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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第5讲 解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．但最近一两年解三角形主要一大题的形式为主，但是为了避免今年出现小题可以练一练模拟题。
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021年浙江省高考数学试题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
6．（北京市房山区2023届高三一模数学试题）在中，，则__________；的值为__________.
7．（江西省部分学校2023届高三下学期联考数学（理）试题（一））在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（陕西省安康市2023届高三下学期二模文科数学试题）中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．
9．（河南省五市2023届高三第一次联考数学（理科）试题）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．1
10．（四川省成都市第七中学2023届高三下学期二诊模拟测试数学（文）试题）已知中，角的对边分别为．若已知，且的面积为6，则（ ）
A． B． C． D．
11．（甘肃省2023届第一次高考诊断考试文科数学试题）在如图所示的平面四边形中，，则的值为___________.
12．（四川大学附属中学（四川省成都市第十二中学）2022—2023学年高三下学期二诊热身考试理科数学试题）如图，在平面四边形中，，，，，三角形的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
13．（江西省九江市2023届高三高考二模数学（理）试题）在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
14．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为__________．
15．（四川省南充市2023届高考适应性考试（二诊）理科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
16．（江西省部分学校2023届高三下学期联考数学（文）试题）在中，点在边上，，则边的最小值为__________.
17．（河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（六）试题）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．
18．（辽宁省辽阳市2023届高考一模数学试题）黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第5讲 解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．但最近一两年解三角形主要一大题的形式为主，但是为了避免今年出现小题可以练一练模拟题。
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
2．（2021年浙江省高考数学试题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
6．（北京市房山区2023届高三一模数学试题）在中，，则__________；的值为__________.
【答案】
【详解】，，故，，；
，则，即，，
，则，，.
故答案为：；
7．（江西省部分学校2023届高三下学期联考数学（理）试题（一））在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，由正弦定理得：， ，
，即 ，，
又 ，所以 ，即或，
得或 （舍），
又 ，， ，
所以 ；
故选：B.
8．（陕西省安康市2023届高三下学期二模文科数学试题）中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．
【答案】
【详解】∵，，
∴，
∴，展开得，
∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，
∴，
∴，，
所以的面积.
故答案为：．
9．（河南省五市2023届高三第一次联考数学（理科）试题）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【详解】在中，由已知及余弦定理得，即，
由正弦定理边化角得：，
而，即，则，即有，又的外接圆半径，
所以.
故选：C
10．（四川省成都市第七中学2023届高三下学期二诊模拟测试数学（文）试题）已知中，角的对边分别为．若已知，且的面积为6，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，
的面积为，
两式相除得到，
所以．
故选：C.
11．（甘肃省2023届第一次高考诊断考试文科数学试题）在如图所示的平面四边形中，，则的值为___________.
【答案】
【详解】由题设，
所以，则.
故答案为：1
12．（四川大学附属中学（四川省成都市第十二中学）2022—2023学年高三下学期二诊热身考试理科数学试题）如图，在平面四边形中，，，，，三角形的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】在中，，
由正弦定理有：，即，解得.
由三角形的面积公式有：，则.
在中，由余弦定理有： .
则 .
故选：B
13．（江西省九江市2023届高三高考二模数学（理）试题）在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得，即，
∴，即．
∵，∴，故A，C为锐角．
又，仅当时等号成立，
所以三角形内角B最小时，取最小值，此时，
所以为等腰三角形，，，
∴.
故选：C
14．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为__________．
【答案】
【详解】由正弦定理得，由于，当且仅当时等号成立，又，因此由，故,
故答案为：
15．（四川省南充市2023届高考适应性考试（二诊）理科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.
故选：B
16．（江西省部分学校2023届高三下学期联考数学（文）试题）在中，点在边上，，则边的最小值为__________.
【答案】1
【详解】令，则，又，在中，由余弦定理可得，
化简整理得，因为，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.
故答案为：1
17．（河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（六）试题）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】因，显然，，
锐角中，，，则，
令，由得：，
由正弦定理得，，
因此 ，
而，则，即有，
所以的取值范围为.
故答案为：.
18．（辽宁省辽阳市2023届高考一模数学试题）黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
【答案】ABD
【详解】设，则，解得，则，
则，A正确.
，，B正确.
依题意可设，则，
则由余弦定理得，
过B作，垂足为E，
则在上的投影向量为，C错误.
由图可知，
则，
设，则，整理得，D正确.
故选：ABD
