圆锥曲线专题讲义-2023届三轮冲刺（无答案）

目录
一、基础回顾 1
二、必备结论 2
三、必备解析几何基础知识 2
四、小题考点分类 3
（一）定义考察（重点） 3
（二）离心率问题 6
（三）最值问题与综合考察（结合向量、解三角形基础等） 9
（四）创新题问题 12
五、大题考点分类 15
六、圆锥曲线常考转化条件归纳及题型总结 16
1. 垂直关系： 16
2. 三角形/四边形面积问题 16
3. 向量或三点共线问题 16
4. 定值定点问题 17
5. 角相等问题【实质：斜率问题】 18
6.最值问题：特别注意定义域 18
经典选题考点 19
圆锥曲线大题必练专题 36
圆锥曲线专题讲义
一、基础回顾
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线
图形
标准方程
定义方程
关系式
范围 且 或
轴长 长轴长短轴长 焦距 实轴长虚轴长 焦距 焦点到准线的距离为
焦点 、 、
离心率
其他 渐近线 准线
二、必备结论
1. 通径（椭圆、双曲线中都是同一个数）
2. 点差法结论.
3. 双曲线中焦点到渐近线的距离等于.
4. 平行于渐近线的直线与渐近线有且只有一个公共点.
5.焦点弦
6.在轨迹上的点作切线方程…………
三、必备解析几何基础知识
1.已知，则
两点距离公式：
两点斜率公式：（为直线的倾斜角，且不为90°）
向量
两点中点坐标
2.到直线的距离公式：
3.圆的标准方程：，圆心，半径
一般方程：，圆心，半径
4.圆的弦长公式：
5.普通弦长公式：
6.相交，相离，相切三种位置关系的判断准则.
7.向量基本运算公式：已知 则：
；
向量作图的加减法
8.常用角度的三角函数值表.
9.直线的平行和垂直结论.
四、小题考点分类
（一）定义考察（重点）
目标：要求做到“快+准”。
1.已知某曲线轨迹方程为，则
此轨迹为椭圆时，实数的取值范围为_____________;
此轨迹为双曲线时，实数的取值范围为_____________;
当时，轨迹的离心率为_____________;
此轨迹的焦点坐标为的椭圆，则离心率为_____________;
此轨迹为实轴长为6且焦点在轴的双曲线，则双曲线的渐近线方程为___________;
此轨迹为椭圆时，是椭圆上一点，为左右焦点，若三角形的周长为 ，则此椭圆的标准方程为___________;
…………
2. 若椭圆和双曲线C：2x2－2y2＝1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
3. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则( )．
1 17 1或17 以上答案均不对
【提点】着重强调一下注意定义的考察中此处有陷阱！
4. 抛物线的焦点坐标是__________
【提点】看清楚，算清楚，想清楚
5. 已知抛物线方程的焦点为,过焦点的直线交抛物线在第一象限的交点为，作准线，垂足为，若的斜率为，则的面积为__________.
【提点】能用几何坚决不用代数
6.如图抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为（ ）
【提点】考试时此题怎么做？平时怎么做？
7.已知双曲线左支上一点,为左右焦点，为的内心，若对任意左支上的点成立，则________
8. 已知椭圆的短轴长为2，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆在第一象限相交于点. 记圆在点处的切线的斜率为，椭圆在处的切线的斜率为，若，则实数的最小值为________.
（二）离心率问题
考点一：分类讨论+代数计算
1.如果椭圆的离心率，则_______.
考点二：几何关系列式+消b
技巧：方程或不等式两边同除以或设数
例如：
1. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2. 如图，在平面直角坐标系中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
3. 过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4椭圆，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2＝－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则(　　)
且 且
且 且
6.已知双曲线的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为_________.
7. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于点两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8. 设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点使得，，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.
9. 已知双曲线，是双曲线的右焦点，过作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线，若与双曲线的左右两支分别交于，则双曲线的离心率的取值范围为_____________.
10. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
11. 已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．
12. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
（三）最值问题与综合考察（结合向量、解三角形基础等）
（一）最值问题一：函数思想（消元法+三角换元+线性规划）
例1.已知实数满足,求下列的最值：
；；
（二）最值问题二：定义转化
1. 点是椭圆上一点，是椭圆的右焦点，，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C. D．
2. 设是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且满足，则_________.
3. 如图，抛物线与圆交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A. B.
C. D.
4. 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A.5 B.＋ C.7＋ D.6
5. 已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
6.已知点分别是抛物线和直线上的动点，点是圆上的动点．
① 抛物线的焦点坐标为____；
② 的最小值为____．
14. 已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是________.
15.如图，在平面直角坐标系中，已知点，.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率记为，直线的斜率记为，则的值为_______；当变化时，动点一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.
（四）创新题问题
1.（2017海淀二模）已知椭圆G： 的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足. 当变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于轴对称；
②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；
③的最小值为，
其中，所有正确命题的序号是_____________．
2. （2018海淀二模）能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为.
【改编】改为求实数的取值范围呢？实质问题是什么？
补充：（2015海淀二模）若双曲线上存在四个点，使得四边形是正方形，则双曲线的离心率的取值范围是 .
3.（2018海淀期末）已知点为抛物线：的焦点，点为点关于原点的对称点，点 在抛物线上，则下列说法错误的是
（A）使得为等腰三角形的点有且仅有4个
（B）使得为直角三角形的点有且仅有4个
（C）使得的点有且仅有4个
（D）使得的点有且仅有4个
4. 若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是
A． B． C． D．
强化：以为圆心作与函数图像有公共点的所有圆中，圆面积最小值为（ ）
5. 在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线.
