内江六中2022－2023学年（下）高2025届第一次月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式即可得解.
【详解】
.
故选：D.
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于化简可得，再由可得的值，从而可求出的值
【详解】解：，，
，
.
，
.
.
故选：A.
3. 已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则，即且，解得：（cm），故此扇形的弧长为9cm.
故选：C
4. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简各选项中的函数的解析式，利用正弦型、余弦型、正切型函数的基本性质求出各选项中函数的最小正周期，并判断出各选项中的奇偶性，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，该函数为奇函数，不合乎要求；
对于B选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；
对于C选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；
对于D选项，，函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，合乎要求.
故选：D.
5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先利用辅助角公式得到，进而利用左右平移满足“左加右减”进行求解.
【详解】，
把函数的图象向左平移个单位得到，满足要求，A正确，
其他选项均不合要求.
故选：A
6. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
，则函数为偶函数，排除BC选项，
当时，，则，排除D选项.
故选：A.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值.
【详解】
．
故选：A.
8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图象变换得解析式，再根据偶函数性质确定，最后计算结果．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象.
若是偶函数，则，∴
，
故选：A
二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．
【解答过程】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
10. 已知，则的可能取值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由，得，即，所以或，即或，
当时，或，
故选：AD
11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减 D. 当时，函数取得最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出，D错误.
【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，，
又，所以，所以．
，是偶函数，故A正确；
令，解得:，
所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；
当时，，此时函数单调递减，故C正确；
显然函数的最小值为，当时，，故D错误．
故选：AC．
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数的图象关于点对称
B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，函数在上有零点
D. 当时，函数在上的最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的图象与性质即可判断各选项的真假．
【详解】对于A,当时，，，由正弦函数图象的对称性知A正确；
对于B，当时，，单调递增，上亦单调递增，故在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，又，故且，此时没有零点，故C错误；
对于D，因为且，所以有解，故的最大值一定为1，故D正确．
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式,即得解.
【详解】由题意得.
解得.
故答案为：.
14. 若角的终边过点，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可直接求出的值.
【详解】因为角的终边过点，且，
所以，所以，所以解得.
故答案为：.
15. 若，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的取值范围和同角三角函数的基本关系得到，，然后利用两脚差的正弦即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，又因为，则，
所以
，又因为，所以，
故答案为：.
16. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 已知 .
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且 ，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；
（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案.
【小问1详解】
根据诱导公式可得：
所以.
【小问2详解】
由诱导公式可知,则由可得,
又是第四象限角,
所以, 所以.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，由求出最小正周期，并利用整体法求出对称轴；
（2）由得到，利用正弦函数的性质得到函数值域.
小问1详解】
，故最小正周期，
对称轴满足：，，故对称轴为，．
【小问2详解】
由（1）可知，
，则，，
故．
故函数的值域为．
19. （1）化简．再由，求的值；
（2）已知关于x的方程的两根为和，．求实数b以及的值．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先化简得到，再整体法使用诱导公式求出答案；
（2）根据韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用及之间的关系式结合，求出及的值.
【详解】（1）由诱导公式得，
又，即，
所以．
（2）因x的方程的两根为和，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，且，所以，
20. 长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
（1）根据图像，试求（，，）的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）
【答案】（1），
（2）应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时）
【解析】
分析】（1）结合函数图象，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解；
（2）由（1）得到解析式，令求解.
【小问1详解】
解：根据以上数据知，，
解得，；
由，解得，
所以；
由时，，即，
解得，即，；
所以，；
由，解得；
所以，；
小问2详解】
令，
得，
即，；
解得，；
当时，，
所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，
且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．
21. 已知函数的图像如图．
（1）根据图像，求的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可求得周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的对称性结合整体思想即可得函数的对称中心；
（2）先根据平移变换及周期变换求得函数的解析式，方程在上有解，分离参数可得，求出函数在上值域即可.
【小问1详解】
根据函数的图象，可得，
，所以，，
由，
得，
又，所以，
故，
令，得，，
所以对称中心为，；
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C：的图象，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，
由在上有解，即在上有解，
因为，，所以，
所以m的取值范围为．
22. 已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数，选①，代入求出，选②③求出周期，进而求出，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）求出函数，在上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.
【小问1详解】
选①，依题意，，
，即，则，
即有，而，则，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选②，依题意，，显然，
因函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选③，依题意，，
因函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，，由得：，
，因此，
由得：，，因此，从而，
由得：，假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是.内江六中2022－2023学年（下）高2025届第一次月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知扇形周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知，则的可能取值为（ ）
A. 0 B. C. D.
11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减 D. 当时，函数取得最小值
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数图象关于点对称
B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，函数在上有零点
D. 当时，函数在上的最大值为1
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 函数的定义域为__________．
14. 若角终边过点，且，则___________.
15. 若，，，，则______．
16. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 已知 .
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且 ，求的值.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴；
（2）若，求函数的值域．
19. （1）化简．再由，求的值；
（2）已知关于x的方程的两根为和，．求实数b以及的值．
20. 长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
（1）根据图像，试求（，，）的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）
21. 已知函数的图像如图．
（1）根据图像，求的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围．
22. 已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
