第1章 平面向量
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知非零平面向量,则“”是“存在非零实数,使”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
2.如下图所示，中，，交于，边上的中线交于，设，，用表示向量、、、、、.
3.已知向量,.若与平行,则实数的值是
A . B . C . D .
4.若平面向量,,且,则实数的值为.
5.已知中,,且,那么,.
6.若向量、满足,与的夹角为,则.
.
课中讲解
一.能理解平面向量的基本概念与线性运算法则LV.4
1．向量的有关概念与表示
(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量
自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．
(2)向量的模：向量的长度，记作：
向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉
零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0
单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：
(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．
相反向量：长度相等，方向相反的向量．
向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b
向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．
2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)
(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．
(2)减法：三角形法则．
(3)数乘：记作：a．
它的长度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜
它的方向：①当＞0时，a与a同向
②当＜0时，a与a反向
③当＝0时，a＝0
例1.
下列命题中正确的是（ ）
A.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
B.若是两个单位向量，则
C.若向量和共线，则向量的方向相同
D.零向量的长度为0，方向是任意的
例2:
如图，在正六边形中，若，则________.
例3.
已知非零平面向量,则“”是“存在非零实数,使”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
例4.
已知向量，且，，，则一定共线
的三点是( )
A. B.
C. D.
过关检测（10mins）
1.下列说法正确的是( )
A.若，则的长度相等且方向相同或相反
B.若向量，满足，且与同向，则
C.若，则与可能是共线向量
D.若非零向量与平行，则，，，四点共线
2.已知如图，在正六边形中，与相等的向量有________．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
3.已知非零向量,“”是“”
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
二.能理解并运用平面向量线性运算解决几何问题LV.5
例1.
在中,点满足,则
A . B .
C . D .
例2.
在中,点满足=,则
A .点不在直线上 B .点在的延长线上
C .点在线段上 D .点在的延长线上
例3.
在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则.
例4.
设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为
A . B .0 C . D .1
例5.
中,分别为边中点,若,则.
过关检测（10mins）
1.在中，已知是边上一点，若，，则等于( )
A. B. C. D．
2.在梯形ABCD中,,,E为BC中点,若,则x+y=.
3.在正方形中,是线段的中点,若,则.
4.在所在平面内一点,满足,延长交于点,若,则.
三．掌握数量积的定义与公式LV.2
数量积：
(1)定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．
(2)运算律：
1．(交换律)a·b＝b·a
2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b)
3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(3)性质：设a，b是非零向量，则：
a·b＝0a⊥b
a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜
a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜
特殊地：a·a＝｜a｜2或
夹角：
|a·b|≤|a| |b|
例1:设是非零向量,“”是“”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
例2
在中,,则的值为
A . B . C . D .
例3向量 在向量上的正射影的数量为
例4设均为单位向量,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
例5设平面向量满足,,则向量夹角的余弦值为________.
例6已知平面向量均为非零向量,则“”是“向量共线”的
A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件
C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件
例7已知向量满足,,的夹角为60°,则.
过关检测（10mins）
1.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
2.已知向量,满足,且,则与夹角的大小为______.
3.已知平面向量的夹角为,且满足则
4.设是非零向量,且.则“”是“”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
四.能用数量积与线性运算结合解决几何问题LV.5
例1
已知等边的边长为3,是边上一点,若,则的值是.
例2
如图,在中,,,是的中点,若向量,且点在的内部（不含边界）,则的取值范围是.
例3
如图，菱形的边长为，，为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ）
A． B．C． D．
例4．
在中,,点是线段上的动点,则的最大值为_______.
例5.
如图,,,是三个
边长为的等边三角形,且有一条边在
同一直线上,边上有2个不同的
点,则
过关检测（10mins）
1.在中,已知,,分别是边上的三等分点,则的值是
A . B . C . D .
2.在四边形中,.若,则______.
.
3. 已知正方形边长为1,是线段的中点,则.
五.理解平面向量基本定理与基底的概念LV.2
1.平面向量基本定理：
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不共线的向量,叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，．
例1．
设是表示一个平面内所有向量的一组基底，给出下列三个结论：
中不含零向量； ②不平行；
当时，有；
以上结论正确的共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例2.
