三角函数的图像与性质
【题型与方法】
一、三角函数的周期性
1、定义：设函数，，如果存在非零常数，使得对任意的，都有，则称为周期函数，为的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．
2、和周期函数有关的常见结论：
（1）若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
（2）若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
（3）若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
（4）函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
（5）若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
（6）若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，函数f(x)的周期是4|b－a|；
（7）若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
（8）若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
方法：1、求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名、角度唯一且最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解；
2、三角函数的最小正周期的求法：（1）定义法：由定义出发去探求；（2）公式法：化成或者等类型后，用基本结论或来确定；（3）图像法：根据图像来判断；
例1、设、、分别是函数、、的最小正周期，则、、的大小关系是 .
【答案】
例2、设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为 .
【答案】2
例3、对于函数，给出下列三个命题：①是偶函数；②是周期函数；③在区间上的最大值为，其中正确的是 .
【答案】①③
例4、设为R上的奇函数，且对于都有.
（1）证明：函数为周期函数；
（2）若当时，，写出时，的解析式；
（3）对于（2）中的，若非空，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
例5、函数（）在区间上恰好有个最大值，则的取值范围是 .
【答案】
例6、对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不少于次，又不多于次，则可以取（ ）.
（A）1和2 （B）2和3 （C）3和4 （D）2
【答案】B
例7、的最小正周期，则的取值范围是 .
【答案】
【巩固练习】
1、函数的最小正周期为 .
【答案】
2、函数的最小正周期为 .
【答案】
3、已知函数为偶函数（），其图像与直线的交点的横坐标为、. 若的最小值为，则= ，= .
【答案】，.
4、若为定义在上的函数，且，，则为（ ）.
（A）奇函数且周期函数 （B）奇函数且非周期函数
（C）偶函数且周期函数 （D）偶函数且非周期函数
【答案】A
5、函数的最小正周期为_____________
【答案】；
6、已知函数的最小正周期是，则_____________
【答案】1
7、函数具有下列性质：①是偶函数；②对任意，都有，则函数的解析式可以是_____________
【答案】
二、三角函数的单调性
方法：三角函数求单调区间关键是将函数化为的形式后，把看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性的规律“同增异减”，如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错；限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求的单调区间再对赋值，和已知区间取交集。
例1、函数在上的单调递减区间为_____________．
【答案】及
例2、函数的单调递增区间为_____________．
【答案】
例3、求的单调区间．
【答案】在上为减函数；在上为增函数．
例4、设，若函数在［－］上单调递增，则的取值范围是_________
【答案】
例5、函数在上单调递减，则正实数的取值范围是_________．
【答案】
【巩固练习】
1、已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是_____________
【答案】
2、函数的单调递增区间是 .
【答案】
3、设，当、时，有，则下列不等式一定成立的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
4、求下列函数的单调递增区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
5、函数的单调增区间是（ ）．
A． B．
C． D． ．
【答案】A
6、函数的单调递减区间是（ ）．
A． B．
C． D．．
【答案】C
7、设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最大值．
【答案】（1）函数的最小正周期为
（2）函数的最大值为
三、三角函数的对称性与奇偶性
奇偶性方法：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；
（2）两个常见的结论：
①若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；
②若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；
对称性方法：（1）求函数的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①的对称中心是，所以的中心，由方程解出即可；②的对称轴是，所以的对称轴，由方程解出即可；
③注意的对称中心为；
（2）对于函数，其对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线或是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断。
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）．
【答案】（1）奇；（2）奇；（3）奇函数．
例2、（1）函数的图像关于轴对称，则= _______________
（2）函数为奇函数，则
【答案】（1）.（2）
例3、（1）函数的对称轴方程是
（2）若函数的图像关于对称，则
【答案】（1）， （2）
【巩固练习】
1、函数的奇偶性为 ．
【答案】奇函数
【解析】函数的定义域为关于原点对称
，所以此函数为奇函数
2、函数图像的一条离直线最近的对称轴方程是 ．
【答案】
【解析】由得： ， 故而离直线最近的对称轴方程是
3、是 函数．
【答案】偶
四、与轴的交点问题
方法：三角函数有关函数零点的问题，一般都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合，根据图像列不等式求解参数的范围，解题时要注意所研究的角的范围。
例1、已知函数.
