2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷10.5 分式方程
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下面是分式方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、不是方程，故A答案错误；
A、方程的分母中没有未知数，故B错误；
C、方程的分母中没有未知数，故C错误；
D、是分式方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2022八上·抚远期末）若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1或 B． C．1 D．1或
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程去分母得：，
解得：，
当分母时方程无解，即，
也就是，
所以时，方程无解，
当时，，方程无解，
故当时，方程无解，
故答案为：A
【分析】将分式方程转化为整式方程，再结合方程无解求解即可。
3．（2022八下·枣庄期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-1得：2x+m=3（x-1），
解得：x=m+3，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
即m+3≠1，
解得：m≠ 2，
又∵方程的解是正数，
∴m+3＞0，
解不等式得：m＞ 3，
综上可知：m＞ 3且m≠ 2，故C符合题意．
故答案为：C.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为正数列出不等式求解即可。
4．（2022八上·宝安期末）若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．-6 B．-9 C．-11 D．-14
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且
∴且，
∴，且，
则所有整数a有：，，，，0，1
∴所有符合条件的整数a的和为
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解，求出，再求出分式方程的解，求出且，即可得到，且，再求出符合要求的整数a，最后求解即可。
5．（2022八上·乐亭期中）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】A，故此选项不符合题意．
B，故此选项不符合题意．
C，故此选项不符合题意．
D，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】方程左右两边同时乘以（x-2）并逐项判断即可。
6．（2021八下·上海期中）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可以变形为整式方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：
变形为：
设 ，则原方程化为y- -1=0，去分母得，y2-y-1=0．
故答案为：C．
【分析】根据换元法，把，再整理即可得出。
7．（2021八上·永州月考）已知关于x的方程的增根是1，则字母a的取值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：3x-（x+a）=0①，
∵关于x的方程的增根是1，
∴把x=1代入①得：3-（1+a）=0，
解得：a=2，
故答案为：A.
【分析】分式方程的增根就是使其最简公分母为0的根，据此求出x=1，再将分式方程化为整式方程，又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将x=1代入整式方程求出a值.
8．（2022八下·靖江月考）某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程 ，则横线上的信息可以是（ ）
A．每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成
B．每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成
C．每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成
D．每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
题中用“_____”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成，
故答案为：A.
【分析】结合题意和题中的方程可知，实际每天改造人行步道x米，则原计划每天改造人行步道(x-18) 米，实际比原计划提前15天，则可选出符合题意的选项.
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022八上·龙口期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
根据题意得：，且，，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组，且，，最后求出且即可。
10．当 时.代数式 和 的值互为相反数
【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得： ，去分母，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解.
故答案为：3.
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，把分式方程化为整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
11．（2021八下·青浦期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于 的整式方程，那么这个整式方程是 ．
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因此方程 可变为 ，
两边都乘以y得，
，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
12．（2022八下·天桥期末）解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 ．
【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘以得，
由增根的定义得，
将代入得，
故答案为：．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=1代入计算即可。
13．（2022八下·嘉定期中）某公司承担了制作500个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了12个，因此提前5天完成任务．那么根据题意，可以列出的方程是： ．
【答案】-=12
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，原计划每天制作个，实际每天制作个，
由实际平均每天多制作了12个，可得
-=12．
故答案为：-=12．
【分析】先求出原计划每天制作个，实际每天制作个，再根据“实际平均每天多制作了12个”，列出方程-=12即可。
14．（2022八上·张店期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：
请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题： ．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）
【答案】某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（本题答案不唯一，只要符合要求即可）
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？
故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（答案不唯一，只要符合要求即可）
【分析】由分式方程里面的数量关系编写题目即可。
15．（2022八下·薛城期末）枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 ．
【答案】80%
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲、乙两厂的质检总数都为x件，
根据题意，得：，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列分式方程的解，
∴甲厂产品的合格率为=0.8=80%，
故答案为：80%．
【分析】设甲、乙两厂的质检总数都为x件，根据题意列出方程求解即可。
16．（2022八下·安岳月考）要使关于x的方程的解是正数，则a的值为 .
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得(x+1)(x 1) x(x+2)=a，
解得x=
因为这个解是正数，所以>0，即a< 1.
又因为分式方程的分母不能为零，即≠1且≠ 2，
所以a≠±3.
所以a的取值范围是a< 1且a≠ 3.
故答案为：a< 1且a≠ 3.
【分析】由题意先将分式方程的分母分解因式，然后找出最简公分母，在方程两边同时乘以最简公分母去分母，解整式方程可将x用含a的代数式表示出来，根据方程的解是正数可得关于a的不等式，解之求得x的范围；再根据分式有意义的条件“分母不为0”可得关于a的不等式，解之并结合已求得的a的范围即可求解.
