6.3二项式定理练习解析版
一、单选题
1．设，则等于( )
A．1 B． C．63 D ．64
2．被9除所得的余数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
3．在的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
4．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为( )
A．211 B．210 C．29 D．28
5．二项式展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．设，则的值是（ ）
A．665 B．729 C．728 D．63
7．已知的展开式中含的系数为60，则的展开式中的常数项为（ ）
A．－160 B．160 C．80 D．－80
8．我国南宋数学家杨辉在所著的《解析九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的第80项为( )
A．13 B．14 C．78 D．91
二、多选题
9．二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
10．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）
A．
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
11．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在的二项展开式中，系数最大的项为______.
14．二项式的展开式中常数项为，则的值为______．
15．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______．
四、解答题
16．已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项．
17．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于22；②所有奇数项的二项式系数的和为32.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；.
(2)求展开式的常数项.
18．已知为偶数，.
(1)当时，求的值；
(2)证明：.
19. 在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于22；②所有奇数项的二项式系数的和为32.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；.
(2)求展开式的常数项.
20．在的展开式中．
(1)若存在常数项，求的最小值；
(2)条件：展开式中二项式系数和为；条件：展开式中所有的系数和为；条件：展开式中第项和第项的二项式系数相等．在以上个条件中任选一个条件作答．
①求的值；
②若展开式中存在常数项，求出常数项；若不存在，请说明理由．
21．已知在的展开式中，第7项为常数项.
(1)求；
(2)求展开式中所有的有理项.
参考答案：
1．【答案】C
【详解】依题意，
令得，
令得，
所以，故选：C
2．【答案】D
【解析】由题意可得：，
可知的展开式为，
当时，均可被9整除；
当时，被9除所得的余数为7；
综上所述：被9除所得的余数为7. 故选：D.
3．D
【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．
【详解】由二项式定理得，
所以所求常数项为．
故选：D．
4．【答案】C
【解析】由题意可得，，所以n=10，则的二项式系数之和为210.
所以所有偶数项的二项式系数之和，故选：C．
5．B
【分析】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，是2的倍数，是3的倍数，代入验证，即可得出结论．
【详解】解：由题意，展开式中项的系数为，
系数为有理数，是2的倍数，是3的倍数，
，，6不符合；，符合题意；，，6不符合；，，9，不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．A
【详解】分析：由二项式定理可知均为正数，均为负数，可得
把代入已知式子计数可得结果．
详解：因为，
由二项式定理可知，均为正数，均为负数，
令时，
当时，，
所以
故选A．
点睛：本题主要考查了二项展开式的系数和的问题，其中恰当的赋值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
7．A
【分析】根据展开式的通项公式含的系数求出的值，
然后将代入中，再求出展开式的通项公式，令的指数
为零即可求解.
【详解】由展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以，解得或（舍）；
由展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为
.
故选：A.
8．【答案】D
【解析】由图可知：第1行有1项，第2行有2项，每一行的项数构成等差数列，
前行共有项，当时，，
故第80项为第13行的第2个数，
由二项展开式的系数规律可知第13行的第2个数为. 故选：D.
9．CD
【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等，且最大.
【详解】因为二项式(2x－1)7展开式一共8项，其中中间两项的二项式系数最大，
易知当r＝3或r＝4时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项.
故选：CD
10．BD
【分析】利用二项式系数的性质可求的值及展开式所有二项式系数和；根据二项式定理可求常数项；令可求展开式中所有项的系数和.
【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；
因为， ，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；
展开式所有二项式系数和为，C错误；
令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确．
故选：BD.
11．ACD
【解析】对于A，利用赋值法令，并结合题目条件，即可求出，从而可求出；对于B，根据二项展开式中二项式系数和为，即可判断B选项；对于C，由于已求出，利用赋值法，即可求出展开式中所有项系数和；对于D，对原式进行求导，再令，即可得出的结果.
【详解】解：对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据二项式的系数和求参数，以及所有项的二项式系数和的求法，利用赋值法求各项系数和是解题的关键，考查学生运用和计算能力.
