2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十章 分式（进阶版）
一、单选题
1．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023九上·沭阳期末）已知，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中正确的是（ ）
A．分式
和
的最简公分母是
B．
C．
D．分式
中的a，b同时扩大2倍，分式值不变
4．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
5．（2022·竞秀模拟）有甲，乙两块边长为a米（a>8）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（ ）
A．甲试验田的单位面积产量高
B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样
D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
8．（2022·丰南模拟）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022九上·萧山开学考）已知分式（m、n为常数）满足表格中的信息：
的取值 -2 0.4
分式的值 无意义 0 3
则的值是 ．
10．（2023九上·双流期末）已知，且，则的值为 .
11．（2022八下·隆昌月考）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 .
12．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
13．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
14．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
15．（2023九上·龙泉驿期末）用换元法解关于x的分式方程时，如果设将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ，若原方程的解为正数，则a的取值范围为 ．
16．（2022八上·余姚期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、计算题
17．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
18．已知a、b、c均为非零的实数，且满足
=
=
，求
的值．
19．（2022八上·高昌期中）计算 ：
（1）
（2）
（3）
20．（2022八下·溧阳期末）解下列分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
21．下列式子，，x﹣，x3﹣，，﹣，，﹣，其中分式的个数是m，求使分式无意义的p的值．
22．（2022八上·松山期末）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”
小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：
第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时：
∵，
∴，
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则．
请帮小郝完成猜想证明过程．
第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则．
请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．
23．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
24．（2021八上·遵义期末）化简运用：小丽在求解一个有解的分式方程 ＝▓时，将等号右边的值写错，又找不到原题目了，但肯定的是“▓”为三个“有理数的特殊数”﹣1，0，1中的一个，请你帮她确认这个数.并求出原分式方程的解（提示：先化简分式再求解方程可不写出确认“▓”的过程，但要写出解方程的过程）.
五、综合题
25．（2019八上·河间期末）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式： = +( )2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）；
②当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明 是否成立．
26．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
27．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
28．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
29．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
30．（2020八上·昌平月考）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： － ＝0.
解：设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－ ＝0的解．
当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .
经检验，x1＝－1，x2＝ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝ .
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为 ；
（2）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为 ；
（3）模仿上述换元法解方程： － －1＝0.
31．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
32．（2017八下·大丰期中）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案一 将该商品提价20%；方案 二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案二 购买的件数是按方案 一购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
33．（2022八下·靖江月考）阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水.早在古代，人们就已经发现了这种水的存在.盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= ×100%.
（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ；
（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程).
34．（2021八下·江阴期末）八年级甲、乙两个班级全体同学踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元.下面是甲、乙两班同学的一段对话：
（1）甲、乙班各有多少人？
（2）现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买 、 两种不同型号的口罩（两种口罩都有购买），购买信息如下表：
名称 单价（整数元） 数量（整包购买） 金额（元）
▅（包） ▅
▅（包） ▅
总计 5（包） 两个班全部捐款额
求符合条件的整数 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：设，，
A、，故答案为：正确，不合题意；
B、，故答案为：正确，不合题意；
C、，故答案为：正确，不合题意；
D、，故答案为：错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】设x=3a，y=4a，然后代入各个分式中化简即可.
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；最简公分母
【解析】【解答】解：A、分式
和
的最简公分母是
，故A不符合题意；
B、当c≠0时，
，故B不符合题意；
C、
，故C符合题意；
D、分式
中的a，b同时扩大2倍，则
，分式值扩大2倍，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可对A作出判断；利用分式的基本性质：分子分母同时除以或乘以不等于0的整式，分式的值不变，可对B，C，D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
5．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】由题意得，
甲试验田的面积为，单位面积产量为；
乙试验田的面积为，单位面积产量为；
，，
，
，
故甲试验田的单位面积产量高；
故答案为：A．
【分析】根据两块试验田的面积，求出单位面积产量，列式求出，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
8．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：；
A．的左边化简得，所以本选项不符合题意；
B．可变形为，所以本选项不符合题意；
C．可变形为，所以本选项不符合题意；
D．，与上述方程不符，所以本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据：甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1，列出方程即可.