三、计算题（共2题，共12分）
17．（2023八下·凉州开学考）解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：将原方程转化为 ，
方程两边同时乘以x-3得
1+2（x-3）=x-4
解之：x=1
经检验x=1是原方程的根，
∴方程的根为x=1
（2）解：方程两边同时乘以x（x-1）得
3x-（x+2）=0
解之：x=1，
经检验x=1是原方程的增根，
∴此方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）将方程转化为，方程两边同时乘以x-3，将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验可得方程的根.
（2）方程两边同时乘以x（x-1），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
18．（2022八下·昌图期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边都乘，得，解这个方程，得， 经检验，是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：方程两边都乘，得 ，解这个方程，得，经检验，是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
四、解答题（共8题，共60分）
19．（2022八上·右玉期末）已知关于x的方程
（1）当时，求方程的解；
（2）当m取何值时，此方程无解；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）将代入，再求出分式方程的解即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解可得，求出x的值，最后将x的值代入方程求出m的值即可；
（3）先求出方程的解，再根据题意列出不等式组，最后求出m的取值范围即可。
20．（2022八下·安岳月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和.
【答案】解：解不等式组
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6.
解关于x的分式方程，
得：x=，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且≠4，≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10（舍去），
所以所有满足条件的整数a的值为3，6.
那么符合条件的所有整数a的和为3+6=9.
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】由题意先解关于y的不等式组，结合不等式组有4个整数解可求得a的范围；将分式方程同时乘以最简公分母x（x-4)，可将分式方程化为整式方程，解整式方程可将x用含a的代数式表示出来，然后根据方程有正整数解可得a的值，求和即可.
21．（2021八上·承德期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：该分式方程的解为，
由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
经检验，当时，
是原分式方程的解；
（2）解：设原分式方程中“”代表的数为，
方程两边同时乘得，
由于是原分式方程的增根，
把代入上面的等式解得，
原分式程中“”代表的数是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项、合并同类项，检验即可得出答案；
（2）设原分式方程中“”代表的数为，方程两边同时乘得，由于是原分式方程的增根，把代入上面的等式解得m的值，即可得出答案。
22．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ，则原方程化为 ，
方程两讱同时乘 得 ，解得 ，
经检验 都是方程 的梖.
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原分式方程的根为
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】（1）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
（2）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
【分析】 （1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y= ， 将原方程化为y =0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后再代入y= ，解方程求出x的值即可.
23．（2023八下·汨罗月考）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
【答案】解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元，
由题意得：＝
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元， 根据总价除以单价等于数量分别表示出用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量，进而根据数量相等建立方程，求解并检验即可.
24．（2023八上·韩城期末）某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
【答案】（1）解：设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为元，
根据题意，得 .
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元.
（2）解：由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，
A种设备获利为：万元，
B种设备获利为：万元，
∴该公司共获利为万元，
答：该公司共获利为万元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为1.5x元，则用16万元可以生产A种设备台，用36万元可以生产B种设备台，然后根据共生产设备10台建立方程，求解即可；
（2）由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，则A种的售价为(6×0.8)元，B种的售价为(10×0.9)元，根据(售价-成本)×台数求出A种、B种设备的利润，然后相加即可.
25．（2022八上·凤台期末）某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：
甲 乙 丙
数量(个) m
批发单价(元)
（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．
（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．
当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．
当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
∴，
解得：，
答：a的最小值为30；
（2）解：①由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
把代入解得；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式，再求出a的取值范围即可；
（2）①根据题意列出方程，再求解即可；
②分情况求解：当时，由题意得；当时，由题意得，再分别求解即可。
26．（2023八上·安顺期末）某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为2：3．
（1）直接写出甲乙两组行进的速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离出顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远．
（3）在题（2）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）
【答案】（1）3：2.
（2）解：设山脚到山顶的路程为x千米，
根据题意可列方程：，
解得：x=3.6 ，
经检验：x＝3.6是原方程的解．
答：山脚到山顶的路程为3.6千米．
（3）解：可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”
设B处到山顶的路程为y（ y＞0）千米，
根据题意得：，
解得：y=0.72，
经检验：y＝0.72是原方程的解．
答：B处到山顶的路程是0.72千米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵甲乙两组行进的路程相等，同一段路所用的时间之比为2：3．
∴甲乙两组行进的速度之比为3：2．
【分析】（1）当路程相等时，速度与时间成反比，又有甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为2：3时，所以速度之比为3：2；
（2）设山脚到山顶的路程为x千米，由当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离出顶的路程尚有1.2千米，可列方程，解之即可求解；
（3）根据要求（①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）提出问题，列出方程进行解答即可.
