信阳市高中2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
一、单选题(共40分)
1.已知向量与的方向相反,，则
A.
B.
C.
D.
2.给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，则的值为
A.
B.
C.
D.
4.若，则
A.
B.
C.
D.
5.某工厂需要制作一个如图所示的模型,该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体,其中为长方体的中心,分别为所在棱的中点,那么该模型的表面积为多少
A.
B.
C.
D.
6.若，则的最大值为
A.
B.
C.
D.
7.已知幂函数的图像经过点，且，则的取值范围为
A.
C.
B.
D.
8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，△ABC的面积为，则
A.
C.的最大值为
B.
D.的最大值1
二、多选题（共20分）
9.下列命题中不正确的是
A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B.底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C.正三棱锥就是正四面体
D.侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
10.已知的内角A、B、C所对的边分别为，下列说法正确的是
A.若，则是钝角三角形
B.若，则
C.若，则是锐角三角形
D.若，则只有一解
11.已知向量，若，则下列结论正确的是
A.
C.
B.
D.的夹角为锐角
12.已知函数与函数的图像的对称中心完全相同，则
A.函数为偶函数
B.
C.直线是图像的一条对称轴
D.是图像的一个对称中心
三、填空题（共20分）
13.已知为虚数单位，则 .
14.已知，则 .
15.已知函数的定义域均为,为偶函数，的图像关于点中心对称，若，则的值为 .
16.正方形的边长为4，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点,与边交于点,为平面内一点，且满足，则的最小值为 .
四、解答题（共70分）
17.已知复数,为虚数单位.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，求的值.
18.如图所示,在平行四边形ABCD中,若.
（1）若，求的值；
（2）若,求的值.
19.在的内角的对边分别为，已知，.
（1）求及；
（2）若，求边上的高.
20.某地计划在一直角三角形空地上修建一个公园,如图所示,,
AC=300米,BC=200米,计划在空地中一点P处搭建一个花坛,从A,B,C三个入口各铺设一条直线小路通往花坛。
（1）△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形别从A,B两个入口赏花,哪条路更近,近的路比远的路可以少走多少米 （结果精确到1米，）
(2)园区计划将△PBA区域打造成,天然氧吧绿地,若,该如何设计使绿地的面积最大,最大面积是多少平方米
21.已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；
（3）若，求的值.
22.已知函数经过定点A，函数 的图像经过点A.
（1）求函数的定义域与值域；
（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.信阳市高中2022-2023学年高一下学期4月月考
数学答案
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.C 8.C 9.AC 10.ABD 11.AC 12.ABD 13. 14. 15.2 16.-7
17.（1），
因为为纯虚数，
则，解得.
（2）因为，
则，解得，
此时，
所以.
18.【详解】（1）由向量的加法法则得：，
，
因为,所以；
（2），∴，
∴，即,∴.
19.【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又,
所以,又，则.
因为,即,又,所以，
因为,所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为,则.
20.（1）从入口进入更近，可以少走约82米
（2）当米时，绿地的面积最大，最大值为平方米
（1）由题设，，米，米，
在中，由余弦定理得，
所以米，
因为，
所以从B入口进入最近,可以少走
（2）因为,
所以,当且仅当米时取最大值，
此时面积为平方米.
所以当米时，绿地的面积最大，最大值为平方米.
21.（1）；
（2）当时，；当时，
（3）
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期，
由，得，
所以的单调递减区间为.
（2）由（1）知的单调递减区间为，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以当，当.
（3）因为，所以，
又，则，则，
所以，
所以
.
22.（1）定义域为，值域为；
（2）
（1）解：令，解得，所以，所以函数过点，
将点A的坐标代入函数，可得，解得，
又由函数，
由，解得，所以函数的定义域为，
又由，所以函数的值域为.
（2）解：由（1）知,函数
在上有两个零点，
设，则，
因为为关于的单调递增函数，所以在上有两个零点，
等价于函数在上有两个零点，
当时，由，可得，函数只有一个零点，所以不合题意；
当时，由，解得；
当时，由，此时不等式组的解集为空集。
综上可得，实数的取值范围是.
