2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷第十一章 一元一次不等式（基础版）
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八上·杭州期中）以下数学表达式：①4x+3y＞0；②x＝3；③x2+xy+y2；④x≠5.其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：4x+3y＞0和x≠5是不等式，x＝3和x2+xy+y2不是不等式，
即不等式有2个.
故答案为：C.
【分析】用符号“>”、“<”表示大小关系的式子，叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式，据此判断.
2．（2022八上·长沙月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项.
故答案为：A.
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可一一判断得出答案.
3．（2022七下·仪征期末）已知是不等式的解，b的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x＝1是不等式2x b＜0的解，
∴2－b＜0，
解得，b＞2
∴选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】所谓不等式的解，就是使不等式成立的未知数的值，据此将x=1代入不等式中可得2-b＜0，求出b的范围，据此判断.
4．（2023八上·鄞州期末）若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.两边都减3，即，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B.两边都乘2，即，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.两边都除以3，即，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.两边都乘，即，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．（2022八上·青田期中）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
则.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可得不等式，求解即可.
6．（2022八上·鄞州期中）不等式3+x＞3x-5的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解： 3+x＞3x-5 ，
移项得x-3x＞-5-3，
合并同类项得-2x＞-8，
系数化为1得x＜4，
∴该不等式的正整数解为：1、2、3，共3个.
故答案为：C.
【分析】首先根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，求出该不等式的解集，进而再找出解集范围内的正整数解即可.
7．（2023八上·余姚期末）已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解∶，
，
不等式只有2个负整数解，
不等式的负整数解为 和，
则，
解得∶.
故答案为：B.
【分析】首先根据不等式表示出x，由不等式只有两个负整数解就可得到关于a的不等式组，求解可得a的范围.
8．（2022七下·长沙期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：、
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16 B．6 C．17 D．7
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人.
故答案为：A.
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据条件(1)可得x6，根据条件(3)可得6×3>y，联立可得x、y的范围，然后结合x、y为正整数进行判断即可.
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2020八上·长兴期末）“x的 与x的和不超过5”用不等式表示为 。
【答案】 x+x≤5
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】由题意得： x+x≤5 .
故答案为： x+x≤5 .
【分析】 x的为x，与x的和不超过5，可列不等等式 x+x≤5 .
10．（2022七下·浦北期末）若不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x>m，
由②得x>1，
∵不等式组的解集为： x＞1，
∴m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】先解不等式组，结合不等式组的解集为x>1，
11．（2022七下·淮北月考）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式x＞2（x-a），得：x＜2a，
∵x=4是不等式的一个解，
∴4＜2a，
解得：a＞2．
故答案为：a＞2．
【分析】先求出不等式的解集x＜2a，再结合题意可得4＜2a，最后求出a的取值范围即可。
12．（2022七下·常州期末）已知，且－1【答案】
【知识点】零指数幂；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵－1∴，
故答案为：.
【分析】根据非零数的0次幂为1可得x+y=0，则y=-x，然后结合x的范围就可求出y的范围.
13．（2022七下·抚远期末）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ．
【答案】x＜-2
【知识点】一元一次不等式的定义；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意知m+3=1，
解得，
则不等式为，
解得x＜-2，
故答案为：x＜-2．
【分析】根据一元一次不等式的定义可得m+3=1，求出m值，再把m值代入原式，然后解不等式即可.
14．（2022八上·拱墅月考）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打 折销售．
【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该文具盒最多可以打x折销售，
由题意得：6×-4≥20%×4，
解得：x≥8，
∴该文具盒实际价格最多可打8折.
故答案为：8.
【分析】设该文具盒最多可以打x折销售，则该商品获得的利润＝该商品的标价×-进价，又利润率为20%时，获得的利润为4×20%，列出不等式，解得x的值即可解决问题.
15．（2023八上·临湘期末）若关于x的不等式组的整数解恰有2个，求a的范围是 .
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，；
解得，；
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的2个整数解为1，0，
∴.
