第六章 平面向量及其应用 单元测试（含解析）

第六章 平面向量及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
3．如果向量，，那么
A．6 B．5 C．4 D．3
4．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
7．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（ ）.
A． B． C． D．
8．已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ）
A． B． C． D．
9．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
二、多选题
11．已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，，则下列叙述中，正确的是（ ）.
A．， B．，
C． ，使 D． ，使
13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A． B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆的半径为
三、填空题
15．已知是的中线，若，，则的最小值是____________．
16．设为单位向量，且，则______________.
17．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .
18．在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________
四、解答题
19．在中，已知，，，求、及
20．设向量满足，且.
(1)求与夹角的大小；
(2)求与夹角的大小；
(3)求的值.
21．已知函数.
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积.
22．如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
2．D
【分析】根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.
【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使，
即，
又与是不共线向量，
∴，解得
故选：D
3．B
【分析】先求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由已知，所以，
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，掌握向量模的坐标表示是解题关键，本题属于基础题．
4．A
【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.
【详解】因为，而，所以，所以，故.
故选：A
5．B
【解析】由向量垂直结合数量积的定义可求出，进而可求出向量在方向上的投影.
【详解】设与的夹角为，∵，∴，
∴，∴向量在方向上的投影为，
故选:B.
【点睛】本题考查了由向量垂直求向量的夹角，考查了数量积的定义，考查了向量投影求解，属于基础题.
6．C
【分析】由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.
【详解】
由题设，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共线.
又，
∴.
故选：C
7．B
【分析】待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】设，
由知，∴，∵，，三点共线，∴①，
由知，∴，∵，，三点共线，∴②，
由①②得：.，∴，
而，
∴
故选：B
8．C
【分析】由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得．
【详解】由知在直线上，当时，最小，
如图，，又，
∴，，这时，．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键．
9．A
【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
10．B
【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【点睛】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
11．AD
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论.
【详解】由题意可得.
A选项，，故满足题意；
D选项，，故满足题意；
BC选项中的不与平行.
故选：AD.
12．BC
【分析】根据向量共线和向量的垂直的坐标运算，列出方程，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
若，可得，此时方程无解，所以不存在，使得，所以A不正确；
由，所以，所以B正确；
由，可得，可得，所以C正确；
因为，
若，可得，可得，此时方程无解，所以D不正确.
故选：BC.
13．AD
【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.
【详解】，故，根据正弦定理：，即，
，故，，.
，化简得到，解得或，
若，故，故，不满足，故.
.
故选：.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14．ACD
【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.
【详解】由题意,设,
解得;
所以,
所以A 正确;
由以上可知最大,
所以为锐角,
所以B错误;
由以上可知最小,
,
,
即,
因为为锐角,为锐角,所以
所以C正确;
因为，所以,
设外接圆的半径为,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.
故选: ACD.
15． 1
【详解】试题分析：因为，又，所以，即，的最小值是1.
考点：向量数量积
16．
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
17．7
【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.
【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒
∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,
故答案为：7
18．
【解析】根据向量关系可得，即判断的取值范围即可，由图可知的最大值为，最小值为.
【详解】设外接圆的圆心为，半径为，
可得
，
M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，
且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，
则，
的最大值为，最小值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系整理出，从而转化为的取值范围.
19．，，或，，
【分析】根据正弦定理和已知条件，，，求得的值，进而求得，再根据三角形内角和求得，最后利用正弦定理求得．
【详解】解：根据正弦定理，．
∵，且，或
当时，，；
当时，，．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】根据数量积的定义和运算律依次计算即可求得结果.
(1)
由得：，解得：，
，
，.
(2)
，，
，
，.
(3)
，
，
.
21．（1）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2）.
【解析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；
（2）求出角，利用正弦定理得C角和B角，再由计算即可.
【详解】解：（1），
由，得，k∈Z；
由，得，k∈Z.
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；
（2），则 ，
∵A∈（0，π），∴，即，
由正弦定理得，即，解得 ，∴或，
当C＝时，A+C＞π，舍去，所以，故，
∴.
【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）设，由，，三点共线，由共线定理可知：，求得的值，；
（2）由（1）可知，，，三点共线，，即可求得求的值．
【详解】解：(1)由、、三点共线可设，
∵，，∴，
∵、、三点共线，∴，即，
∴；
(2)由(1)知，
∵、、三点共线，
∴，即.
【点睛】本题考查向量共线定理，考查向量的运算，考查数形结合思想，属于中档题．
答案第1页，共2页
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