第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022学年河南省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，6），则点A，B之间的距离是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
3．（2022春·河南漯河·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
4．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
5．（2022春·河南焦作·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．（2022春·河南三门峡·八年级统考期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A． B．
C． D．
8．（2022春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
A． B． C．+1 D．+1
9．（2022春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）
A．－5和－4之间 B．－4和－3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
10．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
11．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB=30海里，则乙轮船每小时航行（ ）
A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里
12．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
二、填空题
13．（2022春·河南安阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．
14．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
15．（2022春·河南周口·八年级统考期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．
16．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
三、解答题
17．（2022春·河南焦作·八年级统考期末）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．
18．（2022春·河南濮阳·八年级统考期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作．
(1)如图1，
①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________；
②直接写出线段之间的数量关系___________；
(2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由；
(3)在（2）的条件下，若．求出的长．
19．（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．
20．（2022春·河南许昌·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
(2)应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推6m至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
21．（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图在平静的湖面上，有一支芦苇BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，芦苇被吹到一边，花朵齐及水面（即AB=DB），已知芦苇移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？
22．（2022春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
23．（2022春·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）作线段，使其长度为；
（2）通过计算说明是直角三角形．
24．（2022春·河南驻马店·八年级统考期末）如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．
（1）请在图①中画出端点在格点的线段和，使，，并选择其中的一个说明理由
（2）如图②，是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
25．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．
26．（2022春·河南漯河·八年级统考期末）我区某校校园有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
参考答案：
1．C
【分析】根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在，，，，
∴,
设，则，
由折叠可知，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用勾股定理列方程求线段，准确列出方程是解题的关键．
2．B
【分析】利用勾股定理进行计算即可；
【详解】解：，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，利用勾股定理进行计算，解题关键准确表示出已知线段的长度．
3．C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.
【详解】解：由题可得：……
当
故选：C
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
4．D
【分析】根据勾股定理可得，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，三条边的平方刚好就是三个正方形的面积，据此可求得S的值．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴，
S的值即为AB2，
所以S的值为625，
故选：D．
【点睛】本题较为基础，考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可．
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴BD=3，
设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，
在Rt△BDN中，，
x2+32=（9－x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故选C．
7．B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判新能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、大正方形的面积等于，也等于，
∴，
不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
C、大正方形的面积等于，也等于4个直角三角形的面积加小正方形的面积，
∴，即，
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、梯形的面积等于，也等于2个直角三角形和一个等腰直角三角形的面积和，
∴，即
能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
8．C
【分析】根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．
【详解】解：由题意得，BC=AB=1，
由勾股定理得，AC=，
则AM=，
∴点M对应的数是+1，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9．B
【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点在负半轴，即可求得点的横坐标的范围．
【详解】解：∵点P坐标为（－3，2），
∴
根据题意
故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理与无理数的估算是解题的关键．
10．D
【分析】设AB=x米，则有BC=（3.6-x）米，进而根据勾股定理可建立方程求解．
【详解】解：设AB=x米，则有BC=（3.6-x）米，由题意得：米，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴AB=1米；
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．A
【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度．
【详解】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，
∴OB=16×1.5=24海里，AB=30海里，
∴在Rt△AOB中，AO= =18（海里），
∴乙轮船每小时航行18÷1.5=12海里．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形．
12．B
【分析】根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：A.
不能构成直角三角形
故A不符合题意；
B.
能构成直角三角形
故B符合题意；
C.
不能构成直角三角形
故C不符合题意；
D.
不能构成直角三角形
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．10
【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：点P（-6，8）到原点的距离为：，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是要熟练掌握点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边．
14．3或或
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC=×8=4，
由勾股定理得，AB=
当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD=，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，
解得，x=
故答案为：3或或.
【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15．4
【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在中，DH=，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10-=4，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
16．1.5
【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过点D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得，
，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
17．(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)此时使用不安全
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意可知
在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
（2）解：如图所示，，则在中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，
∴此时使用不安全．
．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．
18．(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2
(2)AD2+BD2＝DE2，理由见解析
(3)
【分析】（1）①根据已知条件，证明即可求解；②在，根据勾股定理，结合即可求解；
（2）连接BE，根据（1）的方法证明即可求解；
（3）根据题意勾股定理求得，进而可得，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2，
故答案为：①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2；
（2）（1）的结论仍成立，理由如下，
如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2，
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
∴DE＝＝＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
19．风筝距离地面的高度OA为8米
【分析】设OA=x米，则AB=（x+2）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度OA．
【详解】解：设OA=x米，则AB=（x+2）米，
由图可得，，，
在中，，
即，
解得．
答：风筝距离地面的高度OA为8米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．(1)
(2)绳索AC的长为7.5m．
【分析】（1）根据勾股定理求出OB，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AD=（x-3）m，利用勾股定理可得x2=62+（x-3）2，即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△OAB中，OB=，
∴OC=，
∴点C表示的数是，
故答案为：．
（2）解：设秋千绳索AB的长度为x m，
由题意可得AC=AB=x m，
四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，
∴DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即（x-3）2+62=x2，
解得x=7.5，
即AC的长度为7.5m，
答：绳索AC的长为7.5m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
21．4米
【分析】直接利用勾股定理得出BD2=DC2+BC2，进而求出答案．
【详解】解：设BC为h米，
Rt△BCD中，BC=h，AB=BD=h+1，DC=3，
由勾股定理得：BD2=DC2+BC2，
即（h+1）2=h2+32，
解得：h=4．
因此湖深BC为4米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．
22．画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格特点和勾勾定理作图即可；
（2）根据勾股定理及其逆定理解答即可；
【详解】解：（1）如图，
AD=；
（2）∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．反之亦成立．
24．（1）见解析；（2）是直角三角形，见解析
【分析】（1）结合方格的特征及勾股定理即可得出MN、EF的位置；
（2）先根据勾股定理分别求出、、，再根据勾股定理逆定理即可得出三角形为直角三角形．
【详解】解：（1）如图MN、EF即为所求，
理由：小正方形的边长均为1，
,
（2）是直角三角形，
理由：，，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理及网格、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．点到的距离约为
【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，
，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．
26．3840
【分析】连接AC，在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理证明∠CAD＝90°，再利用S△ACD S△ABC可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【详解】解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∴AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5.
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°.
该区域面积＝S△ACD S△ABC＝30 6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×160＝3840（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形是解题的关键.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．