2023届高三下学期冲刺卷（二）全国卷文科数学试题（4月）（含解析）

2023届高三冲刺卷（二）全国卷
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方右图中，AB表示塔身，塔身AB的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线AC的夹角为倾斜角，塔顶到铅垂线的距离BC为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为，，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为（ ）
A．1.2米 B．0.6米 C．1米 D．0.8米
4．等差数列中，首项和公差都是正数，且，，成等差数列，则数列，，的公差为（ ）
A．lg B． C． D．
5．如图所示的频率分布直方图，则平均数、众数和中位数的大小关系是（由小到大排列）（ ）
A．众数<中位数<平均数 B．平均数<众数<中位数
C．中位数<平均数<众数 D．众数<平均数<中位数
6．已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有， B．存在平面，有，
C．存在直线，有， D．存在直线，有，
7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x－y的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－3
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以，为直径的圆依次交双曲线于A，B，C，D四点，直线交双曲线于点C，E，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
9．已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且f（x）的一个零点是，则的最小值为（ ）
A．2 B．12 C．4 D．8
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（ ）
A．12 B．13 C．15 D．16
11．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，与共线，则______．
14．已知函数，则函数的最小值为______．
15．小明准备在阳台种植玫瑰、百合、牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并且每种花至少种1盆，则玫瑰花恰好种2盆的概率是______．
16．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）已知数列中，是其前项的和，，．
（1）求，的值，并证明是等比数列；
（2）证明：．
18．（12分）下面两个图分别是2016年－2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单位：万元）的散点图．
2.82 32.56 0.46 5.27
附：线性回归模型中，，．
（1）由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量关于人均可支配收入的关系，请建立关于的回归方程；
（2）如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度．
（附：，，，，，，，．）
19．（12分）四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，．
（1）若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明；
（2）求，求四棱锥E－ABCD的体积．
20．（12分）已知函数，，其中．
（1）分别求函数和的极值；
（2）讨论函数的零点个数．
21．（12分）已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足．
（1）证明：点在椭圆上；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点P、Q，O是坐标原点，求面积的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy中，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）设直线交曲线于两点A，B，求的大小．
23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为m，且a+b+c=m，求的最小值．
2023届高三冲刺卷（二）全国卷
文科数学参考答案及评分意见
1．A【解析】，，．故选A．
2．B【解析】由，得，，，．故选B．
3．D【解析】塔的偏移距离，设两座塔的塔高为，则根据倾斜角的正弦值分别为，，得两座塔的偏移距离差的绝对值为，即，，塔顶到地面的距离，根据倾斜角的正弦值分别为，，得倾斜角的余弦值分别为，，座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为．故选D．
4．C【解析】由，，差数列，得，，，又，，所以，，，，，的公差为．故选C．
5．D【解析】众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数为2.5，设中位数为x，则0.2+0.24+（x－3）×0.2=0.5，得x=3.3，平均数为1.5×0.2+2.5×0.24+3.5×0.2+4.5×0.16+5.5×0.12+7×0.04=3.26．因此有众数<平均数<中位数．故选D．