9．【答案】4
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知：当时，且当时，，
解得，，
分式为，
当时，，
解得，
经检验，是分式的解.
故答案为：4.
【分析】根据分式的分母等于0的时候，分式无意义，故可得当x=-2时x+m=0，根据当分式的分子等于0，且分母不等于0的时候，分式的值为0，可得当x=0.4时，5x+n=0，据此求出m、n的值，进而可得对应的分式，然后根据x=q时，分式的值为3就可求出q的值，然后进行检验即可.
10．【答案】-1
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：设，，，且，
∴
.
故答案为：-1.
【分析】设a=2k，b=3k，c=4k，然后代入中化简即可.
11．【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴3xyz＝xz+yz①，
∵，
∴，
∴4xyz＝xy+xz②，
∵，
∴，
∴5xyz＝yz+xy③，
由①+②+③得：
12xyz＝2xy+2yz+2xz，
∴xy+yz+xz＝6xyz，
∴，
故答案为：.
【分析】由已知等式可得3xyz＝xz+yz，4xyz＝xy+xz，5xyz＝yz+xy，三式相加可得xy+yz+xz＝6xyz，据此求解.
12．【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
13．【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
14．【答案】13
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
15．【答案】；且
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：将原方程转化为：，
设
∴，
∴y2-（2a+1）y+2a=0；，
∴（y-1）（y-2a）=0
解之：y1=1，y2=2a，
当y=1时，此方程无解；
当y=2a时，
解之：
∵原方程的解为正数，
∴，
∴2a-1＜0，
解之：且a≠0.
故答案为：且a≠0
【分析】设，可将原方程转化为关于y的方程；利用因式分解法求出方程的解，当y=1时可知此时原方程无解；当y=2a时，代入求出x的值，根据原方程的解为正数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
16．【答案】16
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
分式方程去分母，得，
∴，
∵分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，
∵a为整数，为非负整数，
∴，1，7，10，
∴整数a的和为．
故答案为：16．
【分析】将a作为字母系数解出不等式组中每一个不等式的解集，由“大大小小无解了”可得关于a的不等式，求解得出a的取值范围；将a作为字母系数解分式方程，用含a的式子表示出y，进而根据分式方程的解为非负数可得不等式组且，求解再根据a是整数，即可得出符合题意的a的值，最后再求和即可.
17．【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
18．【答案】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得： = = = = =1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式= =8；当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，则原式= =﹣1．综上可知， 的值为8或﹣1
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接根据同分母分式的减法法则进行计算，进而再约分即可；
（2）根据出一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再约分化简即可；
（3）先计算分式的乘方同时将分式除法转变为分式乘法，再计算分式乘法，最后通分计算异分母分式的减法即可.
20．【答案】（1）解：
6-2x=4+x
-2x-x=4-6
-3x=-2
检验：当 时，4+x ≠0，
所以 是原方程的解；
（2）解：
检验：当x=2时，x-2=0，是增根，
所以原方程无解；
（3）解：
检验：当x=-4时，（x+2）（x-2） ≠0，
所以 是原方程的解；
（4）解：
x=3；
检验：当x=3时，（x+3）（x-3）=0，是增根，
所以原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以2(4+x)可得2(3-x)=4+x，然后求出x的值，再进行检验即可；
（2）给方程两边同时乘以(x-2)可得2x-5=3x-7-3(x-2)，然后求出x的值，再进行检验即可；
（3）给方程两边同时乘以(x+2)(x-2)可得x2+x(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后求出x的值，再进行检验即可；
（4）给方程两边同时乘以(x+3)(x-3)可得3(x-3)+2x=x+3，然后求出x的值，再进行检验即可.
