6.3二项式定理专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 的展开式中，的系数是( )
A．－20 B．－5
C．6 D．20
2．已知的展开式中含有项的系数是54，则n＝________.
3．如果，那么的值等于________．
4.的展开式中，的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
5．已知，则等于( )
A．63 B．64
C．31 D．32
课中讲解
知识点
1．二项式定理：
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共n+1项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示.
3．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即.
②二项式系数和：令,可得二项式系数的和为
，
变形式.
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，从而得到：
④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.
⑤系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.
一、求系数LV.4
例1.
在的展开式中,常数项等于.
例2.
在的展开式中，的系数为 （用数字作答）.
例3.
在的展开式中,的系数为____________．（用数字作答）
例4．
展开式中的系数为( )
A．120 B．－120
C．－45 D．45
例5.
已知多项式，则＝______，＝______.
过关检测（10mins）
1.在的展开式中,常数项是 （用数字作答）.
2.的展开式中的系数是______.
3.二项式的展开式中含的项的系数是（用数字作答）.
4. 的展开式中，的系数是________．(用数字填写答案)
5. 展开式的常数项为( )
A．120 B．160
C．200 D．240
6.展开式中的系数为( )
A．15 B．20
C．30 D．35
二、求a或n LV.4
例1.
若展开式的二项式系数之和为,则 ;其展开式中含项的系数为 .（用数字作答）
例2.
若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是( )
A．21 B．－21
C．7 D．－7
例3.
已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A． B．
C． D．
例4.
在的展开式中,的系数为,则实数等于
A. B. C. D.
例5.
若展开式中的常数项为180，则a＝________.
例6.
若的展开式中含x的项为第6项，设，则的值为________．
过关检测（8mins）
1.若二项式的展开式中的第5项是常数，则自然数的值为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
2.设常数,若的二项展开式中项的系数为,则______.
3.在展开式中的系数为280，则实数的值为( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
4.若的展开式中含的项的系数为30，则的值为______，展开式中所有项的系数之和为______．
课后练习
补救练习（20mins）
1.在的展开式中,常数项为（用数字作答）
2.在的展开式中,的系数是 （结果用数值表示）.
3.在的展开式中,项的系数为.（用数字作答）
4.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为,则
5.在的展开式中,的系数等于.
6.二项式的展开式的第二项是
A. B. C. D.
7.在的展开式中,常数项为.（用数字作答）.
8.的展开式中的系数为( )
A．－80 B．－40
C．40 D．80
巩固练习（12mins）
1.在的二项展开式中,的系数为.
2.在的展开式中,项的系数是.（用数字作答）
3.的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)
4.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则＝________.
5.若，且
，则实数的值为( )
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
拔高练习（15mins）
1.在的展开式中，含的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
2.中的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3
C．2 D．0
3.已知的展开式中的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
4.设，则
的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5.已知展开式中的二项式系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数的值．二项式定理专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 的展开式中，的系数是( )
A．－20 B．－5
C．6 D．20
【答案】A
【解析】
令
∴的系数为－20.
2．已知的展开式中含有项的系数是54，则n＝________.
【答案】4
【解析】 (1＋3x)n的展开式的通项为
令r＝2，得.由题意得，解得.
3．如果，那么的值等于________．
【答案】0
【解析】令x＝0，有；令x＝1，有，所以.
4.的展开式中，的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】 C
【解析】，则.由题意，令r＝2，得.再设则 m，令m＝1，得，故原式中的系数为.
5．已知，则等于( )
A．63 B．64
C．31 D．32
【答案】A
【解析】：选A 逆用二项式定理得，即，所以n＝6，所以.
课中讲解
知识点
1．二项式定理：
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共n+1项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示.
3．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即.
②二项式系数和：令,可得二项式系数的和为
，
变形式.
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，从而得到：
④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.
⑤系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.
一、求系数LV.4
例1.
在的展开式中,常数项等于.
【答案】160
【解析】由已知得到,所以常数项为
例2.
在的展开式中，的系数为 （用数字作答）.
【答案】-14
【解析】令得r＝1故 的系数为
＝－14
例3.
在的展开式中,的系数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】,令,,即答案为
例4．
展开式中的系数为( )
A．120 B．－120
C．－45 D．45
【答案】A
【解析】 ，
则，令，
则，故的系数为.
例5.
已知多项式，则＝______，＝______.
【答案】16 4
【解析】由题意知为含x的项的系数，根据二项式定理得，是常数项，所以.
过关检测（10mins）
1.在的展开式中,常数项是 （用数字作答）.
【答案】15
【解析】本题考查二次项系数运算
展开式为,即,常数项为.
2.的展开式中的系数是______.
