2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十一章 反比例函数（进阶版）

2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十一章 反比例函数（进阶版）
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（　　）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
2．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023·潮阳模拟）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
4．（2022八下·乐山期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴，轴分别相交于、两点，连接、．过点作轴于点，交于点．设点的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
5．（2021八下·苏州期末）设双曲线 （k ＞ 0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”.当双曲线 （k ＞ 0）的眸径为4时，k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
6．（2023九上·福州模拟）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（　　）
A．F与l的积为定值
B．F随l的增大而减小
C．当l为时，撬动石头至少需要的力
D．F关于l的函数图象位于第一、第三象限
7．（2023九上·通川期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（　　）
A．8≤k≤12 B．8≤k＜12 C．8＜k≤12 D．8＜k＜12
8．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的 ）， 的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是（　　）
A．呼气酒精浓度K越大， 的阻值越小
B．当K＝0时， 的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当 时，该驾驶员为醉驾状态
二、填空题（每空3分，共27分）
9．设矩形的一组邻边长分别为x，y，面积是 （S为定值），当 时，矩形的周长为6，则 关于 的函数表达式是　 　，自变量 的取值范围是　 　.
10．（2022九上·长兴开学考）如图，四边形为矩形，点在第三象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为6时，的值为　 　.
11．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　 　．
12．（2021·娄星模拟）如图，点 均在双曲线 上运动， 轴， ，则 的面积是　 　.
13．（2021八下·兴化期末）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间 与录入文字的速度 （字 ）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为　 　字 .
14．（2021九下·成都月考）如图，反比例函数 的图象与直线 交于 ， 两点（点 在点 右侧），过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 ， ，图中阴影部分的面积为12，则 的值为　 　.
15．（2022八下·泉州期末）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝ （x＞0）经过平行四边形ABCD的对称中心Q，双曲线y2＝ （x＞0，0＜k＜4）经过平行四边形ABCD的顶点B，C，且A(3，0)，D(0，4)，则k＝　 　.
16．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为　 　.
三、解答题（共9题，共99分）
17．（2022九上·广平期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；
（1）m=　 　；
（2）已知，过点、D点作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b的取值范围．
18．（2022九上·电白期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
19．（2022九上·惠阳月考）如图，一次函数()的图像与轴交于点，与反比例函数()的图像交于点．
（1）b=　 　；k=　 　；
（2）点是线段上一点(不与重合)，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，若四边形的面积，求点的坐标；
（3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点 的对应点恰好落在该反比例函数图象上(如图)，求此时点的对应点的坐标．
20．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
21．（2022九上·义乌开学考）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是　 　，这个函数值y的取值范围是　 　．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝﹣2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题：
①求出方程|﹣2|＝0的根；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．
22．（2021八下·海州期末）如图
如图1，已知点 ， ，且 、 满足 处于平行四边形 的边 与 轴交于点 ，且 为 中点，双曲线 经过 、 两点.
（1）　 　， 　 　；
（2）求 点的坐标；
（3）点 在双曲线 上，点 在 轴上（如图2），若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的坐标；
（4）以线段 为对角线作正方形 （如图3），点 是边 上一动点， 是 的中点， ，交 于 ，当 在 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.
23．（2022九上·长沙月考）在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，我们把称为A、B两点的“横向距离”，记作=.例如：，则=.
（1）①若点，当A、B都在函数的函数图象上时，=　 　.
②若点，当A、B都在函数的函数图象上时，=　 　.
（2）已知直线交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线于C，D两点，且满足.若恒成立，求m的最大值.
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围.
24．（2022·济南模拟）图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．
（1）求的值及反比例函数表达式．
（2）在x轴上是否存在一点M，使的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）在线段上存在这样的点P，使得是等腰三角形，请直接写出的长．
25．（2020八下·江干期末）某一农家计划利用已有的一堵长为8m的墙，用篱笆圈成一个面积为12m2的矩形ABCD花园，现在可用的篱笆总长为11m.