1 / 12023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷10.5 分式方程
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下面是分式方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2022八上·抚远期末）若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1或 B． C．1 D．1或
3．（2022八下·枣庄期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．（2022八上·宝安期末）若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．-6 B．-9 C．-11 D．-14
5．（2022八上·乐亭期中）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八下·上海期中）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可以变形为整式方程（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·永州月考）已知关于x的方程的增根是1，则字母a的取值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
8．（2022八下·靖江月考）某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程 ，则横线上的信息可以是（ ）
A．每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成
B．每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成
C．每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成
D．每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022八上·龙口期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ．
10．当 时.代数式 和 的值互为相反数
11．（2021八下·青浦期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于 的整式方程，那么这个整式方程是 ．
12．（2022八下·天桥期末）解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 ．
13．（2022八下·嘉定期中）某公司承担了制作500个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了12个，因此提前5天完成任务．那么根据题意，可以列出的方程是： ．
14．（2022八上·张店期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：
请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题： ．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）
15．（2022八下·薛城期末）枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 ．
16．（2022八下·安岳月考）要使关于x的方程的解是正数，则a的值为 .
三、计算题（共2题，共12分）
17．（2023八下·凉州开学考）解分式方程：
（1）
（2）
18．（2022八下·昌图期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
四、解答题（共8题，共60分）
19．（2022八上·右玉期末）已知关于x的方程
（1）当时，求方程的解；
（2）当m取何值时，此方程无解；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
20．（2022八下·安岳月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和.
21．（2021八上·承德期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
22．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
23．（2023八下·汨罗月考）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
24．（2023八上·韩城期末）某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
25．（2022八上·凤台期末）某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：
甲 乙 丙
数量(个) m
批发单价(元)
（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．
（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．
当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．
当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．
26．（2023八上·安顺期末）某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为2：3．
（1）直接写出甲乙两组行进的速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离出顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远．
（3）在题（2）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、不是方程，故A答案错误；
A、方程的分母中没有未知数，故B错误；
C、方程的分母中没有未知数，故C错误；
D、是分式方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程去分母得：，
解得：，
当分母时方程无解，即，
也就是，
所以时，方程无解，
当时，，方程无解，
故当时，方程无解，
故答案为：A
【分析】将分式方程转化为整式方程，再结合方程无解求解即可。
3．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-1得：2x+m=3（x-1），
解得：x=m+3，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
即m+3≠1，
解得：m≠ 2，
又∵方程的解是正数，
∴m+3＞0，
解不等式得：m＞ 3，
综上可知：m＞ 3且m≠ 2，故C符合题意．
故答案为：C.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为正数列出不等式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且
∴且，
∴，且，
则所有整数a有：，，，，0，1
∴所有符合条件的整数a的和为
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解，求出，再求出分式方程的解，求出且，即可得到，且，再求出符合要求的整数a，最后求解即可。
5．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】A，故此选项不符合题意．
B，故此选项不符合题意．
C，故此选项不符合题意．
D，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】方程左右两边同时乘以（x-2）并逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：
变形为：
设 ，则原方程化为y- -1=0，去分母得，y2-y-1=0．
故答案为：C．
【分析】根据换元法，把，再整理即可得出。
7．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：3x-（x+a）=0①，
∵关于x的方程的增根是1，
∴把x=1代入①得：3-（1+a）=0，
解得：a=2，
故答案为：A.
【分析】分式方程的增根就是使其最简公分母为0的根，据此求出x=1，再将分式方程化为整式方程，又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将x=1代入整式方程求出a值.
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
题中用“_____”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成，
故答案为：A.
【分析】结合题意和题中的方程可知，实际每天改造人行步道x米，则原计划每天改造人行步道(x-18) 米，实际比原计划提前15天，则可选出符合题意的选项.
9．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
根据题意得：，且，，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组，且，，最后求出且即可。
10．【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得： ，去分母，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解.
故答案为：3.
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，把分式方程化为整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因此方程 可变为 ，
两边都乘以y得，
，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
12．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘以得，
由增根的定义得，
将代入得，
故答案为：．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=1代入计算即可。
13．【答案】-=12
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，原计划每天制作个，实际每天制作个，
由实际平均每天多制作了12个，可得
-=12．
故答案为：-=12．
【分析】先求出原计划每天制作个，实际每天制作个，再根据“实际平均每天多制作了12个”，列出方程-=12即可。
14．【答案】某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（本题答案不唯一，只要符合要求即可）
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？
故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（答案不唯一，只要符合要求即可）
【分析】由分式方程里面的数量关系编写题目即可。
15．【答案】80%
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲、乙两厂的质检总数都为x件，
根据题意，得：，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列分式方程的解，
∴甲厂产品的合格率为=0.8=80%，
故答案为：80%．
【分析】设甲、乙两厂的质检总数都为x件，根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得(x+1)(x 1) x(x+2)=a，
解得x=
因为这个解是正数，所以>0，即a< 1.
