2023届高三下学期4月冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题（含解析）

2023届高三冲刺卷（一）全国卷
理科数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知变量满足则的最大值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
5.一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x，则该型电动汽车月平均用电量在的户主人数为（ ）
A.98 B.103 C.108 D.112
7.某班学生的学习成绩（满分100分）服从正态分布：，且，（ ）
A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26
8.已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.9
10.在等比数列中，公比，且，则（ ）
A.3 B.12 C.18 D.24
11.定义在上的函数满足，①对于互不相等的任意都有.当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数与定义域都为，满足，且有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.“，使得”为假命题，则实数的取值范围为__________.
14.展开式中的系数为__________.
15.如图所示，是边长为8的等边三角形，点为边上的一个动点，长度为6的线段的中点为点，则的取值范围是__________.
16.直线与椭圆交于两点，长轴的右顶点为点，则的面积为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分.
17.（12分）已知的角对边分别为，满足，.
（1）求；
（2）求外接圆的半径.
18.（12分）某农科所统计了单位面积某种化肥实施量和玉米相应产量的相关数据，制作了数据对照表：
16 20 24 29 36
340 350 362 404 454
若在合理施肥范围内与具有线性相关关系，
（1）求关于的线性回归方程；
（2）请利用线性回归方程预测时的玉米产量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
19.（12分）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
（1）若直线的斜率为为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.
21.（12分）已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线的参数方程为（为参数）.
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）过点向直线作垂线，垂足为，说明点的轨迹为何种曲线.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若在上恒成立，求实数的最小值.
2023届高三冲刺卷（一）全国卷
理科数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】.故选C.
2.B 【解析】由可得，故复数所对应的点位于第二象限.故选.
3.B 【解析】，而
.故选B.
4.A 【解析】由约束条件画出可行域如图所示，
则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为4.故选.
5.D 【解析】4个元素的集合所有子集共个，设此集合为，事件：所取子集中含有3个元素”，则事件的基本事件个数为4个，即，所以.故选D.
6.C 【解析】由，得直方图中月平均用电量在的用户有户.故选C.
7.C 【解析】
.故选C.
8.B 【解析】函数的图象过点与，则解得，故函数的解析式为：.而，当且仅当时取等号，函数在区间上的最大值为.故选.
9.A 【解析】可得.又，于是可得，
，整理可得，
.故选.
10.B 【解析】，.故选B.
11.B 【解析】不妨设，由于当时，，
，即，因此函数在区间上单调递增.又对任意恒成立，
是周期为4的周期函数.
的图象关于直线对称，
向左平移两个单位长度关于直线对称，
关于直线（轴）对称，是偶函数，，
.故选B.
12.D 【解析】由可得，
而在上单调递减.又，而，
，故不等式的解集为.故选D.
13. 【解析】“，使得”为假命题，
“成立”为真命题，
于是，即.故答案为.
14.24 【解析】展开式中的项为展开式中的系数为24.故答案为24.
15.[39，55] 【解析】.当点位于点或点时，取最大值8.当点为于的中点时，取最小值，
即的取值范围为的取值范围为.
16. 【解析】直线与椭圆联立得.设点，则.所以.由椭圆知点，故点到直线的距离：，所以的面积为.故答案为.
17.解：（1）由可得，
，
，
，
，而.
（2）
，整理得，
.
由正弦定理可得..
18.解：（1）由表中数据计算得，
所以回归方程为
（2）将代入回归方程得，
故预测时，玉米产量为.
19.（1）证明：三棱柱为正三棱柱，
为正三角形，而为的中点，
.
又平面平面平面，且平面，
（2）解：设的中点分别为，连接.
三棱柱为正三棱柱，两两相互垂直，
于是以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，于是..
又平面平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，经观察为锐角，则
，
即二面角的大小为.
（3）解：，由（1）知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：设.
（1）由题意，直线.
联立消去得：，
抛物线的方程：.
（2）直线过点且与抛物线交于两点，
直线的斜率不为0，于是可设直线的方程为直线的斜率存在.
联立消去，得，
于是恒成立，
.
设，
，即，
整理得，.
则，
，
点的坐标为.
21.解：（1）当时，，
且，
函数在点处的切线方程，
即.
（2）在其定义域上有唯一零点，
方程，
即在有唯一实数解.
设，则.
令，即
的两个根分别为
（舍去），.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，取最小值，
要使在有唯一零点，则须
即
设函数当时，是增函数，至多有一解.
方程的解为，即，解得，
实数的值为.
22.解：（1）由直线的参数方程为
直线的普通方程为，
即.
由得，
因为，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）若，由可知直线的方程为，于是过点向直线作垂线，垂足为.
若，由直线的参数方程可知直线的斜率为，
过点且与直线垂直的直线方程为.
联立方程组整理得，
点的轨迹方程为，.
即，显然，点也在上，
所以动点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆.
23.解：（1）
解不等式，
而
当时，，解得；
当时，，解得，
不等式的解集为.
（2）由可得.
，当且仅当，即或时，等号成立.
在上恒成立，
故要使在上恒成立，只须，
即实数的最小值为.