第十六章：二次根式练习题（含解析）2021-2022学年河南省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十六章：二次根式
一、单选题
1．（2022春·河南濮阳·八年级校考期末）下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·河南安阳·八年级统考期末）若是任意实数，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）若式子有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·河南驻马店·八年级统考期末）实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·河南濮阳·八年级校联考期末）甲、乙两个同学计算的值，当时得到不同的答案．甲的解答是：；乙的解答是下列判断正确的是( )
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
6．（2022春·河南安阳·八年级统考期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·河南周口·八年级统考期末）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）若最简二次根式和能合并，则x的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
9．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）已知矩形的面积为，一条边长a为，则相邻的另一边长b为（　　）
A． B． C． D．4
二、填空题
10．（2022春·河南安阳·八年级统考期末）化简的结果为___________．
11．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）若2﹣x，则x的取值范围是 _____．
12．（2022春·河南濮阳·八年级统考期末）计算：___________．
13．（2022春·河南漯河·八年级统考期末）计算：______．
14．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______．
15．（2022春·河南驻马店·八年级统考期末）计算：＝_____．
16．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）把化成最简二次根式为_____．
三、解答题
17．（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中a，b满足．
18．（2022春·河南驻马店·八年级统考期末）（1）计算：；
（2）求的值，其中，．
19．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
21．（2022春·河南漯河·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
22．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
23．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）已知，．
(1)求证：a与b互为倒数．
(2)当时，求的值．
24．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）（1）请用简便方法计算：；
（2）先化简，再求值：其中．
25．（2022春·河南濮阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
26．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
27．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）已知，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
28．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）[阅读材料]
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用秦九韶公式可以更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地求出答案，即三角形的三边长分别为a、b、c，则其面积S＝（秦九韶公式），此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝，则其面积S＝（海伦公式），虽然这两个公式形式上有所不同，但它们本质是等价的，计算各有优劣，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．
[解决问题]
（1）当三角形的三边a＝7，b＝8，c＝9时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．
（2）当三角形的三边a＝，b＝2，c＝3时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．
参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是三次根式；故本选项不符合题意；
B、-2＜0，选项无意义；故本选项不符合题意；
C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如（a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．
2．C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．
【详解】解：A、当时，无意义，不符合题意；
B、当时，无意义，不符合题意；
C、∵，∴有意义，符合题意；
D、当时，无意义，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得x﹣4＞0，
解得x>4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
4．D
【分析】先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵c<0∴c-a-b<0，a-b<0，
∴原式=|c-a-b|-|a-b|
=a+b-c-（b-a）
=a+b-c-b+a
=2a-c，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系是解题关键．
5．D
【分析】根据的性质，确定的符号，进而化简得出即可．
【详解】解：，
，
，
故甲错误，乙正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据的性质正确化简二次根式是解题关键．
6．B
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、是三次根式，不是二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．B
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义求解．
【详解】解：由题意，得
=，能与合并．
故选：B．
【点睛】此题考查了最简二次根式与同类二次根式的定义，解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
8．B
【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x-3．
解得x=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于x的方程是解题的关键．
9．B
【分析】根据矩形的面积公式等于长乘宽，可求解出另一边的长，进而对结果进行化简即可．
【详解】解：矩形的面积长宽
解得
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，涉及到矩形的面积公式，熟知二次根式化简是解决本题的关键．
10．##
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式==，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
11．x≤2
【分析】根据已知得出x-2≤0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2，
则x的取值范围是：x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意当a≤0时，．
12．4
【分析】根据化简绝对值，零次幂，二次根式的乘法运算，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
故填：4
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
13．
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．
15．15
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除法法则计算．
【详解】，
＝3×5÷
＝15÷
＝15．
故答案为15．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
16．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
17．-1
【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.
【详解】解：原式
，
∵a，b满足，
∴，，
，，
原式．
【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、化简绝对值、负整数指数幂的法则进行计算，即可得出结果；
（2）把x、y的值代入分式，计算即可得出分式的值．
【详解】解：（1）原式；
（2）当，时，
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、化简绝对值、负整数指数幂的法则、分式的化简求值，解本题的关键在熟练掌握运算法则．二次根式的乘法法则：；负整数指数幂法则：．
19．（1）10；（2）．
【分析】（1）根据零指数幂、二次根式化简、乘方和二次根式的运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
【点睛】本题考查零指数幂、二次根式化简、乘方、平方差公式和二次根式的运算法则．熟练掌握各项法则，不混淆是本题解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可求解；
（2）先化简二次根式，再进行二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的加减运算法则，正确化简是解答的关键．
21．(1)1+3；
(2)．
【分析】（1）利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，再计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
（1）
解：
=1+3；
（2）
解：
=．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（1）；（2），
【分析】（1）直接利用二次根式的加减、乘除运算法则分别化简，进而得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：（1）原式＝
；
（2）原式＝
，
当x＝时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需要利用平方差公式求出即可证明结论；
（2）先证明，然后利用完全平方公式的变形进行求解即可；
【详解】（1）证明：
，
∴a与b互为倒数．
（2）解：∵，，
∴
∴
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，平方差公式和完全平方公式的变形，二次根式的计算，熟知相关知识是解题的关键．
24．（1）1；（2），
【分析】（1）直接利用完全平方公式计算，进而得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．
【详解】解：（1）20222-4044×2021+20212
=（2022-2021）2
=1；
（2）原式=
=
=，
当时，原式==．
【点睛】此题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
25．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当a＝﹣2时，原式=
＝
＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟知分式运算法则．
26．（1）；（2）19
【分析】（1）将括号展开，去绝对值，化简后计算即可；
（2）根据x，y值得到x+y和xy，再将所求式子利用完全平方公式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）∵，，
∴，，
∴=
=
=
=19
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
27．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出；
（2）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．
28．（1）S=12；（2）S＝
【分析】（1）利用三角形的三边均为整数，可选择海伦公式进行计算；
（2）利用三角形的三边中有无理数，可选择秦九韶公式进行计算．
【详解】解：（1），
由海伦公式得：
，
，
；
（2）由秦九韶公式得：
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了数学常识，三角形的面积，二次根式的应用，根据三角形三边数字的特征选择恰当的公式是解题的关键．