圆周角与圆心角的关系[下学期]

第五课时 圆周角与圆心角的关系
教学目标
进一步巩固圆周角定理及其推论使学生了解圆内角和圆外角概念，知道它们的度数与所夹弧度数的关系．
教学重点和难点：
圆周角定理及其推论的应用题是这节课的重点，也是难点．
教学过程　
一、复习
叙述圆周角定理的三个推论．
二、新课
例5 如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．
分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．
解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，
又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．
在 Rt∠ADB中，
例6 已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．
求证：CF=FG．
分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．只需证∠B=
证明：连结AC，
∵AB为直径，　∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．
又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，
　　
∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．
圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．如果顶点在圆内和顶点在圆外呢？我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．
我们可以把圆内角和圆外角的问题转化成圆周角的问题考虑．对于圆内角∠APB，可以延长AP、BP交⊙O于C、D．连结AD，则∠APB=∠A+∠D，而∠A的度数等于度数的一半，∠D的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数和的一半．对于圆外角∠APB，可以连结AD，则∠APB=∠ADB-∠A，而∠ADB的度数等于AB度数的一半，∠A的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数差的一半．所以可得出下面的定理：
圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．
利用圆内角度数定理，还可以用另外方法证明例6(怎么证？)
如图1，对着的圆内角∠AC1B，圆周角∠AC2B，圆外角∠AC3B，比较它们的大小．(∠AC1B＞∠AC2B＞∠AC3B)．
练习以等边三角形的一边为直径作圆，求证：这个圆平分其它两边，并且其它两边三等分半圆．　(提示：可连结AD、BE)．
归纳提炼：
这节课内容是通过例题巩固圆周角定理及推论的应用．还介绍了圆内角和圆外角的度数定理．