（1）若设 ， .请写出y关于x的函数表达式；
（2）若要使11m的篱笆全部用完，能否围成面积为15m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
（3）若要使11m的篱笆全部用完，请写出y关于x的第二种函数解析式.请在坐标系中画出两个函数的图象，观察图象，满足条件的围法有几种？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；反比例函数的性质；旋转的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故答案为：A．
【分析】连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，由A、B的坐标可求出OA，OB的长，利用特殊角三角形函数值求出∠AOM＝60°，∠BON＝30°，进而求出旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），再求出直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，联立反比例函数解析式为方程组并解之，即得点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，根据S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′，利用梯形的面积公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，
∵一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，
∴DM=AM=BN=CN，
∴S矩形AMOE=4，
∴S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，
设S△AOF=s，
∴S△OEF=2-s；
∵，
∴S四边形EFBC=4-s，
∴△OBC和△OAD的面积都为6-2s，
∴△ADM的面积为2（2-s），
∴S△ADM=2S△OEF，
∵由对称性易证△AOM≌△BON，
∵DM=AM=BN=CN，
∴EF=AM=NB，
∴EF是△NBO的中位线，
∴点N（2，m，0），
将点B（2m，）代入y=-x+m+得
，
整理得m=（取正值）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，可得到一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，利用对称性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函数的几何意义可得到矩形AMOE的面积，可推出S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，设S△AOF=s，可表示出△OEF的面积，四边形EFBC，△OBC，△ADM的面积，由此可推出S△ADM=2S△OEF；由对称性易证△AOM≌△BON，再证明EF是△NBO的中位线，可表示出点N，B的坐标；然后将点B（2m，）代入y=-x+m+，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：以 为边，作矩形 交双曲线于点 、 ，如图所示.
联立直线 及双曲线解析式成方程组， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， .
，
，点 的坐标为 ， .
根据图形的对称性可知： ，
点 的坐标为 ， .
又 点 在双曲线 上，
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y＝ x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A.∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，故A项正确，不符合题意；
B.由，可知：F随l的增大而减小，故B正确，不符合题意；
C.当时，，故C项正确，不符合题意；
D.
∵动力F和动力臂l均是正数的物理量，
∴的函数图象在第一象限，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将阻力=1200、阻力臂=0.5代入阻力×阻力臂=动力×动力臂中可得动力F关于动力臂l的函数解析式为1200×0.5=FI，据此判断A、B；令l=1.5，求出F的值，据此判断C；根据反比例函数的性质可得图象所在的象限.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当y＝（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当y＝（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是8＜k＜12．
故答案为：D．
【分析】由每个台阶的高和宽分别是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分别求出函数y＝（x＞0）过各点时k的值，即可得出k的取值范围．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，
A、R随K 的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大， R1的阻值越小，故正确，不符合题意；
B、 当K＝0时， R1的阻值为100，故正确，不符合题意；
C、 当K＝10时，则 ，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；
D、当 R1=20 时， K=40 ，则 ，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图2直接判断A、B；由K＝10时可算出M的值，从而判断C；观察图2可得R1=20时k值，从而算出M的值，即可判断D.
9．【答案】；
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为6，x=2，
∴2（x+y）=2（2+y）=6，
∴解得y=1，
∴S=xy=2×1=2，
∵面积是S，为定值，
∴y=（x＞0）.
故答案为：y=；x＞0.
【分析】根据矩形周长公式，求得x=2时，y=1，再根据面积是S是定值，可列出y关于x的表达式，及求得x＞0，即可解决问题.
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接BF和DO，
由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，
∴BO∥DF，
∴S△BFE=S△BDO=S矩形OABC=3，
又∵点B在反比例函数y=图象上，
∴S△BEO=，
∴===.
故答案为：.
【分析】分别连接BF和DO，由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，即得BO∥DF，从而求得△BFE的面积，再由反比例函数”k“的几何意义可得△BEO的面积，最后根据等高三角形面积之比等于底之比，代入数据计算，即可求出.
11．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
12．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点 作 于 轴于点 ，如下图：
∵点 均在双曲线 上运动，
∴设 .
.
.
轴， 轴，
∴四边形 为矩形.
.
，
.
.
.
.
故答案为：2.
【分析】过点 作 于 轴于点 ，设 ，再把有关线段用a、b表示，然后根据矩形的性质把BD和CD表示出来，然后根据等腰直角三角形的性质求出，据此求出b=2a，然后根据三角形面积公式计算化简即可.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
当 时， ，
反比例函数的 在 内， 随 的增大而减小，
如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为 字 ，
故答案为： .
【分析】设反比例函数的解析式为 ，将（140，10）代入可得k的值，求出y=9对应的x的值，然后根据反比例函数的增减性进行解答.
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如下图所示，设 ， ，直线与x轴交点记为点G，
AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D；
∴ ，OD= ，BD= ；
∴ ， ；
∴ ；
又因为阴影部分面积为12，
∴
∴
∴
因为直线解析式为 ，
令y=0，则x= ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
设直线OB的解析式为：
代入B点坐标后得： ，
∴ ，
∴OC= ，CE= ，
∴ ；
∴ =2
∴
∴
∴
由 可得： ，
其中 ，
∵ ，
∴ ； ；
∴ ，
化简得： ，
平方后得：
将 代入可得：
∴
由 ，解得： ；
∴b的值为 .
