§3.1圆 的 对 称 性(1)[下学期]

第二课时 §3.1圆 的 对 称 性(1)
教学目标：
1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
2．过程与方法： 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
3．情感态度与价值观： 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.
教学重点：垂径定理及其逆定理.
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.
教学设计：
一、创设问题情境，引入新课
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义
（如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．）
我们是用什么方法研究了轴对称图形
今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．
二、讲授新课
同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴
（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）
你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下．
我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴．
圆是轴对称图形。其对称轴是任意一条过圆心的直线．
下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
3．直径：经过圆心的弦叫直径．
如右图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”：线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙0的一条直径．
注意：
1．弧包括优弧和劣弧．大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中,以A、D为端点的弧有两条:优弧ACD(记作),劣弧ABD(记作).半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是优弧,也不是劣弧.
2.直径是弦,但弦不一定是直径.
做一做
按下面的步骤做一做:
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：
1．通过第一步，我们可以得到什么
（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）
2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么呢
（AM＝BM，＝， =，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．）
3．还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系
如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM，＝， = ）
4．在上述操作过程中，你会得出什么结论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
如上图，连接OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵ OA=OB，OM=OM
∴ Rt△OAM≌Rt△OBM
∴ AM=BM
∴ 点A和点B关于CD对称
∵ ⊙O关于直径CD对称
∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，和重合， 和重合
∴ ＝， =
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
下面，我们通过求解例l，来熟悉垂径定理：
[例1]如1右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600 m，E为上—点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m．求这段弯路的半径．
分析：要求弯路的半径，连结OC．只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF==300m，OF=OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO．
连结OC，设弯路的半径为Rm，则
0F＝(R一90)m
∵OE上CD，
∴CF==300m．
据勾股定理，得
即．
解这个方程，得R＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
随堂练习：P92 1
下面我们来想一想
如下图示，AB是⊙0的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
1．右图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么
（它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．）
2．你是用什么方法验证上述结论的 大家互相交流讨论一下，你还有什么发现
（通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上面一个⊙O。作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点
关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，＝， =．
大家想想还有别的方法吗 互相讨论一下．
[生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，圆M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，和重合， 和重合．
在上述的探讨中，你会得出什么结论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
为什么上述条件要强调“弦不是直径”
（因为圆的任意两条直径互相平分。但是它们不一定是互相垂直的．）
我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
如上图，连结OA、0B，则OA=OB．
在等腰△OAB，∵AM＝MB
∴ CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
∵ ⊙O关于直径CD对称．
∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合， 和重合．
∴ ＝， =
做随堂练习：P92 2
2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗 为什么
理由：如右图示，过圆心0作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设，，用等量减等量差相等，得，即，故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
三、课堂小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
四、课后作业
1．课本习题P93 1、2；
2．复习本堂课内容。
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