12．BCD
【分析】令可判断A；利用通项可判断B；对两边同时求导，
得，令可判断C；转化为求的展开式的各项系数之和，令可判断D.
【详解】的通项为，
令，得，A错误；
，B正确；
对两边同时求导，
得，令，
得，C正确；
等于的展开式的各项系数之和，令，
所以，D正确.
故选：BCD.
13．【答案】70
【解析】的二项展开式为，
显然当时，二项展开式的系数为正，
当时，二项展开式的系数为负，
其中，
，，故系数最大的项为.
14．1
【分析】利用二项式展开式的通项，令，根据常数项的值可列等式，求得的值.
【详解】由题意可得二项式的展开式的通项为 ，
令 ，
则，解得 ，
故答案为：1
15．
【分析】利用已知条件求出的值，再利用二项展开式通项可求得结果.
【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得．
展开式的通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对于二项展开式的问题，注意一些常见结论的应用：
（1）二项式的系数和为；
（2）令变量为，二项式的值为各项系数和.
16．(1)126；(2)
【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；
（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.
【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以，
所以第5项的二项式系数为；
（2）由（1）知，记含的项为第项，
所以，
取，解得，所以，
故展开式中含的项为.
17．(1)条件选择见解析，(2)
【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；
选择②：转化为，计算即可；
小问1：由于共项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第，利用通项公式计算即可；
小问2：写出展开式的通项，令，即得解．
(1)选①则
即：，解得或（舍）
选②则,∴,
∴
二项式系数最大的项为
(2)令，则
∴展开式的常数项为：
18．(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，
（2）利用赋值法，分别令和，然后将得到的式子相加可得答案
(1)当时，，
故
(2)当时，
即①
当时，
即②.
由①②相加得：
即有.
19．【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；
选择②：转化为，计算即可；
小问1：由于共项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第4项，利用通项公式计算即可；
小问2：写出展开式的通项，令，即得解．
(1)选①则
即：，解得或(舍)
选②则∴，
∴
二项式系数最大为
(2)令，则
∴展开式的常数项为：
20．(1)；
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【详解】(1)展开式的通项，
若存在常数项，则当时，有最小正整数值．
(2)若选条件：
①由题意得：，解得：；
②展开式的通项，
当时，，此时常数项为．
若选条件：
①令，有，解得：；
②展开式的通项，
当时，，此时常数项为．
若选条件：
①由题意得：，则．
②展开式的通项，
当时，，此时不是整数，因此无常数项．
21．(1)；
(2),，，，.
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求解；
（2）利用二项展开式的通项公式求解.
（1）
解：，
由=0，得；
（2）
，
设
得到，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，.6.3二项式定理练习解析版
一、单选题
1．设，则等于( )
A．1 B． C．63 D ．64
2．被9除所得的余数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
3．在的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
4．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为( )
A．211 B．210 C．29 D．28
5．二项式展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．设，则的值是（ ）
A．665 B．729 C．728 D．63
7．已知的展开式中含的系数为60，则的展开式中的常数项为（ ）
A．－160 B．160 C．80 D．－80
8．我国南宋数学家杨辉在所著的《解析九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的第80项为( )
A．13 B．14 C．78 D．91
二、多选题
9．二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
10．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）
A．
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
11．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在的二项展开式中，系数最大的项为______.
14．二项式的展开式中常数项为，则的值为______．
15．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______．
四、解答题
16．已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项．
17．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于22；②所有奇数项的二项式系数的和为32.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；.
(2)求展开式的常数项.
18．已知为偶数，.
(1)当时，求的值；
(2)证明：.
19. 在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于22；②所有奇数项的二项式系数的和为32.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；.
(2)求展开式的常数项.
20．在的展开式中．
(1)若存在常数项，求的最小值；
(2)条件：展开式中二项式系数和为；条件：展开式中所有的系数和为；条件：展开式中第项和第项的二项式系数相等．在以上个条件中任选一个条件作答．
①求的值；
②若展开式中存在常数项，求出常数项；若不存在，请说明理由．
21．已知在的展开式中，第7项为常数项.
(1)求；
(2)求展开式中所有的有理项.
