三角形的“四心”问题专项练习解析版
一、单选题
1．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
2．已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
3．已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
4．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
6．在中，是的外心 ，若，则（ ）
A． B．3 C．6 D．6
7．已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
8．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
二、多选题
9．如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
11．已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为内心
C．
D．对于平面内任意一点，总有
12．下列结论正确的是（ ）
A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三、填空题
13．已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为_________.
14．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为 __．
15．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为________.
16．已知三角形ABC中，是的重心，P是内部（不含边界）的动点，若（），则的取值范围________.
四、解答题
17．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
18．已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
19．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的最小值；
(2)若M为的重心，，求．
参考答案：
1．B
【分析】设中点为，利用向量的四则运算和数量积结合三角形内心、外心、重心、垂心的定义求解即可.
【详解】设中点为，所以，
所以，
即，所以，
又由为中点可得点在的垂直平分线上，
所以点是的外心，
故选：B
2．C
【分析】根据三角形四心的定义，结合平面向量的模的定义、四则运算与数量积运算，判断即可.
【详解】因为，
所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心；
设的中点为，则由得，
所以为的重心；
因为，
所以，则，即，
所以，同理可得，
所以为的垂心.
故选：C.
3．C
【分析】根据与的意义，得到的方向与的角平分线一致，从而判断出点P的轨迹一定经过的内心.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
4．B
【分析】根据向量的外心性质，结合数量积的运算可判断A；结合单位向量的定义以及数量积等于0的意义可判断B；根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可判断C；根据三角形的垂心性质结合数量积的运算律，可判断D.
【详解】对于A，因为O为的外心，故，
所以，
同理，A正确；
对于B，向量分别为边上的单位向量，
它们的差为，当时，可得,
即O在的平分线上，同理可得O在的平分线上，
故O为的内心，与已知矛盾，故B错误；
对于C，设 的中点为，因为为重心，
故，同理,
,
故，C正确；
对于D，由于垂心为，则，
同理可得，故，D正确，
故选：B
5．B
【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
6．C
【分析】取中点H，连接，由已知及正弦定理可求，，再根据平面向量的数量积运算求解即可．
【详解】如图，取中点H，连接，
则，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故选：C．
7．A
【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可得求结果.
【详解】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.
故选：A
8．B
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【详解】如图，设AB中点为M，则，，
，故A正确；
等价于等价于，即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误；
设的中点为，
则，
∵E，F，G三点共线，，即，故C正确；
，
与垂直，又，
∴与共线，故D正确.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大.
9．ABC
【分析】A选项，由题可得＝，设，，m＞0，n＞0，结合可得答案；
B选项，由S1＝，S2＝可得答案；
CD选项，，后利用基本不等式可得答案.
【详解】A选项，由D、G、E三点共线，则＝，设，，m＞0，n＞0.则，
又由重心性质可知，
则，，即，即选项A正确；
B选项，S1＝＝，
S2＝，则，即选项B正确；
CD选项，＝≤，当且仅当，即时取等号，则，即选项C正确， D错误.
故选：ABC．
10．AB
【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因为，
所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故答案为：AB.
11．ACD
【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误.
【详解】A：由为的重心，则，，，
所以，即，正确；
B：，由为外心，所以，
即，同理，故为垂心，错误.
C：，所以，
因为，故，而，
所以，即，正确.
D：，所以，
因为，故，正确.
故选：ACD
12．BC
【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.
【详解】对于A，由，
得，
因为∠ABC为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故A错误；
对于B，设边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，又点为公共端点，所以三点共线，
即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点O为△ABC的重心，故B正确；
对于C，因为，所以，
如图，设的中点为，的中点为，
则，所以，
又点为公共端点，所以三点共线，且，
所以，
又，
所以，即，故C正确；
对于D，由，
可得，即，
又因，所以，
所以是的角平分线，
由，
可得，即，
又，所以，
所以是的角平分线，
所以点O是且△ABC的内心，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】利用三角形的重心坐标公式可求得点的坐标.
【详解】解：设点，
是的重心，
所以，，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
14．
【分析】由正弦定理可得，，结合三角形的内角和定理及和角正弦公式进行化简可求，由三角形的重心性质可知，结合向量数量积的性质可求，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：，
，
由正弦定理可得，，
，
，
，
，即，
，，
，，
是的重心，，
，
，
解可得（负值舍），
．
故答案为：．
15．
【分析】根据重心、外心的性质，由数量积的运算化简可得，利用余弦定理及均值不等式求解即可.
【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，
则，
所以，即，
则，
当且仅当时取等号，此时.
故答案为：
16．
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，先求出两点的坐标，设，利用，将用表示，再根据线性规划即可得出答案.
【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
，则，
则，
因为是的重心，
所以，即，
直线的方程为，即，
设，P在内部（不含边界），
，
因为，即
所以，所以，
则，
令，则，
由图可知当直线过点时，，
当直线过点时，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了向量中的最值问题，建立平面直角坐标系进行坐标运算和把点的位置用不等式组体现是解题的关键.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得，由余弦定理即可求解，
（2）根据垂直关系可得，进而在中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.
【详解】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别取BC的中点D，整理可得，即可得结果；
（2）根据已知得出，根据题意结合M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得x,y的关系，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设BC的中点为D，
则，即，
∴点G在的中线AD上，且满足，
故G为的重心.
（2）由点G为的重心，则，
∵三点共线，则，且，
由题意可得：，
则，消去可得，
∵点M，N分别在边AB，AC上，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
解得，
故的最小值为.
19．(1)；
(2)若选①，；若选②，；若选③，
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）选①：由重心的性质得出点到的距离等于点到的距离的，再由此得出的面积；选②：由余弦定理得出，进而由等面积法得出内切圆的半径，最后得出的面积；选③：由正弦定理得出外接圆的半径，再由圆的性质得出，进而由面积公式得出的面积；
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标；
（2）求出F的坐标，证明即可．
【详解】（1）如图，
∵，，，
∴，则由重心坐标公式，得；
（2）．
易知的外心F在y轴上，可设为．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；
（2）利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）
记边的中点为，边的中点为，边的中点为，因为点为的重心，
所以，
在中，，为边的中点，所以，所以，设，则，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，即，
消去x，y得，又，所以，
从而解得，即，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以.三角形的“四心”问题专项练习
一、单选题
1．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
2．已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
3．已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
4．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
6．在中，是的外心 ，若，则（ ）
A． B．3 C．6 D．6
7．已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
8．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
二、多选题
9．如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
11．已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为内心
C．
D．对于平面内任意一点，总有
12．下列结论正确的是（ ）
A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三、填空题
13．已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为_________.
14．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为 __．
15．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为________.
16．已知三角形ABC中，是的重心，P是内部（不含边界）的动点，若（），则的取值范围________.
四、解答题
17．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
18．已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
19．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的最小值；
(2)若M为的重心，，求．