故答案为：.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解就可得到a的范围.
16．（2021七下·郾城期末）在某种药品的说明书上的部分内容是“用法用量：每天 ，分2~3次服用”.则一次服用这种药品的剂量 的范围是 .
【答案】10≤x≤30
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意，当每日用量30mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为10mg；当每日用量60mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为30mg.
根据依题意列出不等式组： ，
解得10≤x≤30，
∴一次服用这种药品的剂量x的范围是10≤x≤30mg.
故答案为：10≤x≤30.
【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数，可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可.
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023八上·平南期末）解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集.
【答案】解： ，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞-2.5，
∴原不等式组的解集为：-2.5＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
18．（2023八上·江北期末）解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和.
【答案】解：，
解①得：
解②得：
∴
∴x的整数解为，
和为：.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集，进而再找出解集范围内的整数解，并求和即可.
19．（2022七下·定远期中）若不等式5（x-2）+8＜6（x-1）+7的最小整数解是方程2x-ax＝4的解，求a+的值．
【答案】解：去括号得：5x-10+8＜6x-6+7，
移项合并得：-x＜3，
解得：x＞-3，
∴不等式的最小整数解为x＝-2，
把x＝-2代入方程得：-4+2a＝4，
解得：a＝4，
则原式＝4+＝4.25．
【知识点】一元一次方程的解；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出x=-2，将x=-2代入2x-ax＝4，求出a=4，再将a的值代入a+计算即可。
20．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 >- 的正整数解，试求第三边x的长．
【答案】解：原不等式可化为3（x+2）＞-2（1-2x），解得x＜8，∵x是它的正整数解，∴x可取1，2，3，5，6，7，再根据三角形第三边的取值范围，得6＜x＜10，
∴x=7
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】根据解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求得不等式的解集，再根据正整数解可求得x的值，最后用三角形三边关系定理；三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和即可求解。
21．（2022八上·余姚期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a-b＞0，则a b；
（2）若a-b＝0，则a b；
（3）若a-b＜0，则a b．
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小．
【答案】（1）＞
（2）＝
（3）＜
（4）解：（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1）
＝4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1．
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若a-b＞0，则a＞b；
故答案为：＞
（2）若a-b＝0，则a＝b；
故答案为：=
（3）若a-b＜0，则a＜b．
故答案为：＜
【分析】（1）利用不等式的性质1，可得答案.
（2）移项后，可得到a，b的数量关系.
（3）利用不等式的性质1，可得答案.
（4）利用求差法，先列式可得到（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1），再去括号，合并同类项，可得到其结果为b2+3，利用平方的非负性可得到b2+3＞0，由此可得答案.
22．（2022八上·拱墅月考）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
【答案】（1）解： ，
2 +②得，4x＝2k﹣1，解得x＝ ；
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y＝ ，
∴二元一次方程组的解为
（2）解：∵方程组的解x、y满足x+y＞5，
∴ + ＞5，
2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1+6﹣8k＞20，
﹣6k＞15，
k＜﹣
（3）解：m＝2× ﹣3× ＝7k﹣5，
∴k＝ ≤1，
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，将两个方程相减并化简可得y，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的结论结合x+y＞5可得关于k的不等式，求解可得k的范围；
（3） 根据m=2x-3y可得m=7k-5，根据k≤1可得m的范围，结合m为正整数可得m的值.
23．（2021七下·忻州期末）下面是小马虎解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务：
去分母得．…………第一步 去括号得．………………第二步 移项得．…………………第三步 合并同类项得．……………………第四步 系数化1得．………………………第五步
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步不正确的原因是 ．
任务二：请直接写出该不等式的解集： ；
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议 ．
【答案】不等式的基本性质2：不等式两边同乘或（除以）同一正数，不等号方向不变；；移项时符号没有发生改变；三；；移项时注意变号
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是不等式的基本性质2：不等式两边同乘或（除以）同一正数，不等号方向不变；
第三步开始出现错误，这一步不正确的原因是移项时符号没有发生改变；
任务二：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：；
任务三：
解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议：移项时注意变号；
【分析】利用解含分数系数的一元一次不等式的步骤：先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可。
24．（2023八上·平南期末）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆.