故答案为： .
【分析】设B（x1，y1），A（x2，y2），直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D，可得S△OAC+S△OBD=12，然后结合阴影部分面积为12可推出S△GBD=2S△OEC，根据直线解析式可得点G的坐标，得到S△GBD=(2b+x1)y1，同理可得S△OCE=，然后根据S△GBD=2S△OEC可得，联立反比例函数与直线解析式可得x2+bx+12=0，根据方程有两根可得 ，然后结合x115．【答案】16﹣
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ABCD是中心对称图形，且对称中心是对角线的交点，
∴点Q是平行四边形对角线的交点.
又∵平行四边形对角线互相平分，
∴点Q是AC中点，也是BD中点.
设Q（a，b），B（x1，y1），C（x2，y2），
由A（3，0），D（0，4），
∵点Q是BD中点，则根据中点坐标公式，可得：x1＝2a，y1+4＝2b，则y1＝2b﹣4；
∴点Q是AC中点，根据中点坐标公式，可得：x2+3＝2a，y2＝2b，则x2＝2a﹣3.
∴B（2a，2b﹣4），C（2a﹣3，2b），
∵点B，C在双曲线 上，代入坐标得，
2a （2b﹣4）＝k，（2a﹣3） 2b＝k，
∴2a （2b﹣4）＝（2a﹣3） 2b，
即4ab﹣8a＝4ab﹣6b，化简得4a＝3b，
则可设a＝3t，b＝4t，
∵点Q在双曲线 上，则ab＝4，
∴3t 4t＝4， ，
∴t＝ （负值舍去），
∴a＝ ，b＝ ，即Q点坐标为（ ， ）.
∴B点坐标x1＝2a＝ ，y1＝2b﹣4＝ ，
代入双曲线y2，得k＝x1 y1＝ （ ）＝16﹣ ，
故答案为：16﹣ .
【分析】 由双曲线y1＝ （x＞0）经过平行四边形ABCD的对称中心Q， 可知点Q是平行四边形对角线的交点，设Q（a，b），B（x1，y1），C（x2，y2），根据平行四边形的性质及中点坐标公式求出B（2a，2b﹣4），C（2a﹣3，2b），然后将B，C坐标代入在双曲线 中，可得4a＝3b，可设a＝3t，b＝4t，即得Q（3t，4t），将其代入中，可求出t值，即得a、b值，从而得出B的坐标，将其代入中即可求出k值.
16．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
17．【答案】（1）4
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图，当直线在点和点之间时，阴影区域（不包括边界）内有4个整点，
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出k、m的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点和分别代入解析式求出b的值，即可得到。
18．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴点B的坐标为(4，3)，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
∴k=12，
∴反比例函数解析式为y=，
设点P的横坐标为m(m>0)，
∵．
∴，
∴，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ，
∴点P的坐标为(3，4)．
（2）解：取点F（6，0），连接FP，CF，
∴O、F关于直线对称，
由（1）知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线上，
∴PF=PO，
∴PC+PO=PF+PC，
∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，
∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF=；
（3）解：或或或
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t）
如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴同理可得点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或或
【分析】（1）先确定点B坐标，从而确定反比例函数解析式，设点P的横坐标为m(m>0)， 根据 构建方程求出m值，即得点P坐标；
（2）取点F（6，0），连接FP，CF， 即得O、F关于直线对称， 由（1）可推出点P在直线x=3上，可得PF=PO，即得PC+PO=PF+PC，当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，利用勾股定理求出CF的长即可；
（3）分两种情况：①当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，②当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，根据菱形的性质分别求解即可.