6．A【解析】若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，故A正确；若，，则，即垂直于同一平面的两条直线平行；若，则存在平面，有，，故B错误；若，，则直线；若，则不存在直线，有，，故C错误；若，，则，即平行于同一直线的两直线平行，若，则存在直线，有，，故D错误．故选A．
7．A【解析】作出约束条件的可行域，即所表示的区域，作出直线，
平移直线l，当直线经过点时，取最小值，解方程组得点，于是．故选A．
8．C【解析】如图所示，设，则，连接，，则由双曲线的定义，得，，由于点在以为直径的圆上，所以，在直角三角形中，，即，得，在直角三角形中，，即，，离心率．故选C．
9．C 【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，根据，则，，因为是在区间上的单调减函数．
所以
，，
因为，所以或，
当时，，当时，；
由于，且f（x）的一个零点是，
所以，，，，，
，，．
根据或，可得，或，所以的最小值为4．故选C．
10．B【解析】抛物线的焦点为，设，．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，，，，，，与矛盾．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入，得，则，，
由抛物线的定义知，，，
于是，
所以，．故选B．
11．D【解析】根据正方体，得，，所以平面，
四边形是矩形，其中，，
的三边为，，，，
设的外接圆半径为，则，于是，
设矩形的外接圆半径为，则，
设球心为，过作平面，垂足为，过作平面，
垂足为，则是矩形的外心，是三角形的外心，取中点，
则，于是平面，所以四边形是矩形．设球半径为，
解法一：，则，于是球的表面积为．故选D．
解法二：，，，于是球的表面积为．故选D．
12．C【解析】由，，，得，，，令，则，当时．，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，于是．即，又a，b，．所以．故选C．
13．2【解析】由，，与共线，得，，．
14．【解析】函数的定义域为，当时，，，在上是减函数，当时，，，在上是增函数，
因此当时，有最小值．
15．【解析】这6盆花可以分别是：玫瑰3百合1牡丹1兰花1，玫瑰1百合3牡丹1兰花1，玫瑰1百合1牡丹3兰花1，玫瑰1百合1牡丹1兰花3，玫瑰2百合2牡丹1兰花1，玫瑰2百合1牡丹2兰花1，玫瑰2百合1牡丹1兰花2，玫瑰1百合2牡丹2兰花1，玫瑰1百合2牡丹1兰花2，玫瑰1百合1牡丹2兰花2，共有10种，其中玫瑰恰好有2盆的有3种，因此玫瑰花恰好种2盆的概率是．
16．【解析】，
当，所以在上是增函数，
当时，，与矛盾；
当时，若，即时，，所以在上是减函数，
当时，，符合题意；
若，令，则，，
所以在是增函数，当时，，与矛盾；故实数的取值范围是．
17．（1）解：由，得，所以，，
由，得，所以，．
证明如下：
由，得，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，，
即数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（2）证明：由（1）知，，，，
，
因为，所以，
于是，
其中，
于是，
所以．
即．
18．解：（1），
，y关于x的回归方程为．
（2）当时，，则
根据2020年人均年可配收入为3.2189万元，以及，
和．
可得2026年每百户汽车拥有量可以达到50辆，
从2020年起，设每百户汽车拥有量平均每年的增长速度为，
则，，，由于，所以，
即每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为．
19．解：（1）当点是的中点时，面面．证明如下：
由点是的中点，得，又，，
所以，，四边形是平行四边形．
根据，得四边形是矩形，故．
因为面，面，所以，
因为，，面，
于是面，由于面，因此面面．
（2）因为面面，面面，
所以过点作于点，则面，EO的长就是四棱锥E－ABCD的高．
因为面EBC．所以，在Rt中，，，
由勾股定理，得，所以，
于是，，根据，得．
根据，以及，，，
得四边形ABCD的面积为，
因此四棱锥的体积．
20．解：（1），因为，由，得，
由，得，所以在上是增函数，在，上是减函数，有极大值，无极小值．
，因为，由，得，
由，得，所以在上是减函数，
在上是增函数，有极小值，无极大值．
（2）函数的定义域为，，
．
当时，，无零点；
当时，，令，得，
令，得，所以在上是增函数，
在上是减函数，有最大值，
若，即时，无零点；
若，即时，只有一个零点；
若，即时，，因为，所以，由（1）知，
所以，根据在上是增函数，，且，
所以在（0，1）上有唯一零点．
由（1）知以及，于是有和，
所以，又因为，，
在上是减函数，所以在上有唯一零点．
当时，由（1）知，，于是，
而，所以，无零点．
因此或时，无零点，时，只有一个零点，时，有两个零点．
21．（1）证明：椭圆的上顶点，
右焦点，，，，
根据，得所以，，
，所以椭圆的方程为，
因为，所以点在椭圆上．
（2）解：设，，把代入，得，
由，
得，，，，
点到直线的距离，所以的面积为，
令，则，
当，即，时，等号成立，此时满足，因此的面积的最大值为．
22．解：（1）把，代入，得直线的极坐标方程为；把，代入，得，
即曲线的极坐标方程为．
（2）联立和，得，，，，，所以或，
即A，B两点对应的极角的正切值分别是和3，
于是，所以．
23．解：（1）当时，不等式可化为，，所以；
当，不等式可化为，，不等式不成立；
当时，不等式可化为，，所以；
因此不等式f（x）≥3的解集为．
（2），当时，等号成立，
所以的最小值为1，于是，即，
令，，则，，，
，所以，
因为，，，
所以，两边同时加上，
得，
即，，所以当时，
有最小值，即，，时，有最小值．