21．【答案】解：，x﹣，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，x3﹣，，﹣，﹣的分母中含有字母，因此是分式．故m=5．则由得：，只需分母p+5=0，即p=﹣5时，分式无意义．综上所述，使分式无意义的p的值是﹣5．
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件
【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
22．【答案】证明：第二步：
即
∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好；
第三步：同理可得，
∵y＞x＞0，m＞0，
∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0，
，
，
∴窗户面积和地板面积同时增加m平方米，住宅的采光条件会更好；
结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】 第二步： 利用作差法比较大小即可；第三步： 利用作差法比较大小即可.
23．【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
24．【答案】解：等式左边＝﹣ ＝﹣ ，
当﹣ ＝﹣1时，去分母得：﹣x+1＝﹣x﹣1，此方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝0时，去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，原分式方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝1时，去分母得：﹣x+1＝x+1，解得：x＝0，经检验是分式方程的解，符合题意，
综上，这个数为1，分式方程的解为x＝0.
【知识点】分式的乘除法；解分式方程
【解析】【分析】等式左边利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后根据﹣ ＝﹣1，0，1，分别构建方程求解，再检验确定出右边的数字即可.
25．【答案】（1）1；1；成立；1；2；成立
（2）解：∵ ，
，
∴等式 成立．
【知识点】分式的基本性质；等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①当a=1，b=1时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a=1，b=2时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，2，成立；
【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
26．【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的定义；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
27．【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
28．【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
29．【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
30．【答案】（1）
（2）
（3）解: 原方程可化为 － ＝0，设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－ ＝0的解；
当y＝1时， ＝1，该方程无解；当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，
经检验，x＝－ 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－ .
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解: （1）将y＝ 代入原方程，则原方程化为 ＝0；（2）将y＝ 代入方程，则原方程可化为y ＝0；
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y＝ ，将原方程化为y ＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
31．【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；
（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.
32．【答案】（1）1
（2）解：设该商品在乙商场的原价为x元，
根据题意得： = ﹣10，
解得：x=1，
经检验：x=1满足方程，符合实际，
答：该商品在乙商场的原价为1元
（3）解：由于原价均为1元，则
甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）=1+a+b+ab．
乙商场两次提价后的价格为：（1+ ）2=1+a+b+（ ）2，
∵（ ）2﹣ab=（ ）2＞0，
∴乙商场两次提价后价格较多
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）1.25÷（1+25%）=1（元）； 故答案为：1；
【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果；（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到结果；（3）根据题意表示出甲乙两商场提价后的价格，比较即可得到结果．
33．【答案】（1）25%
（2）解：设需要蒸发x克水，根据题意，得
，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意，
所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，
则该容器内原盐水浓度为 ，容器内加盐后，盐水浓度为 ，
由题意，知，a>b>0，c>0，
∴ac>bc，
∴ab+ac>ab+bc，
∴a(b+c)>b(a+c)，
∴ ，
∴ ，
即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大..
【知识点】分式方程的实际应用；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：由题意，得
，
故答案为：25%；
【分析】（1）直接应用公式代值计算即可；
（2）设需蒸发x克， 则该容器内原盐水浓度为 ×100％，蒸发后容器内盐水的浓度为，根据蒸发后该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列分式方程，解方程并且检验即可；
（3） 设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐， 先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，结合a>b>0，c>0， 根据不等式的性质即可推出结论.
34．【答案】（1）解：设甲班有 名学生，则乙班有 名学生.
由题意得 ，
解得 .
经检验： 是原方程的解且符合题意.
∴ ，
答：甲班有49名学生，则乙班有52名学生.
（2）解：设 种口罩购买 包，则 种口罩购买 包.
∴ .
整理可得： .
∴ .
又∵ ， 均为正整数，
∴ 的个位数只能是1或6，
∴ .
当 时， .
答：整数 的值为384元.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲班有x名学生，表示出甲班、乙班的人均捐款数，然后根据题意可得关于x的分式方程，求解即可；
（2）设A种口罩购买n包，则mn+(m+18)(5-n)=882+1092，表示出m，然后根据m、n为正整数进行解答.
