海淀区2022—2023学年第二学期期中练习
高三数学
参考答案
一、选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C D B A B B
二、填空题
（11） ( , 2) (1,+ ) （12）2
（13） （答案不唯一， [ , ]） （14）1； ( ,0] [2,+ )
2 6 2
（15）①③
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由直三棱柱 ABC A1B1C1可知 BC ⊥ CC1，又因为 AC ⊥ BC ，且 AC CC1 =C ,
所以BC ⊥平面CC1A1A .
由C1D 平面CC1A1A，所以 BC ⊥ C1D .
在矩形CC1A1A中， AD = DA1 =1, CC1 = 2 ，所以 DC1 = 2, DC = 2 .
可得C C2 =C D2 +CD2 ，所以C1D ⊥ CD . 1 1
又因为 BC CD =C ，
所以C1D ⊥平面 BCD .
（Ⅱ）由题意可知，CA,CB,CC1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz，
高三数学参考答案 第1页（共7页）
则C(0,0,0)， D(1,0,1)， B(0,1,0)，C1(0,0,2)，
z
C1 B1
BD = (1, 1,1)， BC1 = (0, 1,2) , CD = (1,0,1) . A1
设平面 BC1D的一个法向量为n = (x, y, z)，则
n BD = 0, x y + z = 0,
即 D
n BC = 0, y + 2z = 0.1
令 z =1，则 y = 2 ， x =1， 得n = (1,2,1) . C
B y
A
设直线 CD与平面 BC1D所成角为 ， x
CD n 3
则 sin =| cos CD,n |= = ，
CD n 3
3
所以直线 CD 与平面 BC1D所成角的正弦值为 .
3
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由bsin 2A 3asin B 及正弦定理，得 sin Bsin 2A 3sin Asin B .
由倍角公式得 2sin Bsin Acos A 3sin Asin B .
在△ABC 中， sin A 0, sin B 0，
3
得 cos A .
2
π
因为 A (0, ) ，
2
π
所以 A .
6
（Ⅱ）记△ABC 的面积为 S△ABC .
选条件②：
π
由（Ⅰ）知 A ，又由题知 S△ 3 3 ， 6 ABC
1
可得 S△ABC bcsin A
2
得 bc 12 3 .
b 3 3
又由条件②，即 ，解得b 3 3, c 4 .
c 4
由余弦定理，得
高三数学参考答案 第2页（共7页）
a2 b2 c2 2bc cos A
3
27 16 2 3 3 4 ，
2
7
所以 a 7.
选条件③：
21 2 7
又由条件③，即 cosC = 以及C (0, π)，可得 sin C = .
7 7
1 21 3 2 7 3 21
所以 sin B = sin(A+C) = sin AcosC + cos AsinC = + =
2 7 2 7 14
π
由（Ⅰ）知 A ，
6
1
又由题知 S△ 3 3 ，可得 S△ABC bcsin A . ABC 2
得 bc 12 3 .
由正弦定理得 a :b : c = sin A : sin B : sinC = 7 :3 21 : 4 7 .
可设 a = 7k,b = 3 21k,c = 4 7k .
1
由 bc =12 3，得 k = .
7
得 a = 7.
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过 20 次为事件 C，在 A组 10 户中超过 20 次的有 3 户，由
3
样本频率估计总体概率，则 P(C) = .
10
（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取 1 户的网购生鲜蔬菜次数超过 20
3 7
次概率为 ，二单元参与网购家庭随机抽取 1 户的网购生鲜蔬菜次数超过 20 次概率为 .
10 10
X 的取值范围为 0,1,2 .
3 7 21
P(X = 0) = (1 ) (1 ) = ，
10 10 100
3 7 3 7 29
P(X =1) = (1 ) + (1 ) = ，
10 10 10 10 50
3 7 21
P(X = 2) = = .
10 10 100
21 29 21
E(X ) = 0 +1 + 2 =1 .
100 50 100
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（Ⅲ） D( 1) = D( ) . 2
19. （本小题 14 分）
解：（Ⅰ）依题意可得：
2b = 2,
4 a
2 + b2 = 4 6.
a = 5,
解得
b =1.
x2
椭圆 E的方程为 + y2 =1 .
5
（Ⅱ）依题意, 可设直线 l 方程为 y = kx +m (km 0)，M (x1, y1), N (x2 , y2 ) .
x2 2
+ y =1,
联立方程 5
y = kx + m.
得 (5k2 +1)x2 +10kmx +5m2 5 = 0 .
2 2
= (10km)2 4 (5k2 +1)(5m2 5) =100k2 20m2 + 20 0 ，即5k m 1 .
