8.3.2.2球的表面积和体积 同步练习-河南省杞县高中（含解析）

第三节 球的表面积和体积 同步练习
一、单选题（8题）
1．一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．某四面体的三视图如图所示（三个三角形都为等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（2题）
9．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是__________．
10．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
三、解答题（2题）
11．如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
12．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6，圆柱筒的高是2.
(1)这种“浮球”的体积是多少？
(2)这种“浮球”的表面积是多少？
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，该正四棱柱的体对角线为球的直径，进而计算体对角线长度，并计算体积即可.
【详解】解：设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，
所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，
设球的半径为，
所以，，即，
所以，球的体积为．
故选：B
2．C
【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径
【详解】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：C
3．C
【分析】画出图形，结合图形和已知条件可求出球的半径，从而可求出球的体积.
【详解】如图，为球心，是截面圆的圆心，则由题意可得
,
在中，
所以球的体积为
故选：C
4．B
【分析】设球的半径为r，则由题意可得圆柱的底面半径为r，圆柱的高为，从而可表示出球的体积和圆柱的体积，相除可得答案.
【详解】设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，圆柱的高为，
所以球的体积为，圆柱的体积为，
所以球的体积与圆柱的体积之比为．
故选：B．
5．C
【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：C．
6．C
【分析】根据长方体外接球直径，可求出半径R，再由球体表面积公式，即可求出结果.
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
7．C
【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，利用等体积法可得其内切球的半径，从而得到其内切球的表面积.
【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，
且正四棱锥的高为图中，易得，即：
解得：，所以，内切球的表面积为.
故选：C．
8．A
【分析】根据三视图把几何体还原到正方体中，体对角线即球的直径，计算表面积即可.
【详解】在正方体内将三视图还原为直观图，如图，棱锥为三视图的直观图，
四个顶点均为正方体的顶点，故棱锥的外接球为正方体的外接球，
由三视图知正方体的棱长为1，则，即，
所以.
故选：A.
9．
【分析】设球的半径为，依题意即可求出，再根据球的体积公式计算可得.
【详解】设球的半径为，则，解得或（舍去），
∴球的体积．
故答案为：
10．
【分析】根据外接球与三棱柱的几何位置关系，作出图形，在直角中利用勾股定理求出外接球半径即可求解.
【详解】根据题意，作图如下，
设，
则，
所以，
所以，
如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则，
设外接球的球心为，则有,
所以在直角中，，
所以外接球的表面积为,
故答案为: .
11．(1)
(2)
【分析】（1）连接，设，由可求得，代入球的表面积公式可得结果；
（2）根据旋转体特征可知所得旋转体为一个圆锥里面挖去一个内切球，由圆锥和球的体积公式可计算得到结果.
【详解】（1）连接，为半圆的切线，，
设，则，
，解得：，.
（2），，，，
将阴影部分绕直线旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球，
所求体积.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由球体积公式和圆柱体积公式计算；
（2）由球表面积公式和圆柱侧面积公式计算可得．
【详解】（1）由题意球的半径和圆柱底面半径相等都是，圆柱母线（高）为，
，
（2）表面积为．