已知基底，，且，则 ________．
过关检测（10mins）
1.已知是不共线向量，,当时，实数( )
A．－1 B．0 C． D．－2
六.清楚理解向量运算的坐标表示LV.4
向量的坐标运算
若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)
(3)数乘：a＝(x1，y1)
(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2
(5)若a＝(x，y)，则
(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(8)a在b方向上的正射影的数量为
例1.
已知向量,,则
A . B . C . D .
例2.
已知两点，，点满足，则点的坐标是________．
例3.
已知向量,,,则等于
A . B . C .1 D .-1
例4.
已知平面向量,,则与的夹角为
A . B . C . D .
例5.
如图,在直角梯形中,,,是的中点,,则
A . B . C . D .
过关检测（10mins）
1.已知向量,则
A . B . C . D .
2.已知，且，，又，则等于( )
A. B. C. D.
3.如果正方形的边长为,那么等于
A . B . C . D .
4. 已知向量，，则
A. B . C. D.
5. 平面向量与的夹角为,,,则.
七.掌握向量平行与垂直的坐标表示LV.4
1.向量与非零向量平行的充要条件是：.
向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
2.垂直的充要条件：，即
例1.
已知向量,若,则 .
例2.
在平面直角坐标系中,向量＝(1,2),＝(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则
A . B . C . D .
例3.
向量在正方形网格中的位置如图所示,若向量与共线,则实数
A . B .
C . D .
例4.
已知向量,向量,若与垂直,则实数的值为.
例5.
平面向量,,,如果,且,那么实数,
的值分别是
A., B., C., D.,
过关检测（10mins）
1.已知向量,,若,则的值为______.
2.已知平面向量,且,则实数的值是
A . B . C . D .或
3.设向量，．则与垂直的向量可以是
A . B . C . D .
4.已知向量，则
5.已知向量,则与
A .垂直 B .不垂直也不平行
C .平行且同向 D .平行且反向
八.能灵活使用建系法解决综合几何问题LV.6
例1.
如图,正方形的边长为6,点,分别在边,上,且,.如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围
是（ ）
A . B . C . D .
例2.
已知点在的内部,且有,记的面积分别为.若,则__________;若,则__________.
例3.
已知点在圆上,点在圆上,则下列说法错误的是
A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.的取值范围为
D.若,则实数的取值范围为
过关检测（10mins）
1.如图,已知边长为的正方形,是边上一动点（与不重合）,连结,作交的外角平分线于.设,记,则函数的值域是;当面积最大时,
课后练习
补救练习（20mins）
1.设是所在平面内一点,且,则（ ）
A . B . C . D .
2.设是非零向量，则“共线”是“”的
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.如图,在平行四边形中,是中点,,则.
4.若非零向量满足,,则向量,夹角的大小为
5.已知平面向量的夹角为,且满足则
6.已知平面向量,若,则.
7.若向量,,满足条件与共线,则的值为
A . B . C . D .
6.已知平面向量,若向量,则实数的值是.
巩固练习（20mins）
1.在平行四边形中,分别为上一点,且,,若,则等于
A . B . C . D .
2.设是非零向量,则“”是“”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
3.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为
A .
B .
C .
D .
4.设a、b是不共线的两个向量，已知，，，若、、三点共线，求的值．
5.已知菱形的边长为,,则.
6.已知平面向量满足，且，则与的夹角等于_______.
7.在中,,是边的中点,则的取值范围是
A . B . C . D .
8.已知三角形外接圆的半径为（为圆心）,且,,则等于
A . B . C . D .
9.平面向量与的夹角为,,,则
A . B . C . D .
10.如图,角均以为始边,终边与单位圆分别交于点,则
A .
B .
C .
D .
拔高练习（20mins）
1.已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为( )
A．2 B．1 C. D.
2.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.
3.如图,在等腰梯形中,,,,点在线段上运动,则的取值范围是
A. B. C. D.
4.在中,,点D是边上的动点,且,,(),则当取得最大值时,的值为
A. B. C. D.
5.设是平面上的两个单位向量,.若,则的最小值是
A . B . C . D .
6.已知向量,满足,且,则与夹角的大小为______.
7.已知向量,向量如图所示.则
A .存在,使得向量与向量垂直
B .存在,使得向量与向量夹角为
C .存在,使得向量与向量夹角为
D .存在,使得向量与向量共线
8.已知三角形外接圆的半径为（为圆心）,且,,则等于
A . B . C . D .