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1110箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【答案】（1）解：设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载 箱材料，
依题意得： - ＝40，
解得：x＝15，
检验：把x＝15代入 ，
∴x＝15是原方程的解，
∴甲型号货车每辆可装载25箱材料，
答：甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料.
（2）解：设租用m辆甲型货车，则租用（60-m）辆乙型货车.
依题意得： ，
解得：20≤m≤21.
又∵m为正整数，
∴m可以取20，21，
∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；
方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载 箱材料，根据货物的总重量÷每种货车的载重量=需要货车的辆数分别表示出需要甲型与乙型货车的数量，进而根据“ 甲型货车比乙型货车少用40辆 ”建立方程，求解并检验即可；
（2） 设租用m辆甲型货车，则租用（60-m）辆乙型货车 ，根据甲种货车的总载重量+乙种货车的总载重量≤1110及乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍 列出不等式组，求解找出其整数解即可得出答案.
25．（2023七下·武汉月考）某营业厅在元旦推出两种套餐方案，具体计费方式如下表：
每月基本话费 主叫限定时间 主叫超时费用 被叫
套餐一 58元 150分钟 0.25元每分钟 免费
套餐二 88元 350分钟 元每分钟 免费
（1）若主叫时间为260分钟 ，则选择套餐一的费用为 元，套餐二的费用为 元.
（2）若表中的，请你分情况讨论说明，是否存在主叫时间，使得两种套餐的计费相等？
（3）若主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，则 .此情况下，当主叫时间满足条件 时，选择套餐一更省钱.
【答案】（1）85.5；88
（2）解：表中的，当主叫时间为时，
当时，由题意得：
，
解得：，
当时，由题意得：
，
解得：，
∴存在主叫时间为270分钟或750分钟时，两种套餐的计费相等.
（3）0.45；0≤t＜270或t＞450
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）解：选择套餐一的费用为：（元），
套餐二的费用为：88（元）.
故答案为：85.5；88；
（3）∵主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，
∴，
解得：；
当时，套餐一费用为58元，套餐二费用为88元，
当时，由题意得：
，
解得：，
∴，
当时，由题意得：
，
解得：，
综上所述，当或时，选择套餐一更省钱.
故答案为：0.45，0≤t＜270或t＞450.
【分析】（1）用每月基本话费+超过150分钟部分的通话费用可算出选择套餐一的费用，由于260小于350，故套餐二的费用就是88元；
（2）当150＜t≤350时，套餐一的费用为[58+（t-150）×0.25]元，套餐二的费用为88元，由两种费用相等建立方程，求解即可；当t＞350时，套餐一的费用为[58+（t-150）×0.25]元，套餐二的费用为[88+（t-350）×0.3]元，由两种费用相等建立方程，求解即可；
（3）套餐一的费用为[58+（450-150）×0.25]元，套餐二的费用为[88+（450-350）a]元，由两种费用相等建立方程，求解即可；分当0≤t≤150时，当150＜t≤350时，当t＞350时，三种情况考虑，分别列出不等式，求解即可得出答案.
26．（2022八上·长沙开学考）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk称为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意，解得，，
∴P（﹣1，2）；
（2）解：由题意，，
解得，t＞﹣；
（3）解：由题意，，
解得，，
∵x＜y＜2x，
∴＜＜，
解得，＜k＜5，
∵k是正整数，
∴K＝2或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“k阶益点”的概念结合题意可得，求出x、y的值，进而可得点P的坐标；
（2）根据平移规律、“2阶益点” 的概念、结合第四象限内点的坐标特征可得，联立求解可得t的范围；
（3）根据“k阶益点”的概念可得，表示出x、y，根据x＜y＜2x可得k的范围，由k是正整数可得k的值，进而可得x、y的值，据此可得满足条件的点P的坐标.
