§1.2 30°，45°，60°角的三角函数值[下学期]
文档属性
| 名称 | §1.2 30°，45°，60°角的三角函数值[下学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 32.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-05-10 18:51:00 | ||
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文档简介
第三课时 §1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
知识与能力目标
能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
过程与方法目标
通过自主探索经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
情感与价值观要求
通过数学活动，产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立学好数学自信心.
教学重点
探索30°、45°、60°角的三角函数值； 含30°、45°、60°角的三角函数值的计算；锐角三角函数值的大小比较.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
提示：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢 含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD＝a.则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗
师生互动、学习新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
sin30°＝.
cos30°＝.tan30°=
2、45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
sin60°=, cos60°=,tan60°＝.
也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=, cos45°＝, tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
2.例题讲解
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45° =()2+()2-1= + -1＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°，∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m).∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34 m
随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+=
(3)原式=×+×；=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
解：扶梯的长度为=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.
归纳提炼
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；
tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
课后作业
习题1.3第1、2题
活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
备课资料
参考练习
1.(2003年北京石景山)计算：.
答案：3-
2.(2003年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-
答案：-
3.(2003年广东梅州)计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.
答案：
4. (2003 年广西)计算：sin60°+
答案：-
5.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(+π)0-cos60°-.
答案：-
教学目标
知识与能力目标
能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
过程与方法目标
通过自主探索经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
情感与价值观要求
通过数学活动，产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立学好数学自信心.
教学重点
探索30°、45°、60°角的三角函数值； 含30°、45°、60°角的三角函数值的计算；锐角三角函数值的大小比较.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
提示：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢 含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD＝a.则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗
师生互动、学习新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
sin30°＝.
cos30°＝.tan30°=
2、45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
sin60°=, cos60°=,tan60°＝.
也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=, cos45°＝, tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
2.例题讲解
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45° =()2+()2-1= + -1＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°，∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m).∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34 m
随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+=
(3)原式=×+×；=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
解：扶梯的长度为=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.
归纳提炼
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；
tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
课后作业
习题1.3第1、2题
活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
备课资料
参考练习
1.(2003年北京石景山)计算：.
答案：3-
2.(2003年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-
答案：-
3.(2003年广东梅州)计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.
答案：
4. (2003 年广西)计算：sin60°+
答案：-
5.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(+π)0-cos60°-.
答案：-