§3.1圆 的 对 称 性[下学期]
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第三课时 §3.1圆 的 对 称 性
教学目标：
1．知识与技能：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动
发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力，利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度及方法．
教学重点：圆心角、弧、弦之间关系定理．
教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学设计：
一、创设问题情境，引入新课
我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么 哪位同学知道
用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180：，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗 下面我们继续来探讨．
二、讲授新课
同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点
（大小一样．）
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形。对称中心为圆心．
做一做．
按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB和∠A′O′B′时，要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下，说一说你的理由．
（结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′．
3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．
4．由旋转法可知．）
刚才到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB＝A′B′．
在上述操作过程中，你会得出什么结论
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
下面，我们一起来看一看命题的证明．
如上图所示，已知：⊙0和⊙0′是两个半径相等的圆，∠AOB=∠A′O′B′．
求证：，AB＝A′B′．
证明：将⊙O和⊙0′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得半径0A与O′A′重合，
∵∠AOB=∠A′O′B′
∴半径0B与0′B′重合．
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴，AB＝A′B′．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示。虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′, 下面我们共同想一想．
如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗 你是怎么想的 请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中。如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：⑴不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可 根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．
例如，右图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠ 2对BC就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．
课本P97 随堂练习l、2、3
三、课时小结
通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法 (同学们之间相互讨论、归纳)
本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理
四、课后作业
1．复习本堂课内容;
2．课本P98 习题3．3：1、2．
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教学目标：
1．知识与技能：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动
发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力，利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度及方法．
教学重点：圆心角、弧、弦之间关系定理．
教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学设计：
一、创设问题情境，引入新课
我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么 哪位同学知道
用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180：，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗 下面我们继续来探讨．
二、讲授新课
同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点
（大小一样．）
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形。对称中心为圆心．
做一做．
按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB和∠A′O′B′时，要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下，说一说你的理由．
（结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′．
3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．
4．由旋转法可知．）
刚才到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB＝A′B′．
在上述操作过程中，你会得出什么结论
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
下面，我们一起来看一看命题的证明．
如上图所示，已知：⊙0和⊙0′是两个半径相等的圆，∠AOB=∠A′O′B′．
求证：，AB＝A′B′．
证明：将⊙O和⊙0′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得半径0A与O′A′重合，
∵∠AOB=∠A′O′B′
∴半径0B与0′B′重合．
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴，AB＝A′B′．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示。虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′, 下面我们共同想一想．
如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗 你是怎么想的 请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中。如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：⑴不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可 根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．
例如，右图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠ 2对BC就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．
课本P97 随堂练习l、2、3
三、课时小结
通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法 (同学们之间相互讨论、归纳)
本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理
四、课后作业
1．复习本堂课内容;
2．课本P98 习题3．3：1、2．
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