19．【答案】（1）2；-1
（2）解：设（），则，
∴，
∵，四边形OCBD的面积可以用CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2得到，
∴，
∴，
∴，，
经检验：，是原方程的解，
∵，∴，∴；
（3）解：由平移可知：，
∴直线的解析式为，
由，解得或（舍去），
∴，
∴O到是向左平移个单位，向上平移个单位，D到也是一样，
∵，∴，
答：点D的对应点的坐标．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）将坐标代入反比例函数，得，解得，
则B点坐标为，再代入一次函数，得，解得，
故答案是：2；-1；
【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出b的值，再将点B的坐标代入一次函数解析式求出k的值即可；
（2）设（），则，根据，可得，再求出m的值即可；
（3）先求出直线的解析式，再联立方程组求出x、y的值，可得，再利用点坐标平移的特征求出点的坐标即可。
20．【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
21．【答案】（1）x≠﹣3；y≠﹣2
（2）解：函数y＝|﹣2|的图象，如图所示：
（3）解：①方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，
故答案为：x≠﹣3；y≠﹣2．
【分析】（1）根据分式有意义的条件得出自变量x的取值范围是x≠-3，根据≠0，得出函数值y的取值范围是y≠-2，即可得出答案；
（2）y＝﹣2的图象的x轴上方部分沿x轴翻折，即可得出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）①利用图象法即可得出方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②利用图象法即可得出a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
22．【答案】（1）－1；－2
（2）解： ， ，
为 中点，
，
设 ，
又 四边形 是平行四边形，
.
.
.
.
（3）解：∵D（1，4）在双曲线 上，
∴k=xy=1×4=4.
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x， ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则 ，
解得x=1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则 ，
解得x=-1，
此时P2（ 1， 4），Q2（0， 6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴ ，
解得x=-1，
∴P3（ 1， 4），Q3（0，2）；
综上所述， ； ； .
（4）解：如图4，连接 、 、 ，
是线段 的垂直平分线，
，
四边形 是正方形，
，
在 与 中，
，
，
，
，
四边形 中， ，而 ，
所以， ，
所以，四边形 内角和为 ，
所以 ，
，
.
即 的定值为 .
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ； .
故答案为：-1；-2.
【分析】（1）根据非负数的性质可得 ， ，据此求出a、b的值即可；
（2）由（1）知A、B坐标，设 ，由平行四边形的性质可得 ，由于点CD在 的图象上，可得，求出t值即可；
（3）由（2）知D（1，4） ，将其代入中得k=4，即得，由于点P在双曲线 上，点Q在y轴上，可设Q（0，y），P（x， ），分两种情况： ①当AB为边时，②当AB为对角线时，利用平行四边形的性质分别求解即可；
（4）连接 、 、 ， 易证 ，可得 ， 利用四边形内角和可求出 ，根据直角三角形的性质可得，据此即得结论.
23．【答案】（1）4；6
（2）解：直线，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是的三等分点，
∴，
∵点和点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴
∵ 恒成立，
∴；
（3）解：联立 得∶，
∵抛物线与直线交点为，，
∴，
∴
；
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，
对称轴为，
∴，随着的增大而增大，
当时，，；
当时，，；
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：①当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：4；
②当时，，解得：；当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）①将A、B两点的纵坐标分别代入y=2x+4算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；②将A、B两点的纵坐标分别代入 算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；
（2）分别令解析式y=-x+b中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得A、B两点的坐标，由题意易得C、D是AB的三等分点，据此用含b的式子表示出C、D的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于定值k，用含b的式子表示出k，再代入已知不等式，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出答案；
（3）联立抛物线与一次函数的解析式可得关于x的一元二次方程 ，根据根与系数的关系可得a、b、c之间的关系 ，进而根据“横向距离” 的定义表示出 ，然后根据条件①和条件②列出不等式，解不等式得到 的取值范围．
24．【答案】（1）解：，
，，
将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
当时，，
延长交x轴于M，
此时的值最大，
设直线的解析式为，将点F、G坐标代入得，
，
解得，
，
当时，，
；
（3）或或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，
，，
，，，
当时，，
解得：或（负值舍去），
当时，同理可得：；
当时，同理可得：或（大于4舍去），
综上，的长为：或或．
【分析】（1）先求出，，再求出，再求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入求出k的值即可；
（2）延长交x轴于M，此时的值最大，先求出直线FG的解析式，再求出点M的坐标即可；
（3）设点，分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
25．【答案】（1）解：根据题意得：
∴
农家计划利用已有的一堵长为8m的墙，即 ，
∵可用的篱笆总长为11m
∴
∴
∴y关于x的函数表达式为
（2）解：根据题意，设 m，则 m
∵ ，
∴
∴
由题意得：
解得： 或3
∴ 或 m
∴能围成面积为15m2的花园，长为6m宽为2.5m，或长为5m宽为3m
（3）解：设 m， m
根据题意得：
结合（2）的结论，得 ，
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
2个函数的图象如下：
从图象看，两个函数的交点的横坐标为 和4时，可同时满足题干条件，
∴满足条件的围法有2种.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到xy=12，即可求解；
（2）根据题意，设 m，则 m，根据题意列出方程即可求解；
（3）设 m， m，根据题意即可得出y与x的关系，再画出两个函数图象，根据交点坐标的情况即可求解.