1 / 12023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷第十一章 一元一次不等式（基础版）
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八上·杭州期中）以下数学表达式：①4x+3y＞0；②x＝3；③x2+xy+y2；④x≠5.其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022八上·长沙月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七下·仪征期末）已知是不等式的解，b的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．－2
4．（2023八上·鄞州期末）若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·青田期中）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·鄞州期中）不等式3+x＞3x-5的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·余姚期末）已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022七下·长沙期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：、
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16 B．6 C．17 D．7
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2020八上·长兴期末）“x的 与x的和不超过5”用不等式表示为 。
10．（2022七下·浦北期末）若不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是 ．
11．（2022七下·淮北月考）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ．
12．（2022七下·常州期末）已知，且－113．（2022七下·抚远期末）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ．
14．（2022八上·拱墅月考）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打 折销售．
15．（2023八上·临湘期末）若关于x的不等式组的整数解恰有2个，求a的范围是 .
16．（2021七下·郾城期末）在某种药品的说明书上的部分内容是“用法用量：每天 ，分2~3次服用”.则一次服用这种药品的剂量 的范围是 .
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023八上·平南期末）解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集.
18．（2023八上·江北期末）解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和.
19．（2022七下·定远期中）若不等式5（x-2）+8＜6（x-1）+7的最小整数解是方程2x-ax＝4的解，求a+的值．
20．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 >- 的正整数解，试求第三边x的长．
21．（2022八上·余姚期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a-b＞0，则a b；
（2）若a-b＝0，则a b；
（3）若a-b＜0，则a b．
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小．
22．（2022八上·拱墅月考）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
23．（2021七下·忻州期末）下面是小马虎解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务：
去分母得．…………第一步 去括号得．………………第二步 移项得．…………………第三步 合并同类项得．……………………第四步 系数化1得．………………………第五步
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步不正确的原因是 ．
任务二：请直接写出该不等式的解集： ；
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议 ．
24．（2023八上·平南期末）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆.
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1110箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
25．（2023七下·武汉月考）某营业厅在元旦推出两种套餐方案，具体计费方式如下表：
每月基本话费 主叫限定时间 主叫超时费用 被叫
套餐一 58元 150分钟 0.25元每分钟 免费
套餐二 88元 350分钟 元每分钟 免费
（1）若主叫时间为260分钟 ，则选择套餐一的费用为 元，套餐二的费用为 元.
（2）若表中的，请你分情况讨论说明，是否存在主叫时间，使得两种套餐的计费相等？
（3）若主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，则 .此情况下，当主叫时间满足条件 时，选择套餐一更省钱.
26．（2022八上·长沙开学考）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk称为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：4x+3y＞0和x≠5是不等式，x＝3和x2+xy+y2不是不等式，
即不等式有2个.
故答案为：C.
【分析】用符号“>”、“<”表示大小关系的式子，叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项.
故答案为：A.
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可一一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x＝1是不等式2x b＜0的解，
∴2－b＜0，
解得，b＞2
∴选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】所谓不等式的解，就是使不等式成立的未知数的值，据此将x=1代入不等式中可得2-b＜0，求出b的范围，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.两边都减3，即，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B.两边都乘2，即，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.两边都除以3，即，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.两边都乘，即，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
则.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可得不等式，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解： 3+x＞3x-5 ，
移项得x-3x＞-5-3，
合并同类项得-2x＞-8，
系数化为1得x＜4，
∴该不等式的正整数解为：1、2、3，共3个.
故答案为：C.
【分析】首先根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，求出该不等式的解集，进而再找出解集范围内的正整数解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解∶，
，
不等式只有2个负整数解，
不等式的负整数解为 和，
则，
解得∶.
故答案为：B.
【分析】首先根据不等式表示出x，由不等式只有两个负整数解就可得到关于a的不等式组，求解可得a的范围.
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人.
故答案为：A.
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据条件(1)可得x6，根据条件(3)可得6×3>y，联立可得x、y的范围，然后结合x、y为正整数进行判断即可.
