18.2.1 矩形 同步练习
班级:_________ 姓名:_________ 学号:__________
选择题(本大题共10小题,在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列四个命题中,正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.两组对边分别相等的四边形是矩形 D.四个角都相等的四边形是矩形
2.如图,在中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,若AB=12,则CD的长是( )
A.12 B.6 C.4 D.3
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,交BD于点E,,则的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
4.如图,证明矩形的对角线相等,已知:四边形是矩形.求证:.以下是排乱了的证明过程:①∴、.②∵③∵四边形是矩形④∴⑤∴.证明步骤正确的顺序是( )
A.③①②⑤④ B.②①③⑤④ C.③⑤②①④ D.②⑤①③④
5.如图,把矩形OABC放入平面直角坐标系中,点B的坐标为(10,8),点D是OC上一点,将△BCD沿BD折叠,点C恰好落在OA上的点E处,则点D的坐标是( )
A.(0,4) B.(0,5)
C.(0,3) D.(0,2)
6.如图,P是矩形的边上一个动点,矩形的两条边的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是( )
A. B. C. D.无法确定
7.如图,点是矩形的对角线上一点,过点作EF//BC,分别交于,连接,若,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
8.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发,以1cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是( )
A.当时,四边形ABMP为矩形
B.当时,四边形CDPM为平行四边形
C.当时,
D.当时,或6s
9.如图,在中,,D是的中点,,交的延长线于点E.若,,则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A. B. C.10 D.8
二、填空题(本大题共6小题,在横线上填上合理的答案)
11.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DG=EF.只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形,这个条件可以是______.(写出一个即可)
12.如图,将矩形纸片沿折叠,使点落在对角线上的处.若,则等于_______.
13.如图,在中,的垂直平分线交于点D,交于点,点F是的中点,连接、,若,则的周长为_________.
14.如图,矩形中,,是的中点,线段在边上左右滑动;若,则的最小值为____________.
15.如图,在Rt△BAC和Rt△BDC中,∠BAC=∠BDC=90°,O是BC的中点,连接AO、DO.若AO=3,则DO的长为_____.
16.已知:如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为__________.
三、解答题(本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母),
(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.
18.如图,在中,AC=BC,M、N分别是AB和CD的中点.
(1)求证:四边形AMCN是矩形;
(2)若∠B=60°,BC=8,求的面积.
19.如图,在矩形中,点在上,,且,垂足为.
(1)求证:;
(2)若,求四边形的面积.
20.如图,将一张长方形纸片沿折叠,使两点重合.点落在点处.已知,.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)求线段的长.
21.已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
答案:
1.D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.D 9.A 10.A
11.或 12.57° 13.8 14. 15.3 16.(3,4)或(2,4)或(8,4)
17.(1)解:如图,
(2)解:.证明如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴.
∴.
∵EF为AC的垂直平分线,
∴.
∴.
∴.
18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵M、N分别是AB和CD的中点,
∴AM=BM,AM∥CN,AM=CN,
∴四边形AMCN是平行四边形,
又∵AC=BC,AM=BM,
∴CM⊥AB,
∴∠CMA=90°,
∴四边形AMCN是矩形;
(2)解:∵∠B=60°,BC=8,∠BMC=90°,
∴∠BCM=30°,
∴Rt△BCM中,BM=BC=4,CM=4,
∵AC=BC,CM⊥AB,
∴AB=2BM=8,
∴的面积为AB×CM=8×4=32.
19.(1)证明:∵在矩形中,
∴∠D=90°,AB∥CD,
∴∠BAN=∠AMD,
∵,
∴∠ANB=90°,即:∠D=∠ANB,
又∵,
∴(AAS),
(2)∵,
∴AN=DM=4,
∵,
∴,
∴AB=,
∴矩形的面积=×2=4,
又∵,
∴四边形的面积=4-4-4=4-8.
20.(1)四边形是矩形
因为折叠,则
是等腰三角形
(2)四边形是矩形
,
设,则
因为折叠,则,,
在中
即
解得:
21.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,
∴△AGF≌△DGC,
∴AF=CD,
∴AB=AF.
(2)解:结论:四边形ACDF是矩形.
理由:∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠FAG=60°,
∵AB=AG=AF,
∴△AFG是等边三角形,
∴AG=GF,
∵△AGF≌△DGC,
∴FG=CG,∵AG=GD,
∴AD=CF,
∴四边形ACDF是矩形.