解三角形--范围问题专项练习
一、单选题
1．已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
5．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．为的外心，则
8．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的外接圆的半径为
B．若只有一个解，则的取值范围为或
C．若为锐角，则的取值范围为
D．面积的最大值为
9．在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（ ）
A．的最小值为 B．边上的高的最大值为2
C．正方形面积的最大值为2 D．周长的最小值为
10．记的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，的恰有一个，则的取值范围是
C．若，则
D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题
11．在中，角为钝角，内角的对边分别为，若，则的取值范围是__________．
12．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
13．在①，外接圆半径为1；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并进行解答，内角，，所对的边分别为，，.若______，判断面积的最值的情况.如果存在最值，求出相应的最值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.
四、解答题
15．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形.
16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
17．的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求周长的最大值.
18．已知锐角的面积是，．
(1)求的值；
(2)若，求周长的取值范围.
19．如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若AC边上的中线，且，求的周长．
20．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．解三角形--范围问题专项练习解析版
一、单选题
1．已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
5．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．为的外心，则
8．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的外接圆的半径为
B．若只有一个解，则的取值范围为或
C．若为锐角，则的取值范围为
D．面积的最大值为
9．在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（ ）
A．的最小值为 B．边上的高的最大值为2
C．正方形面积的最大值为2 D．周长的最小值为
10．记的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，的恰有一个，则的取值范围是
C．若，则
D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题
11．在中，角为钝角，内角的对边分别为，若，则的取值范围是__________．
12．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
13．在①，外接圆半径为1；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并进行解答，内角，，所对的边分别为，，.若______，判断面积的最值的情况.如果存在最值，求出相应的最值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.
四、解答题
15．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形.
16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
17．的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求周长的最大值.
18．已知锐角的面积是，．
(1)求的值；
(2)若，求周长的取值范围.
19．如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若AC边上的中线，且，求的周长．
20．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B的函数，然后利用△ABC为锐角三角形求出定义域，再算值域即可.
【详解】由正弦定理，又A＝60°，BC=4
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以
所以，所以
所以周长的取值范围是.
故选：A.
2．D
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
3．A
【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】，由正弦定理得：
∵，∴，
∵，
∴，为直角三角形且外接圆半径为，
∴，
∴，
设内切圆半径为，则．
其中，
因为，所以，
故，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时等号成立，
故选：A
4．A
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
5．A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．
【详解】∵，，
可得：，
，解得，
∵，
∴由余弦定理可得
∵由， ，得，
∴，即．
∴周长 ．
故选：A．
6．C
【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求取值范围的问题.
【详解】∵，
∴，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，又，
∴，
故的周长的取值范围是．
故选：C.
7．ACD
【分析】对于A，由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；做交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
若，且，所以，
由余弦定理得，
由，可得，即，
则面积，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且，由正弦定理得，
所以，当时即，所以时有一解，故B错误；
对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，故C正确；
对于D，如图做交于点点，则点为的中点，且，
设，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
8．AD
【分析】首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断A；
根据三角形的个数，建立不等式，判断B；
求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断C；
利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断D.
【详解】因为，
所以，，
所以，
因为，所以，解得：，故A正确；
B.若只有一个解，则或，
得或，故B错误；
C.因为角为锐角，，所以，
所以，，
所以，故C错误；
D.，当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：AD
9．BD
【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD；建立角A的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C作答.
【详解】在中，，，即有，
对于A，，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，斜边边上的高，当且仅当，即时取等号，B正确；
对于D，的周长，
当且仅当时取等号，D正确；
对于C，如图，正方形是符合题意的的内接正方形，令，
则，，
，
于是，令，
则在上单调递减，
，，
因为，则，即有，，
因此函数在上单调递减，则当，即时，，正方形的面积取得最大值，C错误.
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
10．ACD
【分析】根据平方关系得到，即可得到，从而判断A，根据正弦定理判断B，由条件利用二倍角公式可得①，再把①平方求得的值，即可得到的值，即可判断C，利用正弦定理将边化角，即可得到为直角三角形，设内切圆的半径为，则，再将边化角，转化为角的三角函数，求出内切圆的半径的最大值，即可判断D．
【详解】对于A：因为，所以，
所以，又、，所以，所以由正弦定理可得，故A正确；
对于B：，，，高，
当，即时，只有一个．
当，即时，时，只有一个，
故，满足条件的的取值范围是或，故B错误；
对于C：因为，所以，
所以，又，所以，
即，即，又，所以，则，所以，所以，
所以，所以，即，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
，，，是直角三角形．
设内切圆的半径为，
则，
，，，
所以，内切圆半径的取值范围是，
该三角形内切圆面积的最大值为，故D正确．
故选：ACD
11．
【分析】根据钝角三角形以及余弦定理即可求解.
【详解】依题意，
由为钝角可得，
所以，
由，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
12．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
13．答案见解析
【分析】若选择条件①，正弦定理角化边，可得，结合余弦定理及均值不等式，即可求得面积最大值；
若选择条件②，正弦定理边化角，可得，结合余弦定理及均值不等式，即可求得面积最大值；
若选择条件③，利用两角和的余弦公式，化简可得，又，根据均值不等式，可得的最大值，代入面积公式，即可求解.
【详解】若选择条件①，由及正弦定理可得，整理得，
∴.
又∵，∴，
∴.
又，
∴，即，当且仅当时取等号.
∴，
∴面积有最大值，且最大值为；
若选择条件②，由及正弦定理可得
，
∴，即.
∵，∴，
∴.
又∵，∴.
∴，
∴，当且仅当时取等号.
∴，
∴面积有最大值，且最大值为；
若选择条件③，∵，
∴，
∴.
∵，∴，
∴，解得，即.
∴.
又∵，∴，当且仅当时取等号.
∴，
∴面积有最大值，且最大值为.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值不等式的综合应用，求面积最大值为常考题型，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.
14．
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，所以，，故，
由余弦定理可得
，
所以，，即，故，
当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为.
故答案为：.
15．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的性质进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理由，
显然当时，b有最大值2；
（2）因为△ABC的面积为，
所以，
由余弦定理可知：，
所以可得：或，
当时，，所以△ABC是直角三角形，
当时，，所以△ABC是直角三角形，
综上所述：△ABC是直角三角形.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角；
（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解．
【详解】（1）由已知及正弦定理，得，
即，
∴．
又∵，
∴；
（2）由（1）及正弦定理得，
∵，
∴，
∴．
∵，∴，，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小；
（2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得周长的最大值.
【详解】（1）解：由正弦定理知，所以，解得，
因为为钝角，所以.
（2）解：由余弦定理得，
又由，则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以周长的最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及三角形的面积公式，结合同角三角函数的商数关系及特殊值的三角函数即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用正弦定理、三角形的周长公式及两角和差的正弦公式，结合辅助角公式、锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，得，，
所以，即，
在锐角中， ，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
在中，.
在中，得，
所以周长
，
因为是锐角三角形，
所以 ，解得，
所以
所以，
所以.
所以周长的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理及向量数量积的定义列出方程即可求解；
（2）由，在与中结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
（2）如图，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围．
【详解】（1）解：，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，解得．
（2）解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，
则
，
为锐角三角形，
，
，
，
，
即．