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）若在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值.
【答案】（1），，；（2），.
【巩固练习】
1、若函数在区间上有两个不同的零点、，则的取值范围是
【答案】
五、由图像求三角函数的解析式
方法：已知函数的图像求解析式，；由函数的周期求，利用“五点法”中相对应的特殊点求；由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，确定点时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口。
“第一点”(即图像上升时与轴的交点)时；
“第二点”(即图像的“峰点”)时；
“第三点”(即图像下降时与轴的交点)时；
“第四点”(即图像的“谷点”)时；
“第五点”时；
例1、如图是函数图像的一部分，
则它的解析式为 .
【答案】
例2、如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，已知摩天轮的半径为，其中心点距离地面，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处。
（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？
【答案】（1）；（2）；
【回家作业】
1、函数的周期为 .
【答案】
2、函数的周期为 .
【答案】
3、函数的最小正周期是 .
【答案】3
4、若函数与函数的最小正周期相同，则实数=_____________
【答案】
5、已知函数。函数对任意，有，且当时，，则函数在上的解析式为____________
【答案】
6、函数的最小正周期是函数的最小正周期的倍，则的值为 .
【答案】
7、设是以为周期的周期函数，又是奇函数，且，，则的值为 .
【答案】
8、函数（）在区间上至少出现个最大值，则的最小值是 .
【答案】
9、若函数，则是（ ）．
A．周期为1的奇函数 B．周期为2的偶函数
C．周期为1的非奇非偶函数 D．周期为2的非奇非偶函数．
【答案】B
10、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
【答案】（1）非奇非偶 （2）既是奇函数又是偶函数
11、已知函数，若函数有两个零点和，求的取值范围，并求的值；
【答案】，
12、求函数的单调递增区间.
【答案】∵ 令 ∴
是的增函数 又 ∵
∴ 当为单调递增时为单调递减 且
∴
∴ ，
∴ 的单调递减区间是
13、已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】（1）的最小正周期为（2）最大值为，最小值为．
【解析】解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
(
y
x
O
)解法二：作函数在长度为一
个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
14、已知函数．
求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
【答案】（1） （2）（）．
【解析】．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
15、若函数对任意实数都有．
（1）求的值；（2）求的最小正值；
（3）当取最小正值时，求在上的最大值和最小值．
【答案】（1） （2） （3）1，-2
16、已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（2）求函数的单调递增区间．
【答案】见解析
【解析】（1）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．
（2）
．
当，即（）时，
函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．三角函数的图像与性质
【题型与方法】
一、三角函数的周期性
定义：设函数，，如果存在非零常数，使得对任意的，都有，则称为周期函数，为的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．
方法：1、求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名、角度唯一且最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解；
2、三角函数的最小正周期的求法：（1）定义法：由定义出发去探求；（2）公式法：化成或者等类型后，用基本结论或来确定；（3）图像法：根据图像来判断；
例1、设、、分别是函数、、的最小正周期，则、、的大小关系是 .
例2、设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为 .
例3、对于函数，给出下列三个命题：①是偶函数；②是周期函数；③在区间上的最大值为，其中正确的是 .
例4、设为R上的奇函数，且对于都有.
（1）证明：函数为周期函数；
（2）若当时，，写出时，的解析式；
（3）对于（2）中的，若非空，求实数的取值范围.
例5、函数（）在区间上恰好有个最大值，则的取值范围是 .
例6、对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不少于次，又不多于次，则可以取（ ）.
（A）1和2 （B）2和3 （C）3和4 （D）2
例7、的最小正周期，则的取值范围是 .