10km 5m2 5
x1 + x2 = ， x1x = . 2
5k 2 +1 5k 2 +1
m m
在直线 l 方程 y = kx +m中，令 y = 0 ，得 x = ，得 P( ,0) .
k k
y y
依题意得M '( x1, y )，得直线M 'N 方程为 y =
2 1 (x + x
1 1
) + y1 .
x2 + x1
x y
令 x = 0，得 y 1 2
+ x2 y1
Q = .
x1 + x2
1 1 m x1 y + x y所以△OPQ的面积为 S = x y = 2 2 1 OPQ P Q .
2 2 k x1 + x2
x1 y2 + x2 y1 = x1(kx2 +m) + x2 (kx1 +m) = 2kx1x2 +m(x1 + x2 )
5m2 5 10km2 10k
= 2k = .
5k 2 +1 5k 2 +1 5k 2 +1
1 m 10k 1
即 S△OPQ = = 2，解得 k = ，经检验符合题意.
2 k 10km 4
1
所以 k 的值为 .
4
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（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当 xa =1时， f (x) = e x .
则 f (0) =1.
求导得 f '(x) = ex 1，
得 f '(0) = 0 .
所以曲线 y = f (x) 在 (0, f (0))处的切线方程为 y =1 .
（Ⅱ）求导得 f '(x) = aeax 1 .
当 a 0时， f '(x) 0恒成立，此时 f (x) 在R 上单调递减.
ln a
当 a 0时，令 f '(x) = 0，解得 x= .
a
f (x)与 f (x)的变化情况如下：
ln a ln a ln a
x ( , ) ( ,+ )
a a a
f (x) 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
ln a ln a
由上表可知， f (x) 的减区间为 ( , )，增区间为 ( ,+ ) .
a a
综上，当 a 0时， f (x) 的减区间为 ( ,+ ) ，无增区间；
ln a ln a
当 a 0时， f (x) 的减区间为 ( , )，增区间为 ( ,+ ) .
a a
（Ⅲ）将 f (x) 在区间[ 1,1]上的最大值记为 f (x)max ，最小值记为 f (x)min .
由题意，若 x [ 1,1]，使得 | f (x) | 3成立，即 f (x)max 3或 f (x)min 3.
当 axx [ 1,1]时， f (x) = e x x 1.
所以若 x [ 1,1]，使得 | f (x) | 3成立，只需 f (x)max 3 .
由（Ⅱ）可知 f (x) 在区间[ 1,1]上单调或先减后增，故 f (x)max 为 f ( 1) 与 f (1) 中的较大者，
所以只需当 f ( 1) 3或 f (1) 3即可满足题意.
即 f ( 1) = e a +1 3或 f (1) = ea 1 3.
解得 a ln2或 a ln4 .
综上所述， a 的取值范围是 ( , ln2] [ln4,+ ) .
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（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令 i = j = 3， aia j =16 不是数列{an}中的项.
（ⅱ）满足. 对于任意bi,b j (i≥j)，bibj = (2i 1)(2 j 1) = 2(2ij i j +1) 1.
由于 2ij i j +1 1，故令 k = 2ij i j +1即可.
（Ⅱ）（1）对于有穷数列{an}记其非零项中，绝对值最大的一项为 a p ，绝对值最小的一项为 aq .
故令 i = j = p 时，存在一项 | ak |=| aia j |= a
2 .
p
又 a p 是数列{an}非零项中绝对值最大的，所以 | a | a
2，即0 | a
p p p
| 1.
再令 i = j = q 时，存在一项 | a |=| a a |= a 2 . k i j q
又 aq 是数列{an}非零项中绝对值最小的，所以 | a
2 ，即 | a | 1 .
q | aq q
又1 | aq | | ap | 1 ,
所以数列所有非零项的绝对值均为 1.
又数列{an}的各项均不相等，所以其至多有0, 1,1共 3 项.
所以m 3.
（2）构造数列{an}: 0, 1,1 .
其任意两项乘积均为 0, 1,1之一，满足性质①.
其连续三项满足0 ( 1) 1= 0，满足性质②.
又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时m=3.
（3）由（1）（2），m 的最大值为 3.
（Ⅲ）（1）首先证明：当 a1 0,a2 1时，数列满足 a2t 1 0,a2t 0, 且 | at | | at+2 |, t =1,2,3, .（*）
1
因为对于任意数列的连续三项 an ,an+1,an+2，总有 (an an+1 an+2 )(an an+1 an+2 ) = 0 .
2
1
即 an+2 = an an+1或 an+2 = an an+1 . 不论是哪种情形，均有
2
1
当 an 0 an+1时， an+2 an an+1 an 0，即 | an+2 | | an | .