9．【答案】 x+x≤5
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】由题意得： x+x≤5 .
故答案为： x+x≤5 .
【分析】 x的为x，与x的和不超过5，可列不等等式 x+x≤5 .
10．【答案】m≤1
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x>m，
由②得x>1，
∵不等式组的解集为： x＞1，
∴m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】先解不等式组，结合不等式组的解集为x>1，
11．【答案】a＞2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式x＞2（x-a），得：x＜2a，
∵x=4是不等式的一个解，
∴4＜2a，
解得：a＞2．
故答案为：a＞2．
【分析】先求出不等式的解集x＜2a，再结合题意可得4＜2a，最后求出a的取值范围即可。
12．【答案】
【知识点】零指数幂；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵－1∴，
故答案为：.
【分析】根据非零数的0次幂为1可得x+y=0，则y=-x，然后结合x的范围就可求出y的范围.
13．【答案】x＜-2
【知识点】一元一次不等式的定义；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意知m+3=1，
解得，
则不等式为，
解得x＜-2，
故答案为：x＜-2．
【分析】根据一元一次不等式的定义可得m+3=1，求出m值，再把m值代入原式，然后解不等式即可.
14．【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该文具盒最多可以打x折销售，
由题意得：6×-4≥20%×4，
解得：x≥8，
∴该文具盒实际价格最多可打8折.
故答案为：8.
【分析】设该文具盒最多可以打x折销售，则该商品获得的利润＝该商品的标价×-进价，又利润率为20%时，获得的利润为4×20%，列出不等式，解得x的值即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，；
解得，；
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的2个整数解为1，0，
∴.
故答案为：.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解就可得到a的范围.
16．【答案】10≤x≤30
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意，当每日用量30mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为10mg；当每日用量60mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为30mg.
根据依题意列出不等式组： ，
解得10≤x≤30，
∴一次服用这种药品的剂量x的范围是10≤x≤30mg.
故答案为：10≤x≤30.
【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数，可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可.
17．【答案】解： ，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞-2.5，
∴原不等式组的解集为：-2.5＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
18．【答案】解：，
解①得：
解②得：
∴
∴x的整数解为，
和为：.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集，进而再找出解集范围内的整数解，并求和即可.
19．【答案】解：去括号得：5x-10+8＜6x-6+7，
移项合并得：-x＜3，
解得：x＞-3，
∴不等式的最小整数解为x＝-2，
把x＝-2代入方程得：-4+2a＝4，
解得：a＝4，
则原式＝4+＝4.25．
【知识点】一元一次方程的解；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出x=-2，将x=-2代入2x-ax＝4，求出a=4，再将a的值代入a+计算即可。
20．【答案】解：原不等式可化为3（x+2）＞-2（1-2x），解得x＜8，∵x是它的正整数解，∴x可取1，2，3，5，6，7，再根据三角形第三边的取值范围，得6＜x＜10，
∴x=7
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】根据解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求得不等式的解集，再根据正整数解可求得x的值，最后用三角形三边关系定理；三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和即可求解。
21．【答案】（1）＞
（2）＝
（3）＜
（4）解：（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1）
＝4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1．
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若a-b＞0，则a＞b；
故答案为：＞
（2）若a-b＝0，则a＝b；
故答案为：=
（3）若a-b＜0，则a＜b．
故答案为：＜
【分析】（1）利用不等式的性质1，可得答案.
（2）移项后，可得到a，b的数量关系.
（3）利用不等式的性质1，可得答案.
（4）利用求差法，先列式可得到（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1），再去括号，合并同类项，可得到其结果为b2+3，利用平方的非负性可得到b2+3＞0，由此可得答案.