9.已知是平面上一点,,.
①若,则;
②若,则的最大值为.
10.已知为原点，点为直线上的任意一点.非零向量.若恒为定值，则 .
11.已知为的外心，且.
(1)若，则 ；
(2)若，则的最大值为.
12.如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当△ABC滚动到△时,顶点B运动轨迹的长度为;在滚动过程中,的最大值为.
14.已知为圆上两个不同的点（为圆心）,且满足,则=__________.第1章 平面向量
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知非零平面向量,则“”是“存在非零实数,使”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查平面向量共线定理和简易逻辑.
“”说明且与方向相同;
“存在非零实数,使”说明,与方向相同或者相反;
所以前能推后,后不能推前,
所以“”是“存在非零实数,使”的充分而不必要条件
故选A.
2.如下图所示，中，，交于，边上的中线交于，设，，用表示向量、、、、、.
【答案】，，,,,
3.已知向量,.若与平行,则实数的值是
A . B . C . D .
【答案】D
【解析】本题考查向量共线的坐标运算.
由题意可得,,由,所以,解得,故选D
4.若平面向量,,且,则实数的值为.
【答案】
5.已知中,,且,那么,.
【答案】.
【解析】本题考查解三角形与向量.
由余弦定理,,所以.
由可知与夹角为,所以.
6.若向量、满足,与的夹角为,则.
【答案】
【解析】本题考查向量数量积
因为,与的夹角为,
所以,
所以.
课中讲解
一.能理解平面向量的基本概念与线性运算法则LV.4
1．向量的有关概念与表示
(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量
自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．
(2)向量的模：向量的长度，记作：
向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉
零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0
单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：
(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．
相反向量：长度相等，方向相反的向量．
向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b
向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．
2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)
(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．
(2)减法：三角形法则．
(3)数乘：记作：a．
它的长度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜
它的方向：①当＞0时，a与a同向
②当＜0时，a与a反向
③当＝0时，a＝0
例1.
下列命题中正确的是（ ）
A.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
B.若是两个单位向量，则
C.若向量和共线，则向量的方向相同
D.零向量的长度为0，方向是任意的
【答案】
例2:
如图，在正六边形中，若，则________.
【答案】
例3.
已知非零平面向量,则“”是“存在非零实数,使”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查平面向量共线定理和简易逻辑.
“”说明且与方向相同;
“存在非零实数,使”说明,与方向相同或者相反;
所以前能推后,后不能推前,
所以“”是“存在非零实数,使”的充分而不必要条件
故选A.
例4.
已知向量，且，，，则一定共线
的三点是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
过关检测（10mins）
1.下列说法正确的是( )
A.若，则的长度相等且方向相同或相反
B.若向量，满足，且与同向，则
C.若，则与可能是共线向量
D.若非零向量与平行，则，，，四点共线
【答案】C
2.已知如图，在正六边形中，与相等的向量有________．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
【答案】①
3.已知非零向量,“”是“”
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】非零向量,由,可得存在非0实数使得,
∴,∴,
反之:由,可得存在非0实数使得,化为,∴.
∴“”是“”的充要条件,
故选:C
二.能理解并运用平面向量线性运算解决几何问题LV.5
例1.
在中,点满足,则
A . B .
C . D .
【答案】本题选C.
【解析】本题考查向量的运算.
因为,从而有,化简得.
例2.
在中,点满足=,则
A .点不在直线上 B .点在的延长线上
C .点在线段上 D .点在的延长线上
【答案】本题选D.
【解析】本题考查向量.
由得,即,从而为中点,因此点在延长线上.
例3.
在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量.
依题意
所以,即
例4.
设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为
A . B .0 C . D .1
【答案】C
例5.
中,分别为边中点,若,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量基本定理.
如图,延长交的延长线于,则,所以.即.设（三点共线）,则.
所以由得.
过关检测（10mins）
1.在中，已知是边上一点，若，，则等于( )
A. B. C. D．
【答案】A
2.在梯形ABCD中,,,E为BC中点,若,则x+y=.
