 D．16
3．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中的常数项是（ ）
A． B．15 C．20 D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知多项式，则（ ）
A．11 B．74 C．86 D．
5．（2023·高二单元测试）在（为正整数）的展开式中，的一次项的系数为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）在展开式中，含项的系数是（ ）
A． B．5 C． D．1
7．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45 B．36 C．28 D．21
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·四川南充·统考二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高二专题练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山西·校联考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84 D．有理项有2项
12．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64
C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项
13．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023春·江苏盐城·高二江苏省滨海中学校考期末）关于的展开式中下列结论正确的有（ ）
A．不含项 B．x3项的系数为6 C．常数项为﹣1 D．各项的系数和为0
15．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）化简：_______．（结果用表示）
17．（上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题）二项式的展开式中，含的项的系数为___．
18．（2023春·江西·高二校联考开学考试）的二项式展开式中的系数为20，则其中系数最大的项是__________.
19．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）二项式的展开式中含的系数为______．
20．（2022秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知的展开式各项系数之和为，则展开式中第五项的二项式系数是______，展开式中的系数是______
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