7.5正态分布同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.5 正态分布 同步练习
一、单选题
1．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于（ ）
A．10 B．100 C． D．
2．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7
3．从某市市郊乘车前往该市的高铁站有1号线和2号线可走，1号线穿过市区、路程短但交通拥挤，所需时间X（单位：分钟）服从正态分布；2号线走绕城公路、路程长但阻塞较少，所需时间Y（单位：分钟）服从正态分布N（60，16）．若住该市市郊同一小区的明明和亮亮两人分别有69分钟和64分钟可用，要使两人按时到达高铁站的可能性更大，则明明、亮亮两人应选择的路线分别是（ ）
A．1号线、2号线 B．2号线、1号线
C．1号线、1号线 D．2号线、2号线
4．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩（满分150分）服从正态分布，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（ ）
附：，，.
A．8 B．13 C．16 D．32
6．已知，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.85 D．0.7
7．已知随机变量，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
9．有条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：)都服从正态分布，且.在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
11．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A．16 B．10 C．8 D．2
12．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
14．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：）
A．16 B．18 C．20 D．25
15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：，则，）
A．2718 B．1359 C．340 D．906
二、填空题
16．已知随机变量服从正态分布，若，则_____．
17．已知服从正态分布的随机变量在区间，，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为______.
18．若随机变量，已知，则______.
三、解答题
19．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表.
成绩/分
频数 40 90 200 400 150 80 40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
20．某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/ 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.
（2）为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y).
21．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：
得分
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求的值；
②若，求的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额(单位：元) 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
22．某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对名称，通过公式换算成标准分.高考后公布考生的标准分，而不公布基础分.考生根据自己的标准分多少就可以大致估出自己在全省考生的名次.其标准分X是服从正态分布N（500，1002）的随机变量.假设某学生的数学成绩不低于600的概率为p0.
（1）求p0的值；
（2）某校高三的高考英语和数学两科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的共有8人，在这些同学中随机抽取3人，设三人中英语和数学双科都超过600分的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望.
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974.）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用正态密度曲线上的最高点坐标，列出方程求出，代入该随机变量的方差求解即可．
【详解】
由正态密度曲线上的最高点为，知，所以D(X)=σ2=.
故选：C
2．A
由随机变量，易得，然后结合，利用正态分布的对称性求解.
【详解】
∵随机变量，
，
又，
，
根据正态分布的对称性可得，
故选：A．
3．B
根据正态分布的应用求出两人分别走1号线和2号线到达高铁站的概率，然后分别比较大小即可.
【详解】
对于明明，有69分钟可走，
若走1号线，则到达高铁站的概率为：
若走2号线，则到达高铁站的概率为
因为，所以明明应选择2号线；
对于亮亮，有64分钟可走，
若走1号线，则到达高铁站的概率为
若走2号线，则到达高铁站的概率为
因为，所以亮亮应选择1号线，
故选：B．
4．A
根据X（单位：克）服从正态分布，可得所以每袋盐超过400克的概率为0.5，从而可求得0袋和1袋盐超过400克的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出答案.
【详解】
解：因为某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布，所以每袋盐超过400克的概率为0.5，不超过400克的概率为0.5，
则有0袋盐超过400克的概率为，
有1袋盐超过400克的概率为，
所以至少有2袋的质量超过400克的概率为.
故选：A.
5．A
先根据频率约等于概率，求出P，再结合题中给的参考数据可得答案.
【详解】
，
，
，，
，.
故选：A.
6．D
根据正态分布的性质计算可得；
【详解】
解：因为，正态曲线的对称轴为，因为，所以，所以
故选：D
7．B
根据已知条件得出，且有，由此可求得结果.
【详解】
已知随机变量，，则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：B.
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
8．C
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
9．D
由正态分布的对称性得，再结合独立重复试验求解即可得答案.
【详解】
由题知正态分布的对称轴为，
又因为，故.
故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：.
故选：D.
本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得，进而根据独立重复试验的概率求解即可.
10．B
观察图象可知图象的对称轴相同，所以其平均值相等，根据尖陡程度可以判断出其的大小关系，从而求得其结果.
【详解】
由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，
由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，
故选：B.
该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有根据概率密度曲线判断其均值和方差的特征，从而求得结果.