【答案】
3.在正方形中,是线段的中点,若,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量基本定理
故
4.在所在平面内一点,满足,延长交于点,若,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量基本定理
根据题意,三点共线,设,
则,
又共线,所以,解得,,所以。
三．掌握数量积的定义与公式LV.2
数量积：
(1)定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．
(2)运算律：
1．(交换律)a·b＝b·a
2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b)
3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(3)性质：设a，b是非零向量，则：
a·b＝0a⊥b
a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜
a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜
特殊地：a·a＝｜a｜2或
夹角：
|a·b|≤|a| |b|
例1:
设是非零向量,“”是“”的
A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件
C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查了数量积公式的定义.当向量同向时有,当向量反向时有
例2
在中,,则的值为
A . B . C . D .
【答案】B
【解析】本题考查平面向量
例3
向量 在向量上的正射影的数量为
【答案】
【解析】本题考查平面向量投影的定义
例4
设均为单位向量,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】本题考查平面向量及充分必要条件.
由题意得,.
必要性:∵∴
又∵,∴∴∴即∴
必要性得证.
充分性:∵∴又∵∴
∴ ∴充分性得证.故选C.
例5
设平面向量满足,,则向量夹角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
由已知得:,解得
例6
已知平面向量均为非零向量,则“”是“向量共线”的
A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件
C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要条件:
若,同向,则满足必要条件
充分条件:当共线时设,,故充分条件成立.
故选C
例7
已知向量满足,,的夹角为60°,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量的数量积,求模.
过关检测（10mins）
1.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】本题考查平面向量数量积与夹角的关系.∵为非零向量∴ 夹角为锐角∵故选.
2.已知向量,满足,且,则与夹角的大小为______.
【答案】
【解析】,.所以,因为,所以
3.已知平面向量的夹角为,且满足则
【答案】
【解析】本题考查平面向量的数量积及模的运算.
4.设是非零向量,且.则“”是“”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
答案:C
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件。充分性:当时,所以;必要性:时,,又因为,所以。
故“”是“”的充要条件。故本正确答案为
四.能用数量积与线性运算结合解决几何问题LV.5
例1
已知等边的边长为3,是边上一点,若,则的值是.
【答案】6
【解析】.
∴,
∴.
故答案为6
例2
如图,在中,,,是的中点,若向量,且点在的内部（不含边界）,则的取值范围是.
【答案】
【解析】本题考查向量的数量积、平面向量的基本定理.
以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系,故, ,故,故,,因为点在内部,故,故.
例3
如图，菱形的边长为，，为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
解析:当点运动到时,向量在上投影的数量最大
例4．
在中,,点是线段上的动点,则的最大值为_______.
【答案】3
解析:当点和点都运动到点即时,的值最大,且为3.
例5.
如图,,,是三个
边长为的等边三角形,且有一条边在
同一直线上,边上有2个不同的
点,则
【答案】36
【解析】延长与交于点,由正三角形可知,.同理,所以.
过关检测（10mins）
1.在中,已知,,分别是边上的三等分点,则的值是
A . B . C . D .
【答案】C
【解析】本题考查向量的数量积.依题意,设,故,故;,故,故选C
2.在四边形中,.若,则______.
【答案】2
【解析】本题考查向量..
3. 已知正方形边长为1,是线段的中点,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量,正方形中,,
五.理解平面向量基本定理与基底的概念LV.2
1.平面向量基本定理：
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不共线的向量,叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，．
例1．
设是表示一个平面内所有向量的一组基底，给出下列三个结论：
中不含零向量； ②不平行；
当时，有；
以上结论正确的共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
例2.
已知基底，，且，则 ________．
【答案】
过关检测（10mins）
1.已知是不共线向量，,当时，实数( )
A．－1 B．0 C． D．－2
【答案】C
六.清楚理解向量运算的坐标表示LV.4
向量的坐标运算
若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)
(3)数乘：a＝(x1，y1)
(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2
(5)若a＝(x，y)，则
(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(8)a在b方向上的正射影的数量为
例1.
已知向量,,则
A . B . C . D .
【答案】A
例2.
已知两点，，点满足，则点的坐标是________．
【答案】
例3.
已知向量,,,则等于
A . B . C .1 D .-1
【答案】C
例4.
已知平面向量,,则与的夹角为
A . B . C . D .