1 / 12023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十一章 反比例函数（进阶版）
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（　　）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
2．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
3．（2023·潮阳模拟）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；反比例函数的性质；旋转的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故答案为：A．
【分析】连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，由A、B的坐标可求出OA，OB的长，利用特殊角三角形函数值求出∠AOM＝60°，∠BON＝30°，进而求出旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），再求出直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，联立反比例函数解析式为方程组并解之，即得点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，根据S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′，利用梯形的面积公式计算即可.
4．（2022八下·乐山期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴，轴分别相交于、两点，连接、．过点作轴于点，交于点．设点的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，
∵一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，
∴DM=AM=BN=CN，
∴S矩形AMOE=4，
∴S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，
设S△AOF=s，
∴S△OEF=2-s；
∵，
∴S四边形EFBC=4-s，
∴△OBC和△OAD的面积都为6-2s，
∴△ADM的面积为2（2-s），
∴S△ADM=2S△OEF，
∵由对称性易证△AOM≌△BON，
∵DM=AM=BN=CN，
∴EF=AM=NB，
∴EF是△NBO的中位线，
∴点N（2，m，0），
将点B（2m，）代入y=-x+m+得
，
整理得m=（取正值）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，可得到一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，利用对称性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函数的几何意义可得到矩形AMOE的面积，可推出S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，设S△AOF=s，可表示出△OEF的面积，四边形EFBC，△OBC，△ADM的面积，由此可推出S△ADM=2S△OEF；由对称性易证△AOM≌△BON，再证明EF是△NBO的中位线，可表示出点N，B的坐标；然后将点B（2m，）代入y=-x+m+，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
5．（2021八下·苏州期末）设双曲线 （k ＞ 0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”.当双曲线 （k ＞ 0）的眸径为4时，k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：以 为边，作矩形 交双曲线于点 、 ，如图所示.
联立直线 及双曲线解析式成方程组， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， .
，
，点 的坐标为 ， .
根据图形的对称性可知： ，
点 的坐标为 ， .
又 点 在双曲线 上，
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y＝ x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
6．（2023九上·福州模拟）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（　　）
A．F与l的积为定值
B．F随l的增大而减小
C．当l为时，撬动石头至少需要的力
D．F关于l的函数图象位于第一、第三象限
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A.∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，故A项正确，不符合题意；
B.由，可知：F随l的增大而减小，故B正确，不符合题意；
C.当时，，故C项正确，不符合题意；
D.
∵动力F和动力臂l均是正数的物理量，
∴的函数图象在第一象限，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将阻力=1200、阻力臂=0.5代入阻力×阻力臂=动力×动力臂中可得动力F关于动力臂l的函数解析式为1200×0.5=FI，据此判断A、B；令l=1.5，求出F的值，据此判断C；根据反比例函数的性质可得图象所在的象限.
7．（2023九上·通川期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（　　）
A．8≤k≤12 B．8≤k＜12 C．8＜k≤12 D．8＜k＜12
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当y＝（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当y＝（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是8＜k＜12．
故答案为：D．
【分析】由每个台阶的高和宽分别是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分别求出函数y＝（x＞0）过各点时k的值，即可得出k的取值范围．
8．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的 ）， 的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是（　　）
A．呼气酒精浓度K越大， 的阻值越小
B．当K＝0时， 的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当 时，该驾驶员为醉驾状态
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，
A、R随K 的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大， R1的阻值越小，故正确，不符合题意；
B、 当K＝0时， R1的阻值为100，故正确，不符合题意；
C、 当K＝10时，则 ，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；
D、当 R1=20 时， K=40 ，则 ，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图2直接判断A、B；由K＝10时可算出M的值，从而判断C；观察图2可得R1=20时k值，从而算出M的值，即可判断D.
二、填空题（每空3分，共27分）
9．设矩形的一组邻边长分别为x，y，面积是 （S为定值），当 时，矩形的周长为6，则 关于 的函数表达式是　 　，自变量 的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为6，x=2，
∴2（x+y）=2（2+y）=6，
∴解得y=1，
∴S=xy=2×1=2，
∵面积是S，为定值，
∴y=（x＞0）.
故答案为：y=；x＞0.
【分析】根据矩形周长公式，求得x=2时，y=1，再根据面积是S是定值，可列出y关于x的表达式，及求得x＞0，即可解决问题.