1 / 12023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十章 分式（进阶版）
一、单选题
1．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
2．（2023九上·沭阳期末）已知，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：设，，
A、，故答案为：正确，不合题意；
B、，故答案为：正确，不合题意；
C、，故答案为：正确，不合题意；
D、，故答案为：错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】设x=3a，y=4a，然后代入各个分式中化简即可.
3．下列选项中正确的是（ ）
A．分式
和
的最简公分母是
B．
C．
D．分式
中的a，b同时扩大2倍，分式值不变
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；最简公分母
【解析】【解答】解：A、分式
和
的最简公分母是
，故A不符合题意；
B、当c≠0时，
，故B不符合题意；
C、
，故C符合题意；
D、分式
中的a，b同时扩大2倍，则
，分式值扩大2倍，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可对A作出判断；利用分式的基本性质：分子分母同时除以或乘以不等于0的整式，分式的值不变，可对B，C，D作出判断.
4．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
5．（2022·竞秀模拟）有甲，乙两块边长为a米（a>8）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（ ）
A．甲试验田的单位面积产量高
B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样
D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】由题意得，
甲试验田的面积为，单位面积产量为；
乙试验田的面积为，单位面积产量为；
，，
，
，
故甲试验田的单位面积产量高；
故答案为：A．
【分析】根据两块试验田的面积，求出单位面积产量，列式求出，即可得出答案。
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
8．（2022·丰南模拟）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：；
A．的左边化简得，所以本选项不符合题意；
B．可变形为，所以本选项不符合题意；
C．可变形为，所以本选项不符合题意；
D．，与上述方程不符，所以本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据：甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1，列出方程即可.
二、填空题
9．（2022九上·萧山开学考）已知分式（m、n为常数）满足表格中的信息：
的取值 -2 0.4
分式的值 无意义 0 3
则的值是 ．
【答案】4
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知：当时，且当时，，
解得，，
分式为，
当时，，
解得，
经检验，是分式的解.
故答案为：4.
【分析】根据分式的分母等于0的时候，分式无意义，故可得当x=-2时x+m=0，根据当分式的分子等于0，且分母不等于0的时候，分式的值为0，可得当x=0.4时，5x+n=0，据此求出m、n的值，进而可得对应的分式，然后根据x=q时，分式的值为3就可求出q的值，然后进行检验即可.
10．（2023九上·双流期末）已知，且，则的值为 .
【答案】-1
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：设，，，且，
∴
.
故答案为：-1.
【分析】设a=2k，b=3k，c=4k，然后代入中化简即可.
11．（2022八下·隆昌月考）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 .
【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴3xyz＝xz+yz①，
∵，
∴，
∴4xyz＝xy+xz②，
∵，
∴，
∴5xyz＝yz+xy③，
由①+②+③得：
12xyz＝2xy+2yz+2xz，
∴xy+yz+xz＝6xyz，
∴，
故答案为：.
【分析】由已知等式可得3xyz＝xz+yz，4xyz＝xy+xz，5xyz＝yz+xy，三式相加可得xy+yz+xz＝6xyz，据此求解.
12．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
13．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
14．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
15．（2023九上·龙泉驿期末）用换元法解关于x的分式方程时，如果设将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ，若原方程的解为正数，则a的取值范围为 ．
【答案】；且
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：将原方程转化为：，
设
∴，
∴y2-（2a+1）y+2a=0；，
∴（y-1）（y-2a）=0
解之：y1=1，y2=2a，
当y=1时，此方程无解；
当y=2a时，
解之：
∵原方程的解为正数，
∴，
∴2a-1＜0，
解之：且a≠0.
