江苏省无锡市洛社高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题

洛社高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试
数学试题
时间：120分钟 总分：160分
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 在△ABC中,已知则 ▲ .
2. 已知等差数列的前9项和，则 ▲ .
3. 不等式组表示的平面区域的面积为 ▲ .
4. 在△ABC中，已知，则△ABC的形状为 ▲ .
5. 数列的前项和,则 ▲ .
6. △ABC中，若，和是方程的两个根，那么 ▲ ．
7. 若不等式恒成立，则的取值范围是 ▲ .
8. 各项均为正数的等比数列，若,则 ▲ ．
9. 函数的最大值为 ▲ .
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状
研究数，如他们研究过右图1中的1，3，6，
10，…，由于这些数能表示成三角形，将其称
为三角形数；类似地，称右图2中的1，4，9，
16…这样的数为正方形数，则除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是 ▲.
11.△ABC中，若则 ▲ .
12. 若△ABC中，，则△ABC面积S的取值范围是 ▲ .
13. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的通项为，则数列的前n项和 ▲ .
14. 对于满足的实数，使恒成立的x取值范围是 ▲ .
二、解答题（本题6小题，共90分，每题写出必要的文字说明和解答过程）
15. 已知锐角△ABC中，分别为角A、B、C所对的边，且.
(1) 求角C的大小； （2）若,且，求的值.
16. 等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式； （2）令，求.
17. △ABC中，分别为角A、B、C所对的边，已知，
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积.
18. 某种汽车购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、汽油费费用共1.5万元，汽车的维修费用为：第一年0.4万元，第二年0.6万元，第三年0.8万元，…依等差数列逐年递增.
（1）设该车使用n年的总费用（包括购车费用）为试写出的表达式；
（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.
19. 已知二次函数，不等式的解集为.
（1）求的解析式；
（2）若函数在上单调，求实数的取值范围；
（3）若对于任意的x∈[－2,2]，都成立，求实数n的最大值．
20. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有。
（1）求数列的通项公式；　　
（2）若数列满足，且cn=anbn，求数列的前 项和；
（3）在（２）的条件下，是否存在整数，使得对任意的正整数，都有。若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．

（2）依题，得，，…………………（8分）
即，，…………………………………（10分）
，…………………………………………………………（12分）
…………………………………………………………………………（14分）
17. 解：(1)由正弦定理，得，……………………（2分）
整理，得
……………………………………………………（4分）
又
…………………………………………………………………（6分）
即.……………………………………………………………………（7分）
所以，这种汽车使用13年报废最合算. ………………………………………………（15分）
19. 解：(1)依题得，为方程的两个实根，……………………………（2分）
………………………………………………………（4分）

………………………………………………………………………（5分）
（2）在上单调，
又二次函数开口向上，对称轴，……………………………………（7分）
…………………………（10分）
（3）依题得，……（12分）
只要，…………………………………………（13分）
设
当时，………………………………………………………（15分）
…………………………………………………………………………（16分）
20. 解：(1)当时，………………………………（1分）
当时，
整理，得………（2分）
………………………………………………………（3分）
（2）由
………………………………………………………………………（4分）
①
②
①-②，得
……………………………………………………（6分）
……………………………………………………………（8分）
（3）由（2）知，对任意，都有.………………………………………（10分）
因为，
所以.………………………………………………（14分）
故存在整数，使得对于任意，都有.…………（16分）