10．（2022九上·长兴开学考）如图，四边形为矩形，点在第三象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为6时，的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接BF和DO，
由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，
∴BO∥DF，
∴S△BFE=S△BDO=S矩形OABC=3，
又∵点B在反比例函数y=图象上，
∴S△BEO=，
∴===.
故答案为：.
【分析】分别连接BF和DO，由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，即得BO∥DF，从而求得△BFE的面积，再由反比例函数”k“的几何意义可得△BEO的面积，最后根据等高三角形面积之比等于底之比，代入数据计算，即可求出.
11．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
12．（2021·娄星模拟）如图，点 均在双曲线 上运动， 轴， ，则 的面积是　 　.
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点 作 于 轴于点 ，如下图：
∵点 均在双曲线 上运动，
∴设 .
.
.
轴， 轴，
∴四边形 为矩形.
.
，
.
.
.
.
故答案为：2.
【分析】过点 作 于 轴于点 ，设 ，再把有关线段用a、b表示，然后根据矩形的性质把BD和CD表示出来，然后根据等腰直角三角形的性质求出，据此求出b=2a，然后根据三角形面积公式计算化简即可.
13．（2021八下·兴化期末）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间 与录入文字的速度 （字 ）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为　 　字 .
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
当 时， ，
反比例函数的 在 内， 随 的增大而减小，
如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为 字 ，
故答案为： .
【分析】设反比例函数的解析式为 ，将（140，10）代入可得k的值，求出y=9对应的x的值，然后根据反比例函数的增减性进行解答.
14．（2021九下·成都月考）如图，反比例函数 的图象与直线 交于 ， 两点（点 在点 右侧），过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 ， ，图中阴影部分的面积为12，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如下图所示，设 ， ，直线与x轴交点记为点G，
AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D；
∴ ，OD= ，BD= ；
∴ ， ；
∴ ；
又因为阴影部分面积为12，
∴
∴
∴
因为直线解析式为 ，
令y=0，则x= ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
设直线OB的解析式为：
代入B点坐标后得： ，
∴ ，
∴OC= ，CE= ，
∴ ；
∴ =2
∴
∴
∴
由 可得： ，
其中 ，
∵ ，
∴ ； ；
∴ ，
化简得： ，
平方后得：
将 代入可得：
∴
由 ，解得： ；
∴b的值为 .
故答案为： .
【分析】设B（x1，y1），A（x2，y2），直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D，可得S△OAC+S△OBD=12，然后结合阴影部分面积为12可推出S△GBD=2S△OEC，根据直线解析式可得点G的坐标，得到S△GBD=(2b+x1)y1，同理可得S△OCE=，然后根据S△GBD=2S△OEC可得，联立反比例函数与直线解析式可得x2+bx+12=0，根据方程有两根可得 ，然后结合x115．（2022八下·泉州期末）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝ （x＞0）经过平行四边形ABCD的对称中心Q，双曲线y2＝ （x＞0，0＜k＜4）经过平行四边形ABCD的顶点B，C，且A(3，0)，D(0，4)，则k＝　 　.
【答案】16﹣
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ABCD是中心对称图形，且对称中心是对角线的交点，
∴点Q是平行四边形对角线的交点.
又∵平行四边形对角线互相平分，
∴点Q是AC中点，也是BD中点.
设Q（a，b），B（x1，y1），C（x2，y2），
由A（3，0），D（0，4），
∵点Q是BD中点，则根据中点坐标公式，可得：x1＝2a，y1+4＝2b，则y1＝2b﹣4；
∴点Q是AC中点，根据中点坐标公式，可得：x2+3＝2a，y2＝2b，则x2＝2a﹣3.
∴B（2a，2b﹣4），C（2a﹣3，2b），
∵点B，C在双曲线 上，代入坐标得，
2a （2b﹣4）＝k，（2a﹣3） 2b＝k，
∴2a （2b﹣4）＝（2a﹣3） 2b，
即4ab﹣8a＝4ab﹣6b，化简得4a＝3b，
则可设a＝3t，b＝4t，
∵点Q在双曲线 上，则ab＝4，
∴3t 4t＝4， ，
∴t＝ （负值舍去），
∴a＝ ，b＝ ，即Q点坐标为（ ， ）.
∴B点坐标x1＝2a＝ ，y1＝2b﹣4＝ ，
代入双曲线y2，得k＝x1 y1＝ （ ）＝16﹣ ，
故答案为：16﹣ .