22．【答案】（1）解： ，
2 +②得，4x＝2k﹣1，解得x＝ ；
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y＝ ，
∴二元一次方程组的解为
（2）解：∵方程组的解x、y满足x+y＞5，
∴ + ＞5，
2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1+6﹣8k＞20，
﹣6k＞15，
k＜﹣
（3）解：m＝2× ﹣3× ＝7k﹣5，
∴k＝ ≤1，
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，将两个方程相减并化简可得y，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的结论结合x+y＞5可得关于k的不等式，求解可得k的范围；
（3） 根据m=2x-3y可得m=7k-5，根据k≤1可得m的范围，结合m为正整数可得m的值.
23．【答案】不等式的基本性质2：不等式两边同乘或（除以）同一正数，不等号方向不变；；移项时符号没有发生改变；三；；移项时注意变号
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是不等式的基本性质2：不等式两边同乘或（除以）同一正数，不等号方向不变；
第三步开始出现错误，这一步不正确的原因是移项时符号没有发生改变；
任务二：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：；
任务三：
解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议：移项时注意变号；
【分析】利用解含分数系数的一元一次不等式的步骤：先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可。
24．【答案】（1）解：设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载 箱材料，
依题意得： - ＝40，
解得：x＝15，
检验：把x＝15代入 ，
∴x＝15是原方程的解，
∴甲型号货车每辆可装载25箱材料，
答：甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料.
（2）解：设租用m辆甲型货车，则租用（60-m）辆乙型货车.
依题意得： ，
解得：20≤m≤21.
又∵m为正整数，
∴m可以取20，21，
∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；
方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载 箱材料，根据货物的总重量÷每种货车的载重量=需要货车的辆数分别表示出需要甲型与乙型货车的数量，进而根据“ 甲型货车比乙型货车少用40辆 ”建立方程，求解并检验即可；
（2） 设租用m辆甲型货车，则租用（60-m）辆乙型货车 ，根据甲种货车的总载重量+乙种货车的总载重量≤1110及乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍 列出不等式组，求解找出其整数解即可得出答案.
25．【答案】（1）85.5；88
（2）解：表中的，当主叫时间为时，
当时，由题意得：
，
解得：，
当时，由题意得：
，
解得：，
∴存在主叫时间为270分钟或750分钟时，两种套餐的计费相等.
（3）0.45；0≤t＜270或t＞450
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）解：选择套餐一的费用为：（元），
套餐二的费用为：88（元）.
故答案为：85.5；88；
（3）∵主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，
∴，
解得：；
当时，套餐一费用为58元，套餐二费用为88元，
当时，由题意得：
，
解得：，
∴，
当时，由题意得：
，
解得：，
综上所述，当或时，选择套餐一更省钱.
故答案为：0.45，0≤t＜270或t＞450.
【分析】（1）用每月基本话费+超过150分钟部分的通话费用可算出选择套餐一的费用，由于260小于350，故套餐二的费用就是88元；
（2）当150＜t≤350时，套餐一的费用为[58+（t-150）×0.25]元，套餐二的费用为88元，由两种费用相等建立方程，求解即可；当t＞350时，套餐一的费用为[58+（t-150）×0.25]元，套餐二的费用为[88+（t-350）×0.3]元，由两种费用相等建立方程，求解即可；
（3）套餐一的费用为[58+（450-150）×0.25]元，套餐二的费用为[88+（450-350）a]元，由两种费用相等建立方程，求解即可；分当0≤t≤150时，当150＜t≤350时，当t＞350时，三种情况考虑，分别列出不等式，求解即可得出答案.
26．【答案】（1）解：由题意，解得，，
∴P（﹣1，2）；
（2）解：由题意，，
解得，t＞﹣；
（3）解：由题意，，
解得，，
∵x＜y＜2x，
∴＜＜，
解得，＜k＜5，
∵k是正整数，
∴K＝2或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“k阶益点”的概念结合题意可得，求出x、y的值，进而可得点P的坐标；
（2）根据平移规律、“2阶益点” 的概念、结合第四象限内点的坐标特征可得，联立求解可得t的范围；
（3）根据“k阶益点”的概念可得，表示出x、y，根据x＜y＜2x可得k的范围，由k是正整数可得k的值，进而可得x、y的值，据此可得满足条件的点P的坐标.
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