数学答案
1-5CBDDC 6-8ACC 9AC 10ABD 11ACD 12AD13．14．15．16．
17．(1)(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
18．（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧面，而平面，所以
又，，平面，因此平面；
（2）[方法一]【三垂线定理】
由（1）知，，又E为的中点，所以，为等腰直角三角形，所以．
如图2，联结，与相交于点O，因为平面，所以．
又，所以平面．
作，垂足为H，联结，由三垂线定理可知，则为二面角平面角的补角．
设，则，由，得．
在中，，所以，
即二面角的正弦值为．
[方法二]【利用平面的法向量】
设底面边长为1，高为，所以．
因为平面，所以，即，
所以，解得．
因为平面，所以，又，所以平面，
故为平面的一个法向量．
因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量，
在中，因为，故与成角，
所以二面角，的正弦值为．
[方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】
设底面边长为1，高为，所以．
因为平面，所以，即，
所以，解得．
因为，所以是直角三角形，．
因为平面，所以到平面的距离相等设为．
同理，A，E到平面的距离相等，都为1，所以，
即，解得．
设点B到直线的距离为，在中，由面积相等解得．
设为二面角的平面角，，
所以二面角的正弦值为．
[方法四]【等价转化后利用射影面积计算】
由（1）的结论知，又，易证，所以，所以，
即二面角的正弦值与二面角的正弦值相等．
设的中点分别为F，G，H，显然为正方体，所求问题转化为如图3所示，
在正方体中求二面角的正弦值．
设相交于点O，易证平面，
所以是在平面上的射影．
令正方体的棱长，
则，，，．
设二面角为，由，则，
所以．
即二面角的正弦值为．
[方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】
如图4，分别取中点F，G，H，联结．
过G作，垂足为P，联结．
易得E，F，G，H共面且平行于面．
由（1）可得面．因为面，所以．
又因为E为中点，所以，且均为等腰三角形．
设，则，四棱柱为正方体．
在及中有．
所以与均为直角三角形且全等．
又因为，所以为二面角（即）的一个平面角．
在中，．
所以，
所以．
故二面角的正弦值为．
[方法六]【最优解：空间向量法】
以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为，
所以，所以，，
设是平面的法向量，
所以，
设是平面的法向量，
所以，
二面角的余弦值的绝对值为，
所以二面角的正弦值为.
【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理；
方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用；
方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值；
方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法；
方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想；
方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法.
19．(1)见解析；（2）.
【详解】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.
试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
20．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
21．(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
22．(1)(2)证明见的解析
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握数 学 试 卷
一、单选题
1．设集合 A x | x Z且 10 x 1 ，B x | x Z且 x 5 ，则 A∪B中的元素个数是
A．11 B．10 C．16 D．15
n
2．在 2 x
x
的二项展开式中，若常数项为 60，则 n等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这
两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
4．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 9 ，则 f 2 （ ）
9 3 7A 5． 4 B． 2 C． D．4 2
5 π．把函数 y 4cos x图象上所有点的横坐标都伸长为原来的 2倍2 ,纵坐标不变,再把图象向右
平移 2个单位长度,此时图象对应的函数为 f x ,则 f 1 f 2 f 3 f 2023 （ ）
A． 4 B． 2 2 C．0 D．2 2
ln x, 0 x 1,
6．设直线 l1，l2分别是函数 f(x)= {ln x, x 1, 图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交
于点 P，且 l1，l2分别与 y轴相交于点 A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
试卷第 1页，共 4页
7．设函数 y log (ax2a x a) 的定义域是 R 时，a 的取值范围为集合 M；它的值域是 R 时，
a 的取值范围为集合 N，则下列的表达式中正确的是（ ）
A．M N B．M∪N=R C．M∩N= D．M=N
sin x
8．函数 f(x)= (0 x 2 5 4cos x )的值域是
A [- 1 , 1 ] B [- 1． ． , 1 ] C．[- 1 , 14 4 3 3 2 2 ] D．[-
2 , 2
3 3 ]
二、多选题
9．已知函数 f (x) x3 x 1，则（ ）
A． f (x) 有两个极值点 B． f (x) 有三个零点
C．点(0,1)是曲线 y f (x)的对称中心 D．直线 y 2x是曲线 y f (x)的切线
10．已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A．a2
1
b2 B． 2a b 1 2 2
C． log2 a log2 b 2 D． a b 2
11．已知函数 f x 与 g x 的定义域均为 R ， f x , g x 分别为 f x , g x 的导函数，
f x g x 5， f 2 x g 2 x 5，若 g x 为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A． f 2 5 B． g x 4 g x .
C． g 8 x g x D． f x 8 f x
12．已知函数 f x xex , g x xlnx，若直线 y b与曲线 y f x 和 y g x 分别相交于点
A x1, f x1 , B x2 , f x2 ,C x3, g x3 ,D x4 , g x4 ，且 x1 x2,x3 x4，则下列结论正确的是
（ ）
A． x1x3 x2x4 B． x1x2 x3x4
C． ln x1x2 x3 x4 D． x1 x2 ln x3x4
试卷第 2页，共 4页
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
13．若函数 f x 1 的定义域为 2,3 ，则函数 g x f x 1 的定义域为 ．x 1 ______
14．设a 2 0且a 1，函数 f (x) a lg(x 2x 3) 有最大值，则不等式 loga (x2 5x 7) 0的解集为
_______．
15．已知 f x x2 2x 1， g x loga x（a 0且a 1），若对任意的 x1 1,2 ，都存在
x2 2,4 ，使得 f x1 g x2 成立，则实数 a的取值范围是_____________．
16．定义：曲线 C上的点到直线 l的距离的最小值称为曲线 C到直线 l的距离．已知曲线 C1：
y＝x 2＋a到直线 l：y＝x的距离等于 C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线 l：y＝x的距离，则实数 a
＝______________．
四、解答题
17．在 ABC中，sin2C 3sinC．
(1)求 C；
(2)若b 6，且 ABC的面积为6 3 ，求 ABC的周长．
18．如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1的正弦值.
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19．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红
1 1 1
灯的概率分别为 2 ， ， ．3 4
（1）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和均值．
（ 2 ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1个红灯的概率．
20．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法
从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的 7人中有 4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3人做进一
步的身体检查.
（i）用 X表示抽取的 3人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望；
（ii）设 A为事件“抽取的 3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A
发生的概率.
21．已知函数 f (x) ex cos x x．
（Ⅰ）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
Ⅱ π（ ）求函数 f (x)在区间[0, ]2 上的最大值和最小值．
x
22．已知函数 f x e ln x x a．
x
(1)若 f x 0，求 a的取值范围；
(2)证明：若 f x 有两个零点 x1, x2 ，则 x1x2 1．
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