【分析】 由双曲线y1＝ （x＞0）经过平行四边形ABCD的对称中心Q， 可知点Q是平行四边形对角线的交点，设Q（a，b），B（x1，y1），C（x2，y2），根据平行四边形的性质及中点坐标公式求出B（2a，2b﹣4），C（2a﹣3，2b），然后将B，C坐标代入在双曲线 中，可得4a＝3b，可设a＝3t，b＝4t，即得Q（3t，4t），将其代入中，可求出t值，即得a、b值，从而得出B的坐标，将其代入中即可求出k值.
16．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为　 　.
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
三、解答题（共9题，共99分）
17．（2022九上·广平期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；
（1）m=　 　；
（2）已知，过点、D点作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b的取值范围．
【答案】（1）4
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图，当直线在点和点之间时，阴影区域（不包括边界）内有4个整点，
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出k、m的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点和分别代入解析式求出b的值，即可得到。
18．（2022九上·电白期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴点B的坐标为(4，3)，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
∴k=12，
∴反比例函数解析式为y=，
设点P的横坐标为m(m>0)，
∵．
∴，
∴，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ，
∴点P的坐标为(3，4)．
（2）解：取点F（6，0），连接FP，CF，
∴O、F关于直线对称，
由（1）知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线上，
∴PF=PO，
∴PC+PO=PF+PC，
∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，
∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF=；
（3）解：或或或
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t）
如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或，
∴同理可得点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或或
【分析】（1）先确定点B坐标，从而确定反比例函数解析式，设点P的横坐标为m(m>0)， 根据 构建方程求出m值，即得点P坐标；
（2）取点F（6，0），连接FP，CF， 即得O、F关于直线对称， 由（1）可推出点P在直线x=3上，可得PF=PO，即得PC+PO=PF+PC，当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，利用勾股定理求出CF的长即可；
（3）分两种情况：①当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，②当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，根据菱形的性质分别求解即可.
19．（2022九上·惠阳月考）如图，一次函数()的图像与轴交于点，与反比例函数()的图像交于点．
（1）b=　 　；k=　 　；
（2）点是线段上一点(不与重合)，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，若四边形的面积，求点的坐标；
（3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点 的对应点恰好落在该反比例函数图象上(如图)，求此时点的对应点的坐标．
【答案】（1）2；-1
（2）解：设（），则，
∴，
∵，四边形OCBD的面积可以用CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2得到，
∴，
∴，
∴，，
经检验：，是原方程的解，
∵，∴，∴；
（3）解：由平移可知：，
∴直线的解析式为，
由，解得或（舍去），
∴，
∴O到是向左平移个单位，向上平移个单位，D到也是一样，
∵，∴，
答：点D的对应点的坐标．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）将坐标代入反比例函数，得，解得，
则B点坐标为，再代入一次函数，得，解得，
故答案是：2；-1；
【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出b的值，再将点B的坐标代入一次函数解析式求出k的值即可；
（2）设（），则，根据，可得，再求出m的值即可；
（3）先求出直线的解析式，再联立方程组求出x、y的值，可得，再利用点坐标平移的特征求出点的坐标即可。
20．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
21．（2022九上·义乌开学考）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是　 　，这个函数值y的取值范围是　 　．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝﹣2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题：
①求出方程|﹣2|＝0的根；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）x≠﹣3；y≠﹣2
（2）解：函数y＝|﹣2|的图象，如图所示：
（3）解：①方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，
故答案为：x≠﹣3；y≠﹣2．
【分析】（1）根据分式有意义的条件得出自变量x的取值范围是x≠-3，根据≠0，得出函数值y的取值范围是y≠-2，即可得出答案；
（2）y＝﹣2的图象的x轴上方部分沿x轴翻折，即可得出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）①利用图象法即可得出方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②利用图象法即可得出a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
22．（2021八下·海州期末）如图
如图1，已知点 ， ，且 、 满足 处于平行四边形 的边 与 轴交于点 ，且 为 中点，双曲线 经过 、 两点.
（1）　 　， 　 　；
（2）求 点的坐标；
（3）点 在双曲线 上，点 在 轴上（如图2），若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的坐标；
（4）以线段 为对角线作正方形 （如图3），点 是边 上一动点， 是 的中点， ，交 于 ，当 在 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.
【答案】（1）－1；－2
（2）解： ， ，
为 中点，
，
设 ，
又 四边形 是平行四边形，
.
.
.
.
（3）解：∵D（1，4）在双曲线 上，
∴k=xy=1×4=4.
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x， ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则 ，
解得x=1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则 ，
解得x=-1，
此时P2（ 1， 4），Q2（0， 6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴ ，
解得x=-1，
∴P3（ 1， 4），Q3（0，2）；
综上所述， ； ； .