2
1
当 an 0 an+1时， an+2 an an+1 an 0 ，亦有 | an+2 | | an | .
2
又 a1 0 1 a2 ，故性质（*）得证.
1
（2）考虑 a1,a2 ,a3 三项，有 a3 = a1 a2或 a3 = a1 a2 .
2
若 a3 = a1 a2 , 则 a1 = a3 + a2 1，此时令 i = j =1，有 a
2 a ，由性质（*）知不存在 k 使得1 1
a 0，且 a = a 2k a . k 1 1
高三数学参考答案 第6页（共7页）
1 1 3
故只有 a3 = a a ，此时 . 1 2 a1 = a3 + a2
2 2 2
1 1 1 5 5
因为 a5 a3 a4 a3 (a2 a3) a = , 3
2 2 2 4 2
9
所以令 i = j =1时， a 21 a . 5
4
由性质（*）知，只有 a 2 = a 或 a 21 1 1 = a . 3
当 a 2 = a 时， a1 = 2,a2 = 2(a1 a3 ) = 2 2 4，此时令 i = 2, j =1， a2a1 = 4 4 2 ， 1 3
1
但 a a a ，即 ，由性质（*）知不存在 使得 . 4 2 3 = 2 2 5 | a4 | | a2a1 | k ak = a2a1
2
所以 a 2 = a ，即 a =1，从而 a = 2 . 1 1 1 2
n 1
2
2 ,n是奇数，
（3）经验证，数列{an}： an = 满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. n
2
2 ,n是偶数
假设 as 是第一个不满足上述通项公式的项， s 4 .
当 s = 2t +1,t 2 时，只能为 a t 1 t t 1 . 2t+1 = a2t 1 a2t = 2 ( 2 ) = 3 2
令 ti = 2t 1, j = 3，则 a . ia j = 2
但 a 2t a ，由性质（*），不存在 k 使得 a a = a . 2t 1 2t+1 i j k
1 1
当 s = 2t,t 2时，只能为 a2t = a2t 2 a2t 1 = 2
t 1 2t 1 = 3 2t 2 2t .
2 2
1 1 1 5 1 19
则 a2t+2 a
t t
2t a2t+1 a2t (a2t 1 a2t ) = a2t a2t 1 = 2 2 .
2 2 2 4 2 16
令 ti = 2t 2, j = 3，则 aia j = 2 ，但 a 2
t a ，由性质（*），不存在 k 使得 a a = a . 2t 2t+2 i j k
故不存在不满足上述通项公式的项.
n 1
2
2 ,n是奇数,
综上，数列{an}的通项公式为 an = n
22 ,n是偶数.
高三数学参考答案 第7页（共7页）海淀区2022-2023第二学期期中练习
高三数学
2023.4
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合则
（A）{2} （B）{0，1} （C）{1，2} （D）{0，1，2}
（2）若，其中是虚数单位，则
（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3
（3）在等差数列中，,则
（A）9 （B）11 （C）13 （D）15
（4）已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（5）若,则
（A）-1 （B）1 （C）15 （D）16
（6）已知直线与圆交于A，B两点，且△为等边三角形，则m的值为
（A） （B） （C） （D）
（7）在△中，，，的平分线交BC于点D.若
则
（A） （B） （C）2 （D）3
（8）已知二次函数，对任意的，有,则的图象可能是
（9）已知等比数列的公比为q,且，记，则“且”是“为递增数列”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）即不充分也不必要条件
（10）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数。已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）不等式 的解集为_________.
（12）已知双曲线的渐近线方程为则C的离心率为_________.
（13）已知函数.若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________.
（14）设函数
①当时，_________；
②若恰有2个零点，则的取值范围是_________.
（15）在△中，是边的中点，是边上的动点（不与重合），过点作的平行线交于点，将△沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：
①∥平面；
②△不可能为等腰三角形；
③存在点使得；
④当四棱锥的体积最大时，.其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，直三棱柱中，是的中点.
（I）证明：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
（17）（本小题14分）
在中，.
（I）求；
（II）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调査，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户,分别记为4组和8组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
（I）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
（II）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的数学期望E（X）；
（III）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,比较方差与的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题14分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为四边形的周长为.
（I）求椭圆E的方程；
（II）设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为M’，直线M’N与y轴交于点Q，若△的面积为2，求k的值.
（20）（本小题15分）
已知函数，
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）求的单调区间；
（III）若存在，使得，求的取值范围.
（21）（本小题15分）
已知数列.给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；
②对于中任意连续三项均有
（I）分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由：
（i）有穷数列；
（ii）无穷数列.
（II）若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；
（III）若数列满足性质①和性质②，且求的通项公式.