(I) 给出下列三个结论：
①曲线关于原点对称；
②曲线关于直线对称；
③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
其中，所有正确结论的序号是__;
(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.
6. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：
曲线是轴对称图形；
曲线是中心对称图形；
曲线上所有的点都在单位圆内；
曲线上所有的点的纵坐标.
其中，所有正确结论的序号是__________.
7.已知曲线的方程为.
（I）请写出曲线的两条对称轴方程______________；
（II）请写出曲线上的两个点的坐标______________；
（III）曲线上的点到原点的距离的取值范围是____________；
（IV）曲线与曲线的图像的交点个数为___________.
8. 关于曲线，给出下列四个命题：
曲线有两条对称轴，一个对称中心；曲线上的点到原点的距离的最小值为1；
曲线的长度满足； 曲线所围成的图形的面积满足
上述命题中，正确的是_________.
五、大题考点分类
【一题多练】例.如图，，的矩形 ，以为焦点的椭圆：恰好过两点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；
（3）若直线被椭圆截得的弦长为，求的值
（4）若直线被椭圆截得的弦恰以点为中点，求直线的直线方程
（5）若直线与椭圆相交于两点，则是否存在,使得以为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出的值，若不存在请说明理由
（6）记分别是曲线与轴相交的左、右顶点，若是曲线上的动点，判断是否为定值，并说明理由。
（7）过左焦点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于四点，若四边形的面积为，求直线的方程；
（8）若一条直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆过点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标。
（9）设直线不经过且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点
（10）直线与椭圆交于两点，若的中点为,求证：为定值
（11）直线与椭圆交于两点．，且，求证：的面积为定值．
（12）若直线：与椭圆相交于两点，若原点在以为直径的圆的内部，求的取值范围
六、圆锥曲线常考转化条件归纳及题型总结
1. 垂直关系：
向量的数量积为0. 例：（建议运用向量）
斜率之积为-1. 例：
2. 三角形/四边形面积问题
3. 向量或三点共线问题
4. 定值定点问题
补充：
一、定点寻找方法及思路
1.多数情况下为圆锥曲线的焦点（顶点）
2.关于含参数直线的定点问题：
对于，直线横过哪个定点？
二、双变量的定值顶点问题.
例如：为定值，如何转化？
[原题] 已知椭圆方程为，过左焦点的直线交椭圆于两点，问在轴上是否存在一点使得为常数，若存在求出坐标及其常数；若不存在，请说明理由。
5. 角相等问题【实质：斜率问题】
6.最值问题：特别注意定义域
均值不等式
二次函数（或四次型的类二次函数）
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）当且仅当时，等号成立
（3）
经典选题考点
1. 椭圆方程，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率之积为，射线上的点满足，与椭圆交于点，求的值.
补充题：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
2.已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率为，
求证：为定值；
求的面积的最大值.
3. 已知点，（）是曲线（）上的两点，两点在轴上的射影分别为点，且
（Ⅰ）当点坐标为时，求直线的斜率；
（Ⅱ）记的面积为，梯形的面积为，求证：．
4.设椭圆的焦点在轴上.
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左右焦点，为直线与椭圆的一个公共点，直线交轴于点，连接.问当变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由。
5. 椭圆：的离心率为，右焦点为F，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，求证：为定值．
6.已知椭圆的左焦点为，直线与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点
证明：；
求的面积的最大值.
7. 已知椭圆的左焦点为抛物线的焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上异于的两点，且满足，问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
8.已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，为直线上任意一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），动直线与椭圆交于两点，且位于直线的两侧，若始终保持，求证：直线的斜率为定值.
9.如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线和的斜率分别为.
（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线的斜率分别为满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
10. 在平面直角坐标系中,动点到定点的距离与它到直线的距离相等.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;
（Ⅱ）设动直线与曲线相切于点,与直线相交于点.
证明:以为直径的圆恒过轴上某定点.
11. 已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
12. 已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（II）若，求△AOB面积的最小值.
13.已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点满足条件.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明：.
14.已知抛物物，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线C相交于不同于原点的两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆恒过原点.求证直线过定点；
（3）若直线过抛物线的焦点，求面积的取值范围 (为坐标原点）.
15.已知椭圆的右焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的长轴长和离心率;
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于点,点在直线上的射影分别为,求证:直线与的交点为定点.
16.已知抛物线的准线方程为，焦点为，为抛物线上异于原点的一点。
(Ⅰ) 若，求以线段为直径的圆的方程；
(Ⅱ)设过点且平行于的直线交抛物线W于两点，判断四边形能否为等腰梯形？若能，求直线的方程；若不能，请说明理由。
圆锥曲线大题必练专题
在平面直角坐标系中，椭圆C：过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线的方程为．
①求证：直线与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
3. 在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
4.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
5.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.
(Ⅰ)求圆的方程；
(Ⅱ)设为圆上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互 补,为坐标原点,试判断直线和是否平行 请说明理由.
6.在平面直角坐标系中， 直线L：恒过一定点，且与以原点为圆心的圆C恒有公共点。
⑴ 求出直线L恒过的定点坐标；
⑵ 当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
⑶ 已知定点，直线L与⑵中的圆C交于M、N两点，试问 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由。
7. 已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记,,的面积分别为,,，试证明为定值.
热点一　圆锥曲线中的最值、范围
【训练1】 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
热点二　圆锥曲线中的存在性问题
【例2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【训练2】已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；
(2)是否存在实数p，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由.
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值.
2.已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.
1.如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，又l与直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围.
3.已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值.