（4）解：如图4，连接 、 、 ，
是线段 的垂直平分线，
，
四边形 是正方形，
，
在 与 中，
，
，
，
，
四边形 中， ，而 ，
所以， ，
所以，四边形 内角和为 ，
所以 ，
，
.
即 的定值为 .
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ； .
故答案为：-1；-2.
【分析】（1）根据非负数的性质可得 ， ，据此求出a、b的值即可；
（2）由（1）知A、B坐标，设 ，由平行四边形的性质可得 ，由于点CD在 的图象上，可得，求出t值即可；
（3）由（2）知D（1，4） ，将其代入中得k=4，即得，由于点P在双曲线 上，点Q在y轴上，可设Q（0，y），P（x， ），分两种情况： ①当AB为边时，②当AB为对角线时，利用平行四边形的性质分别求解即可；
（4）连接 、 、 ， 易证 ，可得 ， 利用四边形内角和可求出 ，根据直角三角形的性质可得，据此即得结论.
23．（2022九上·长沙月考）在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，我们把称为A、B两点的“横向距离”，记作=.例如：，则=.
（1）①若点，当A、B都在函数的函数图象上时，=　 　.
②若点，当A、B都在函数的函数图象上时，=　 　.
（2）已知直线交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线于C，D两点，且满足.若恒成立，求m的最大值.
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围.
【答案】（1）4；6
（2）解：直线，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是的三等分点，
∴，
∵点和点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴
∵ 恒成立，
∴；
（3）解：联立 得∶，
∵抛物线与直线交点为，，
∴，
∴
；
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，
对称轴为，
∴，随着的增大而增大，
当时，，；
当时，，；
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：①当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：4；
②当时，，解得：；当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）①将A、B两点的纵坐标分别代入y=2x+4算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；②将A、B两点的纵坐标分别代入 算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；
（2）分别令解析式y=-x+b中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得A、B两点的坐标，由题意易得C、D是AB的三等分点，据此用含b的式子表示出C、D的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于定值k，用含b的式子表示出k，再代入已知不等式，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出答案；
（3）联立抛物线与一次函数的解析式可得关于x的一元二次方程 ，根据根与系数的关系可得a、b、c之间的关系 ，进而根据“横向距离” 的定义表示出 ，然后根据条件①和条件②列出不等式，解不等式得到 的取值范围．
24．（2022·济南模拟）图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．
（1）求的值及反比例函数表达式．
（2）在x轴上是否存在一点M，使的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）在线段上存在这样的点P，使得是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）解：，
，，
将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
当时，，
延长交x轴于M，
此时的值最大，
设直线的解析式为，将点F、G坐标代入得，
，
解得，
，
当时，，
；
（3）或或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，
，，
，，，
当时，，
解得：或（负值舍去），
当时，同理可得：；
当时，同理可得：或（大于4舍去），
综上，的长为：或或．
【分析】（1）先求出，，再求出，再求出点F的坐标，最后将点F的坐标代入求出k的值即可；
（2）延长交x轴于M，此时的值最大，先求出直线FG的解析式，再求出点M的坐标即可；
（3）设点，分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
25．（2020八下·江干期末）某一农家计划利用已有的一堵长为8m的墙，用篱笆圈成一个面积为12m2的矩形ABCD花园，现在可用的篱笆总长为11m.
（1）若设 ， .请写出y关于x的函数表达式；
（2）若要使11m的篱笆全部用完，能否围成面积为15m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
（3）若要使11m的篱笆全部用完，请写出y关于x的第二种函数解析式.请在坐标系中画出两个函数的图象，观察图象，满足条件的围法有几种？请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意得：
∴
农家计划利用已有的一堵长为8m的墙，即 ，
∵可用的篱笆总长为11m
∴
∴
∴y关于x的函数表达式为
（2）解：根据题意，设 m，则 m
∵ ，
∴
∴
由题意得：
解得： 或3
∴ 或 m
∴能围成面积为15m2的花园，长为6m宽为2.5m，或长为5m宽为3m
（3）解：设 m， m
根据题意得：
结合（2）的结论，得 ，
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
2个函数的图象如下：
从图象看，两个函数的交点的横坐标为 和4时，可同时满足题干条件，
∴满足条件的围法有2种.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到xy=12，即可求解；
（2）根据题意，设 m，则 m，根据题意列出方程即可求解；
（3）设 m， m，根据题意即可得出y与x的关系，再画出两个函数图象，根据交点坐标的情况即可求解.
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