11．C
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
因为数学成绩，所以，因此由
所以有，
估计该班数学得分大于120分的学生人数为，
故选：C
12．D
根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线的对称轴，然后由，求得，再利用正态曲线的对称性求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
所以，
故选：D
本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．B
由,根据对称性得出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．
【详解】
因为数学成绩，
所以由可得：，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）
故答案为：9.
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解．
14．B
由题可得，即得.
【详解】
∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，
∴，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为.
故选：B.
15．C
根据题中条件，由正态分布，求出阴影部分的面积，求出点落在阴影部分的概率，进而可得出结果.
【详解】
∵，
所以阴影部分的面积
，
则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为．
故选：C.
本题主要考查由正态分布求指定区间的概率，涉及与面积有关的几何概型的应用，属于常考题型.
16．0.14##
根据正态曲线的对称性结合,即可求得答案.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，所以，即正态曲线关于直线对称，
所以,
故答案为：0.14
17．0.8185
根据条件结合正态曲线的对称性即可解得答案.
【详解】
根据题意得到质量在到之间的大米概率为0.954，则小于的大米的概率为；质量在到之间的大米的概率为0.683，故质量大于的大米的概率为.故质量在的大米的概率为.
故答案为：0.8185.
18．
根据正态分布的对称性即可求出答案.
【详解】
因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
又因为，所以，
故答案为：.
19．（1）；（2）75.5分；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
（1）利用平均数的计算公式即可求解；
（2）利用正态分布的概率分布即可求解；
（3）先利用分层抽样的方法求出抽取的6份试卷中成绩在和内的份数，然后求出的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出的分布列及数学期望.
【详解】
解：（1）由频数分布表
.
（2）由题意得，
且，
又，
故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分.
（3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在内的有4份，成绩在内的有2份，
故的所有可能取值为0，1，2，
且，，，
所以得分布列为
0 1 2
数学期望.
方法点睛：求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验.
20．（1）；（2）设备M的性能等级为丙级；（3）.
（1）根据题目提供的数据，求出，以及回归方程过样本中心求出，从而求出回归方程.
（2）分别求出，，，，
，，根据题中的100个数据判断满足其中的几个不等式，通过评判规则来决定性能等级;
（3）题目要求从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算次品总数的数学期望，分别满足超几何分布和二项分布，再求期望.
【详解】
（1），
，
；
（2），，
，，
，，
，
，
，
设备M的性能等级为丙级；
（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，
则，于是；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，
由题意可知Y2的分布列为：
Y2 0 1 2
P
故.
则次品总数Y的数学期望.
这类问题的关键在于理解题意，准确计算.第一问的计算要利用题中告诉的数据求出、；第二问的数据从100个数中选；第三问的关键在于分清两种不同方式下的不同分布，再分别计算.
21．（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为41.25元.
（1）根据题意直接计算平均值即可，再结合正态分布的对称性得到，即得a值；
（2）先根据正态分布知获赠1次和2次随机话费的概率均为,再结合获得随机话费的金额和概率情况写分布列，并计算期望即可.
【详解】
解：（1）①由题意得：，
，
②，
由正态分布曲线的对称性得，，
解得；
（2）由题意得，，即获赠1次和2次随机话费的概率均为,
故获赠话费的的所有可能取值为20，40，50，70，100
，
，
，
，
.
的分布列为：
20 40 50 70 100
元.
所以的数学期望为41.25元.
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
22．（1）0.1587；（2）分布列见解析，.
（1）根据随机变量X服从正态分布N（500，1002），得到μ＝500，σ＝100，再由p0＝P（X＞600）＝1﹣[P（X≤500）+P（400＜X≤600）]求解.
（2）根据英语和数学双科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的有8人，得到ξ的所有取值有0，1，2，3，然后分别求得相应概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（1）由于随机变量X服从正态分布N（500，1002），
∴μ＝500，σ＝100，
P（X＞600）＝1﹣P（X≤600），
由正态分布的对称性，可知P（x≤500）＝，
则P（400＜X≤600）＝0.6826，
则p0＝P（X＞600）＝1﹣P（X≤600）
＝1﹣[P（X≤500）+P（400＜X≤600）]
＝1﹣（）
＝1﹣（0.5+0.3413）
＝0.1587.
（2）英语和数学双科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的有8人，
ξ的所有取值有0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝，
P（ξ＝3）＝，
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
p
E（ξ）＝.
方法点睛：求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率.