【答案】
【解析】∵,∴时,,.
所以的系数为6.
3.二项式的展开式中含的项的系数是（用数字作答）.
【答案】10
【解析】二项式的展开式的每一项为:
令得,∴的系数为.
4. 的展开式中，的系数是________．(用数字填写答案)
【答案】10
【解析】展开式的通项为
令，得r＝4.
故的系数为.
5. 展开式的常数项为( )
A．120 B．160
C．200 D．240
【答案】B
【解析】 因为，其展开式的通项为，令，可得，故展开式的常数项为.
6.展开式中的系数为( )
A．15 B．20
C．30 D．35
【答案】C
【解析】 展开式的通项 ，所以的展开式中的系数为.
二、求a或n LV.4
例1.
若展开式的二项式系数之和为,则 ;其展开式中含项的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【解析】由二项式系数和公式可得,,所以,
所以的第项为
当,即时,所以系数为.
例2.
若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是( )
A．21 B．－21
C．7 D．－7
【答案】A
【解析】 由题意可知，∴m＝7，∴展开式的通项，令，解得，∴的系数为.
例3.
已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为.
例4.
在的展开式中,的系数为,则实数等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的系数为,所以.
例5.
若展开式中的常数项为180，则a＝________.
【答案】
【解析】展开式的通项为，令，得r＝2，又，故.
例6.
若的展开式中含x的项为第6项，设，则的值为________．
【答案】255
【解析】展开式的通项为，
因为含的项为第6项，所以,，解得，
令，得，令，得，
所以.
过关检测（8mins）
1.若二项式的展开式中的第5项是常数，则自然数的值为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
【答案】C
【解析】选由二项式的展开式的第5项是常数项，可得，解得.
2.设常数,若的二项展开式中项的系数为,则______.
【答案】
【解析】展开式通项为,
依题意时,,解得.
3.在展开式中的系数为280，则实数的值为( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
【答案】C
【解析】选由题知，，解得.
4.若的展开式中含的项的系数为30，则的值为______，展开式中所有项的系数之和为______．
【答案】2 64
【解析】因为的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，令，解得，故，解得.令，得.
课后练习
补救练习（20mins）
1.在的展开式中,常数项为（用数字作答）
【答案】
【解析】解:设通项公式为,整理得,
因为是常数项,所以,所以,
故常数项是
故答案为15.
2.在的展开式中,的系数是 （结果用数值表示）.
【答案】189
【解析】本题考查二项式
因为的展开式的通项公式为:,当时,,
所以系数为189.
3.在的展开式中,项的系数为.（用数字作答）
【答案】20
【解析】.
令,解得.
∴.
故答案为:20
4.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为,则
【答案】6
【解析】本题考查二项式定理.
当时可得各项系数和为,二项式系数和为,易得,解得
5.在的展开式中,的系数等于.
【答案】40
【解析】
6.二项式的展开式的第二项是
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查二项式定理.展开式中第二项即为,故选D
8.在的展开式中,常数项为.（用数字作答）.
【答案】40
【解析】令展开式的通项公式中的幂指数等于0,得到
故展开式的常数项是
9.的展开式中的系数为( )
A．－80 B．－40
C．40 D．80
【答案】C
【解析】 当第一个括号内取时，第二个括号内要取含的项，即，当第一个括号内取时，第二个括号内要取含的项，即，所以的系数为.
巩固练习（12mins）
1.在的二项展开式中,的系数为.
【答案】10
【解析】的展开式通项为
当,即时,故的系数为10.
2.在的展开式中,项的系数是.（用数字作答）
【答案】
【解析】本题考查二项式展开式的通项.
在的展开式中,通项公式为
令,得展开式中项的系数是
3.的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)
【答案】－20
【解析】中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得的系数为C－C＝8－28＝－20.
4.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则＝________.
【答案】3
【解析】设.
令，得.①
令，得.②
①－②，得，∴.
5.若，且
，则实数的值为( )
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
【答案】A
【解析】令，得，
令，得，
又，
即，
即，
所以，解得.
拔高练习（15mins）
1.在的展开式中，含的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
【答案】D
【解析】 展开式中含项的系数为.
2.中的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3
C．2 D．0
【答案】A
【解析】 常数项为，的系数为，因此 的系数与常数项之差的绝对值为5.
3.已知的展开式中的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
【答案】D
【解析】 展开式中含的系数为，
解得.
4.设，则
的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】A
【解析】令等式中令，可得.
5.已知展开式中的二项式系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数的值．
【答案】
【解析】解： 展开式的通项
令，得，故常数项，
又展开式中的二项式系数之和为，由题意得，∴.
∴展开式中二项式系数最大的项是中间项，
从而，∴.