【答案】B
【解析】本题考查平面向量,则,故选B
例5.
如图,在直角梯形中,,,是的中点,,则
A . B . C . D .
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的数量积.
以为原点建立平面直角坐标系,
因为是的中点,,
设
.故选D.
过关检测（10mins）
1.已知向量,则
A . B . C . D .
【答案】A
【考点】本题考查平面向量的坐标运算
【解析】
故选A
2.已知，且，，又，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】 A
3.如果正方形的边长为,那么等于
A . B . C . D .
【答案】A
【解析】本题考查向量数量积.,故选A
4. 已知向量，，则
A. B . C. D.
【答案】C
5. 平面向量与的夹角为,,,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量依题意,
则,故
七.掌握向量平行与垂直的坐标表示LV.4
1.向量与非零向量平行的充要条件是：.
向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
2.垂直的充要条件：，即
例1.
已知向量,若,则 .
【答案】
例2.
在平面直角坐标系中,向量＝(1,2),＝(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则
A . B . C . D .
【答案】B
【解析】∵三点能构成三角形,∴不共线,
∴,解得.故选:B
例3.
向量在正方形网格中的位置如图所示,若向量与共线,则实数
A . B .
C . D .
【答案】
【解析】建立如图所示坐标系,可得, ,,
,所以,,故选.
例4.
已知向量,向量,若与垂直,则实数的值为.
【答案】
【解析】∵向量,∴,又与垂直,
∴,即,解得，故答案为:
例5.
平面向量,,,如果,且,那么实数,
的值分别是
A., B., C., D.,
【答案】A
【解析】本题考查集合运算.,,所以,得故选A
过关检测（10mins）
1.已知向量,,若,则的值为______.
【答案】0
【解析】本题考查平面向量因为, 所以
又因为所以即
2.已知平面向量,且,则实数的值是
A . B . C . D .或
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.由,且,可以得到,即,所以或,故选.
3.设向量，．则与垂直的向量可以是
A . B . C . D .
【答案】A
4.已知向量，则
【答案】
5.已知向量,则与
A .垂直 B .不垂直也不平行
C .平行且同向 D .平行且反向
【答案】D
【解析】本题考查平面向量因为,所以与平行且反向故选D
八.能灵活使用建系法解决综合几何问题LV.6
例1.
如图,正方形的边长为6,点,分别在边,上,且,.如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围
是（ ）
A . B . C . D .
【答案】C
解析:以为轴,以为轴建立直角坐标系
则,
若在上,设,.则,,则,则,即.且当时,有唯一解,且,当时,有两个解.
若在上,设,,则,,所以,因为,则.则当或时,有唯一解;当时,有两个解.
若在上,设,,,.所以,又因为,则.当时有唯一解,当时有两个解.
若在上,设,,所以,,所以,又,所以.当或时有唯一解,当时有两个解.
综上所述,
例2.
已知点在的内部,且有,记的面积分别为.若,则__________;若,则__________.
【答案】,
【解析】本题考查平面向量与三角形.
若,则是的重心,
∴,
∴．
若,延长,使,如图所示:
则,∴是的重心,∴．
∴,
,
,
∴．
故答案为,．
例3.
已知点在圆上,点在圆上,则下列说法错误的是
A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.的取值范围为
D.若,则实数的取值范围为
【答案】B
【解析】本题考查圆的方程与向量的运算.
项正确由图可得:
当且仅当五点共线时取等号
故正确.项错误
故错误.
项正确故正确
项正确
故正确
过关检测（10mins）
1.如图,已知边长为的正方形,是边上一动点（与不重合）,连结,作交的外角平分线于.设,记,则函数的值域是;当面积最大时,
【答案】
【解析】本题考查向量的数量积、基本不等式.作交延长线于点,故,设,则,整理得,因为,故,故,因为,故函数的值域为;,当且仅当时等号成立,此时.
课后练习
补救练习（20mins）
1.设是所在平面内一点,且,则（ ）
A . B . C . D .
【答案】D
【解析】:因为,所以点为的中点,则
2.设是非零向量，则“共线”是“”的
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】共线或，
，共线,所以选.
3.如图,在平行四边形中,是中点,,则.
【答案】
【解析】本题考查平面向量的基本定理.
,故.