又因为分式方程的分母不能为零，即≠1且≠ 2，
所以a≠±3.
所以a的取值范围是a< 1且a≠ 3.
故答案为：a< 1且a≠ 3.
【分析】由题意先将分式方程的分母分解因式，然后找出最简公分母，在方程两边同时乘以最简公分母去分母，解整式方程可将x用含a的代数式表示出来，根据方程的解是正数可得关于a的不等式，解之求得x的范围；再根据分式有意义的条件“分母不为0”可得关于a的不等式，解之并结合已求得的a的范围即可求解.
17．【答案】（1）解：将原方程转化为 ，
方程两边同时乘以x-3得
1+2（x-3）=x-4
解之：x=1
经检验x=1是原方程的根，
∴方程的根为x=1
（2）解：方程两边同时乘以x（x-1）得
3x-（x+2）=0
解之：x=1，
经检验x=1是原方程的增根，
∴此方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）将方程转化为，方程两边同时乘以x-3，将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验可得方程的根.
（2）方程两边同时乘以x（x-1），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
18．【答案】（1）解：方程两边都乘，得，解这个方程，得， 经检验，是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：方程两边都乘，得 ，解这个方程，得，经检验，是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
19．【答案】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）将代入，再求出分式方程的解即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解可得，求出x的值，最后将x的值代入方程求出m的值即可；
（3）先求出方程的解，再根据题意列出不等式组，最后求出m的取值范围即可。
20．【答案】解：解不等式组
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6.
解关于x的分式方程，
得：x=，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且≠4，≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10（舍去），
所以所有满足条件的整数a的值为3，6.
那么符合条件的所有整数a的和为3+6=9.
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】由题意先解关于y的不等式组，结合不等式组有4个整数解可求得a的范围；将分式方程同时乘以最简公分母x（x-4)，可将分式方程化为整式方程，解整式方程可将x用含a的代数式表示出来，然后根据方程有正整数解可得a的值，求和即可.
21．【答案】（1）解：该分式方程的解为，
由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
经检验，当时，
是原分式方程的解；
（2）解：设原分式方程中“”代表的数为，
方程两边同时乘得，
由于是原分式方程的增根，
把代入上面的等式解得，
原分式程中“”代表的数是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项、合并同类项，检验即可得出答案；
（2）设原分式方程中“”代表的数为，方程两边同时乘得，由于是原分式方程的增根，把代入上面的等式解得m的值，即可得出答案。
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ，则原方程化为 ，
方程两讱同时乘 得 ，解得 ，
经检验 都是方程 的梖.
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原分式方程的根为
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】（1）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
（2）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
【分析】 （1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y= ， 将原方程化为y =0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后再代入y= ，解方程求出x的值即可.
23．【答案】解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元，
由题意得：＝
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元， 根据总价除以单价等于数量分别表示出用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量，进而根据数量相等建立方程，求解并检验即可.
24．【答案】（1）解：设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为元，
根据题意，得 .
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元.
（2）解：由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，
A种设备获利为：万元，
B种设备获利为：万元，
∴该公司共获利为万元，
答：该公司共获利为万元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为1.5x元，则用16万元可以生产A种设备台，用36万元可以生产B种设备台，然后根据共生产设备10台建立方程，求解即可；
（2）由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，则A种的售价为(6×0.8)元，B种的售价为(10×0.9)元，根据(售价-成本)×台数求出A种、B种设备的利润，然后相加即可.
25．【答案】（1）解：由题意得：，解得，
∴，
解得：，
答：a的最小值为30；
（2）解：①由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
把代入解得；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式，再求出a的取值范围即可；
（2）①根据题意列出方程，再求解即可；
②分情况求解：当时，由题意得；当时，由题意得，再分别求解即可。
26．【答案】（1）3：2.
（2）解：设山脚到山顶的路程为x千米，
根据题意可列方程：，
解得：x=3.6 ，
经检验：x＝3.6是原方程的解．
答：山脚到山顶的路程为3.6千米．
（3）解：可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”
设B处到山顶的路程为y（ y＞0）千米，
根据题意得：，
解得：y=0.72，
经检验：y＝0.72是原方程的解．
答：B处到山顶的路程是0.72千米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵甲乙两组行进的路程相等，同一段路所用的时间之比为2：3．
∴甲乙两组行进的速度之比为3：2．
【分析】（1）当路程相等时，速度与时间成反比，又有甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为2：3时，所以速度之比为3：2；
（2）设山脚到山顶的路程为x千米，由当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离出顶的路程尚有1.2千米，可列方程，解之即可求解；
（3）根据要求（①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）提出问题，列出方程进行解答即可.
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