故答案为：且a≠0
【分析】设，可将原方程转化为关于y的方程；利用因式分解法求出方程的解，当y=1时可知此时原方程无解；当y=2a时，代入求出x的值，根据原方程的解为正数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
16．（2022八上·余姚期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】16
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
分式方程去分母，得，
∴，
∵分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，
∵a为整数，为非负整数，
∴，1，7，10，
∴整数a的和为．
故答案为：16．
【分析】将a作为字母系数解出不等式组中每一个不等式的解集，由“大大小小无解了”可得关于a的不等式，求解得出a的取值范围；将a作为字母系数解分式方程，用含a的式子表示出y，进而根据分式方程的解为非负数可得不等式组且，求解再根据a是整数，即可得出符合题意的a的值，最后再求和即可.
三、计算题
17．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
18．已知a、b、c均为非零的实数，且满足
=
=
，求
的值．
【答案】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得： = = = = =1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式= =8；当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，则原式= =﹣1．综上可知， 的值为8或﹣1
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。
19．（2022八上·高昌期中）计算 ：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接根据同分母分式的减法法则进行计算，进而再约分即可；
（2）根据出一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再约分化简即可；
（3）先计算分式的乘方同时将分式除法转变为分式乘法，再计算分式乘法，最后通分计算异分母分式的减法即可.
20．（2022八下·溧阳期末）解下列分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
6-2x=4+x
-2x-x=4-6
-3x=-2
检验：当 时，4+x ≠0，
所以 是原方程的解；
（2）解：
检验：当x=2时，x-2=0，是增根，
所以原方程无解；
（3）解：
检验：当x=-4时，（x+2）（x-2） ≠0，
所以 是原方程的解；
（4）解：
x=3；
检验：当x=3时，（x+3）（x-3）=0，是增根，
所以原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以2(4+x)可得2(3-x)=4+x，然后求出x的值，再进行检验即可；
（2）给方程两边同时乘以(x-2)可得2x-5=3x-7-3(x-2)，然后求出x的值，再进行检验即可；
（3）给方程两边同时乘以(x+2)(x-2)可得x2+x(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后求出x的值，再进行检验即可；
（4）给方程两边同时乘以(x+3)(x-3)可得3(x-3)+2x=x+3，然后求出x的值，再进行检验即可.
四、解答题
21．下列式子，，x﹣，x3﹣，，﹣，，﹣，其中分式的个数是m，求使分式无意义的p的值．
【答案】解：，x﹣，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，x3﹣，，﹣，﹣的分母中含有字母，因此是分式．故m=5．则由得：，只需分母p+5=0，即p=﹣5时，分式无意义．综上所述，使分式无意义的p的值是﹣5．
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件
【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
22．（2022八上·松山期末）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”
小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：
第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时：
∵，
∴，
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则．
请帮小郝完成猜想证明过程．
第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则．
请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．
【答案】证明：第二步：
即
∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好；
第三步：同理可得，
∵y＞x＞0，m＞0，
∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0，
，
，
∴窗户面积和地板面积同时增加m平方米，住宅的采光条件会更好；
结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】 第二步： 利用作差法比较大小即可；第三步： 利用作差法比较大小即可.
23．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
24．（2021八上·遵义期末）化简运用：小丽在求解一个有解的分式方程 ＝▓时，将等号右边的值写错，又找不到原题目了，但肯定的是“▓”为三个“有理数的特殊数”﹣1，0，1中的一个，请你帮她确认这个数.并求出原分式方程的解（提示：先化简分式再求解方程可不写出确认“▓”的过程，但要写出解方程的过程）.
【答案】解：等式左边＝﹣ ＝﹣ ，
当﹣ ＝﹣1时，去分母得：﹣x+1＝﹣x﹣1，此方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝0时，去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，原分式方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝1时，去分母得：﹣x+1＝x+1，解得：x＝0，经检验是分式方程的解，符合题意，
综上，这个数为1，分式方程的解为x＝0.
【知识点】分式的乘除法；解分式方程
【解析】【分析】等式左边利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后根据﹣ ＝﹣1，0，1，分别构建方程求解，再检验确定出右边的数字即可.