4.若非零向量满足,,则向量,夹角的大小为
【答案】.
【解析】本题考查向量.
设与的夹角为,则.又因为,所以,即,从而.
5.已知平面向量的夹角为,且满足则
【答案】
【考点】本题考查平面向量的数量积及模的运算.
【解析】
6.已知平面向量,若,则.
【答案】
【解析】本题考查共线向量的坐标表示
7.若向量,,满足条件与共线,则的值为
A . B . C . D .
【答案】D
【解析】∵向量,∴,又与共线,
∴,解得.故选:D
6.已知平面向量,若向量,则实数的值是.
【答案】
【解析】本题考查向量的坐标运算.
依题意,,故,解得.
巩固练习（20mins）
1.在平行四边形中,分别为上一点,且,,若,则等于
A . B . C . D .
【答案】D
2.设是非零向量,则“”是“”的
A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】充分性:,,,,,,,充分性成立.
必要性:当同向时,,必要性不成立.
故选.
3.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】考查向量的运算
4.设a、b是不共线的两个向量，已知，，，若、、三点共线，求的值．
【答案】
5.已知菱形的边长为,,则.
【答案】
【解析】由菱形对边平行且相等知,
故.
6.已知平面向量满足，且，则与的夹角等于_______.
【答案】.
【解析】本题考查平面向量，由可得：
.设与的夹角为，，则，故
7.在中,,是边的中点,则的取值范围是
A . B . C . D .
【答案】A
【解析】是边的中点
8.已知三角形外接圆的半径为（为圆心）,且,,则等于
A . B . C . D .
【答案】A
【解析】本题考查平面向量数量积的运算.
三角形外接圆的半径为（为圆心）,且,
为的中点,故三角形是直角三角形,为直角.
又,
故选：A
9.平面向量与的夹角为,,,则
A . B . C . D .
【答案】D
【解析】根据题意可得,,,
所以,.故选.
10.如图,角均以为始边,终边与单位圆分别交于点,则
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【考点】本题考查平面向量的数量积
【解析】
故选C .
拔高练习（20mins）
1.已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为( )
A．2 B．1 C. D.
【答案】A
2.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.
【答案】
3.如图,在等腰梯形中,,,,点在线段上运动,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
以为轴,中点为坐标原点建系,则
点在边上,则向量与向量共线,设
则
,,
故选
4.在中,,点D是边上的动点,且,,(),则当取得最大值时,的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查平面向量
,由均值不等式,当且仅当时等号成立
D为BC中点,,故选C
5.设是平面上的两个单位向量,.若,则的最小值是
A . B . C . D .
【答案】本题选C .
【解析】本题考查平面向量.,当时,取得最小值,取得最小值,故选C .
6.已知向量,满足,且,则与夹角的大小为______.
【答案】
【解析】,.
所以,因为,所以
7.已知向量,向量如图所示.则
A .存在,使得向量与向量垂直
B .存在,使得向量与向量夹角为
C .存在,使得向量与向量夹角为
D .存在,使得向量与向量共线
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的坐标运算,垂直,平行关系式.
由图可知,且
;
无解;无解;;故选D.
8.已知三角形外接圆的半径为（为圆心）,且,,则等于
A . B . C . D .
【答案】A
【解析】本题考查平面向量数量积的运算.由题意可得三角形是以角为直角的直角三角形,解直角三角形求出相应的边和角,代入数量积公式得到答案.
三角形外接圆的半径为（为圆心）,且
9.已知是平面上一点,,.
①若,则;
②若,则的最大值为.
【答案】;
【解析】
10.已知为原点，点为直线上的任意一点.非零向量.若恒为定值，则 .
【答案】
【解析】设点，则：
设的定值为，则：
令得：
11.已知为的外心，且.
(1)若，则 ；
(2)若，则的最大值为.
【答案】；
12.如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当△ABC滚动到△时,顶点B运动轨迹的长度为;在滚动过程中,的最大值为.
【答案】,
【解析】本题考查向量轨迹题型
由题意可画图,得轨迹长为,最大值为.
13.已知为圆上两个不同的点（为圆心）,且满足,则=__________.
【答案】
【解析】本题考查平面向量与解析几何.
由圆可得,圆心,半径为,
由题意可得,由
,
由,可得,即有．故答案为:．