【巩固练习】
1、函数的最小正周期为 .
2、函数的最小正周期为 .
3、已知函数为偶函数（），其图像与直线的交点的横坐标为、. 若的最小值为，则= ，= .
4、若为定义在上的函数，且，，则为（ ）.
（A）奇函数且周期函数 （B）奇函数且非周期函数
（C）偶函数且周期函数 （D）偶函数且非周期函数
5、函数的最小正周期为_____________
6、已知函数的最小正周期是，则_____________
7、函数具有下列性质：①是偶函数；②对任意，都有，则函数的解析式可以是_____________
二、三角函数的单调性
方法：三角函数求单调区间关键是将函数化为的形式后，把看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性的规律“同增异减”，如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错；限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求的单调区间再对赋值，和已知区间取交集。
例1、函数在上的单调递减区间为_____________．
例2、函数的单调递增区间为_____________．
例3、求的单调区间．
例4、设，若函数在［－］上单调递增，则的取值范围是_________
例5、函数在上单调递减，则正实数的取值范围是_________．
【巩固练习】
1、已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是_____________
2、函数的单调递增区间是 .
3、设，当、时，有，则下列不等式一定成立的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
4、求下列函数的单调递增区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
5、函数的单调增区间是（ ）．
A． B．
C． D． ．
6、函数的单调递减区间是（ ）．
A． B．
C． D．．
7、设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最大值．
三、三角函数的对称性与奇偶性
奇偶性方法：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；
（2）两个常见的结论：
①若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；
②若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；
对称性方法：（1）求函数的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①的对称中心是，所以的中心，由方程解出即可；②的对称轴是，所以的对称轴，由方程解出即可；
③注意的对称中心为；
（2）对于函数，其对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线或是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断。
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）．
例2、（1）函数的图像关于轴对称，则= _______________
（2）函数为奇函数，则
例3、（1）函数的对称轴方程是
（2）若函数的图像关于对称，则
【巩固练习】
1、函数的奇偶性为 ．
2、函数图像的一条离直线最近的对称轴方程是 ．
3、是 函数．
四、与轴的交点问题
方法：三角函数有关函数零点的问题，一般都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合，根据图像列不等式求解参数的范围，解题时要注意所研究的角的范围。
例1、已知函数.
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）若在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值.
【巩固练习】
1、若函数在区间上有两个不同的零点、，则的取值范围是
五、由图像求三角函数的解析式
方法：已知函数的图像求解析式，；由函数的周期求，利用“五点法”中相对应的特殊点求；由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，确定点时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口。
“第一点”(即图像上升时与轴的交点)时；
“第二点”(即图像的“峰点”)时；
“第三点”(即图像下降时与轴的交点)时；
“第四点”(即图像的“谷点”)时；
“第五点”时；
例1、如图是函数图像的一部分，
则它的解析式为 .
例2、如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，已知摩天轮的半径为，其中心点距离地面，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处。
（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？
【回家作业】
1、函数的周期为 .
2、函数的周期为 .
3、函数的最小正周期是 .
4、若函数与函数的最小正周期相同，则实数=_____________
5、已知函数。函数对任意，有，且当时，，则函数在上的解析式为____________
6、函数的最小正周期是函数的最小正周期的倍，则的值为 .
7、设是以为周期的周期函数，又是奇函数，且，，则的值为 .
8、函数（）在区间上至少出现个最大值，则的最小值是 .
9、若函数，则是（ ）．
A．周期为1的奇函数 B．周期为2的偶函数
C．周期为1的非奇非偶函数 D．周期为2的非奇非偶函数．
10、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
11、已知函数，若函数有两个零点和，求的取值范围，并求的值；
12、求函数的单调递增区间.
13、已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
14、已知函数．
求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
15、若函数对任意实数都有．
（1）求的值；（2）求的最小正值；
（3）当取最小正值时，求在上的最大值和最小值．
16、已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（2）求函数的单调递增区间．
