课件22张PPT。本讲优化总结第一讲 坐标系专题一 点在极坐标系中的位置问题【解析】 (1)
(2)专题二 化极坐标方程为直角坐标方程专题三 化直角坐标方程为极坐标方程
化下列直角坐标方程为极坐标方程.
(1)x＋y＝0;(2)y2＝2px＋p2(p>0).【名师点评】 由于极坐标系中同一曲线的方程可以有多种形式,因此 ,将直角坐标方程代入极坐标方程f1(ρ,θ)·f2(ρ,θ)＝0时,若f1(ρ,θ)＝0与f2(ρ,θ)＝0表示同一曲线,可以只取其中一个,做到既不遗漏,又不重复.专题四 用极坐标方程解决简单的几何问题【名师点评】 遇到不太熟悉的极坐标方程的曲线的位置关系问题,可化为常见的直角坐标方程来解决.因此,要正确进行点和方程的极坐标和直角坐标的互化.专题五 利用极坐标求轨迹方程
已知半圆O,求所有与半圆直径AB相切,且和半圆内切的动圆圆心P的轨迹方程.
【解】 如图以O为极点,以OB为极轴建立极坐标系.【名师点评】 利用极坐标求动点的轨迹方程时,首先应选择好极点与极轴,使问题尽量简化.专题六 用极坐标法解决解析几何中的定值问题【名师点评】 在解圆锥曲线上的点与中心连线有关的问题时,可试用极坐标,常可使问题简化.此时的极点取在中心,而不是焦点,不要混淆.专题七 用极坐标解决最值问题本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件19张PPT。第一讲 坐标系第一讲 坐标系课标领航
知识综览
从我们看的地图,到我们的载人飞船“神舟十号”的升空,以及我们中国海军的远洋航行等,都与我们将要学习的坐标系有密切的联系．并且这只是坐标系应用的冰山一角,它的应用十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域．
通过对本讲的学习,学生将掌握各种坐标的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,体验到用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象的神奇,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.学法指导
1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．
2.由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.一 平面直角坐标系?
二 极坐标系第一讲 坐标系学习目标
1.理解平面坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,了解极坐标和直角坐标的互化.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2.极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,叫做_____;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个__________、一个__________ (通常取______)及其_______(通常取________方向),这样就建立了一个极坐标系.极坐标系有四个要素:
________________________________________________.
3.极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的______,记为____;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM叫做点M的_______,记为θ.有序数对_____叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).极坐标(ρ,θ)与________________表示同一个点.极点O的坐标为_____________.极点长度单位角度单位弧度正方向逆时针①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向极径ρ极角(ρ,θ)(ρ,θ＋2kπ)(k∈Z)(0,θ)(θ∈R)4.点与极坐标的关系
若ρ<0,则－ρ>0,规定点(－ρ,θ)与点(ρ,θ)关于______对称,即(－ρ,θ)与(ρ,π＋θ)表示同一点.如果规定____________,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是___________的.极点ρ>0,0≤θ<2π惟一确定题型一 点的极坐标【解】如图所示,A、B、C、D
四个点分别是惟一确定的.【名师点评】 建立极坐标系,以O为极点,Ox为极轴,设点M(ρ,θ),则ρ＝|OM|,即M与极点O的距离,θ是角的弧度数(也可以是角的度数).变式训练题型二 极坐标与直角坐标之间的互化【答案】 C
【名师点评】 本题主要考查直角坐标与极坐标之间的互化,以及极坐标的不确定性,一个点可以对应多个极坐标.变式训练
1.极坐标系有四个要素:极点、极轴、长度单位、角度单位及方向.
2.极坐标系中,点与其坐标是“一对多”的对应,点坐标是表示点的充分不必要条件.非极点的点坐标有两组:(ρ,θ＋2kπ)和(－ρ,θ＋2kπ＋π),k∈Z,只在特殊规定时,点的坐标才是惟一的.在f(ρ,θ)＝0表示的曲线C上,不一定有坐标(ρ,θ)满足f(ρ,θ)＝0,但也不是说P的坐标与方程f(ρ,θ)＝0毫无关系.一般地,有以下结论:(1)坐标适合方程的点都在曲线C上;(2)曲线C上每一个点的所有坐标中至少有一个坐标适合方程.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件27张PPT。三 简单曲线的极坐标方程
四 柱坐标系与球坐标系简介第一讲 坐标系学习目标
1.能在极坐标系中画出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆).通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2.借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别.1.曲线的极坐标方程
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)＝0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)＝0的点都是在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)＝0叫做曲线C的_____________.极坐标方程2.柱坐标系
一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间_____一点,它在Oxy平面上的______为Q,用___________________表示点Q在平面Oxy上的__________,任意射影(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)极坐标这时点的位置可用有序数组____________表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组______之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组_______叫做点P的柱坐标,记作________,其中________________. 空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标
(ρ,θ,z)之间的变换公式为______________.ρ,θ,z (z∈R)(ρ,θ,z)(ρ,θ,z)P(ρ,θ,z)ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R3.球坐标系
一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.
设P是空间_____一点,连结OP,记|OP|＝_,
OP与Oz轴_____所夹的角为φ,设P在Oxy
平面上的_____为Q,Ox轴按_______方向
旋转到OQ时所转过的__________为θ,这样点P的位置就可以用有序数组________表示,这样,空间的点与有序数组_______之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组________,叫做点P的球坐标,记作________,其中________________________.任意正向射影逆时针最小正角(r,φ,θ)(r,φ,θ)P(r,φ,θ)(r,φ,θ)r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π题型一 极坐标方程与直角坐标方程之间的互化 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ,ρ＝－4sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.【名师点评】 掌握极坐标方程与直角坐标方程之间的互化是解决本题的关键.变式训练题型二 求直线的极坐标方程 设极点O到直线l的距离为d.由点O向直线l作垂线,由极轴到垂线OA的角度为α,求直线l的极坐标方程.
【解】 如图,在直线l上任取一点M(ρ,θ),【名师点评】 通过此例使学生理解,求曲线的极坐标方程就是利用曲线上点的几何性质,找到ρ与θ满足的关系式f(ρ,θ)＝0.变式训练题型三 求圆的极坐标方程【答案】 B
【名师点评】 本题主要考查圆的极坐标方程的求法.变式训练题型四 极坐标系中曲线位置关系【名师点评】 本题给出的是极坐标方程,而所求的交点为极坐标,可以直接求解,当然也可以转化为普通方程解答.变式训练题型五 极坐标系中的最值问题【名师点评】 已知圆的极坐标方程,可以转化为普通方程,然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标.并把直线的极坐标方程转化为普通方程,由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.在求点线距离时常常把极坐标方程转化为普通方程进行解答,因此要学会转化的思想和数形结合的思想.变式训练
5.已知A是曲线ρ＝3cos θ上任意一点,求点A到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值.1.平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题,以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程后研究问题就比较容易,而研究极坐标方程时往往要与普通方程进行相互转化,在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.2.常见的直线和圆的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程(a>0)
①过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ＝α;
②垂直于极轴,并且与极点的距离为a的直线的极坐标方程:ρcos θ＝a;
③平行于极轴,并且与极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:ρsin θ＝a;
④不过极点,与极轴成α角,且到极点距离为a的直线的极坐标方程:ρsin(α－θ)＝a.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