五、综合题
25．（2019八上·河间期末）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式： = +( )2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）；
②当a= ，b= 时，等式 （填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明 是否成立．
【答案】（1）1；1；成立；1；2；成立
（2）解：∵ ，
，
∴等式 成立．
【知识点】分式的基本性质；等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①当a=1，b=1时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a=1，b=2时，
， ，
∴ 成立，
故答案为：1，2，成立；
【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
26．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的定义；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
27．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
28．
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
29．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
30．（2020八上·昌平月考）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： － ＝0.
解：设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－ ＝0的解．
当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .
经检验，x1＝－1，x2＝ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝ .
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为 ；
（2）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为 ；
（3）模仿上述换元法解方程： － －1＝0.
【答案】（1）
（2）
（3）解: 原方程可化为 － ＝0，设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－ ＝0的解；
当y＝1时， ＝1，该方程无解；当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，
经检验，x＝－ 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－ .
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解: （1）将y＝ 代入原方程，则原方程化为 ＝0；（2）将y＝ 代入方程，则原方程可化为y ＝0；
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y＝ ，将原方程化为y ＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
31．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；
（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.
32．（2017八下·大丰期中）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案一 将该商品提价20%；方案 二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案二 购买的件数是按方案 一购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【答案】（1）1
（2）解：设该商品在乙商场的原价为x元，
根据题意得： = ﹣10，
解得：x=1，
经检验：x=1满足方程，符合实际，
答：该商品在乙商场的原价为1元
（3）解：由于原价均为1元，则
甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）=1+a+b+ab．
乙商场两次提价后的价格为：（1+ ）2=1+a+b+（ ）2，
∵（ ）2﹣ab=（ ）2＞0，
∴乙商场两次提价后价格较多
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）1.25÷（1+25%）=1（元）； 故答案为：1；
【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果；（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到结果；（3）根据题意表示出甲乙两商场提价后的价格，比较即可得到结果．
33．（2022八下·靖江月考）阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水.早在古代，人们就已经发现了这种水的存在.盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= ×100%.
（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ；
（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程).
【答案】（1）25%
（2）解：设需要蒸发x克水，根据题意，得
，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意，
所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；
（3）解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，
则该容器内原盐水浓度为 ，容器内加盐后，盐水浓度为 ，
由题意，知，a>b>0，c>0，
∴ac>bc，
∴ab+ac>ab+bc，
∴a(b+c)>b(a+c)，
∴ ，
∴ ，
即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大..
【知识点】分式方程的实际应用；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：由题意，得
，
故答案为：25%；
【分析】（1）直接应用公式代值计算即可；
（2）设需蒸发x克， 则该容器内原盐水浓度为 ×100％，蒸发后容器内盐水的浓度为，根据蒸发后该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列分式方程，解方程并且检验即可；
（3） 设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐， 先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，结合a>b>0，c>0， 根据不等式的性质即可推出结论.
34．（2021八下·江阴期末）八年级甲、乙两个班级全体同学踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元.下面是甲、乙两班同学的一段对话：
（1）甲、乙班各有多少人？
（2）现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买 、 两种不同型号的口罩（两种口罩都有购买），购买信息如下表：
名称 单价（整数元） 数量（整包购买） 金额（元）
▅（包） ▅
▅（包） ▅
总计 5（包） 两个班全部捐款额
求符合条件的整数 的值.
【答案】（1）解：设甲班有 名学生，则乙班有 名学生.
由题意得 ，
解得 .
经检验： 是原方程的解且符合题意.
∴ ，
答：甲班有49名学生，则乙班有52名学生.
（2）解：设 种口罩购买 包，则 种口罩购买 包.
∴ .
整理可得： .
∴ .
又∵ ， 均为正整数，
∴ 的个位数只能是1或6，
∴ .
当 时， .
答：整数 的值为384元.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲班有x名学生，表示出甲班、乙班的人均捐款数，然后根据题意可得关于x的分式方程，求解即可；
（2）设A种口罩购买n包，则mn+(m+18)(5-n)=882+1092，表示出m，然后根据m、n为正整数进行解答.
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