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§1.6.1余弦定理
班级:_________ 姓名：___________
1．△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则∠A等于( )
A．90° B．60° C．120° D．150°
3．在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段( )
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
5．[多选]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角B的值可以为( )
A． B． C． D．
6．[多选] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列选项正确的是( )
A．若a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形
B．若a2-(b-c)2=(2-)bc,则∠A=
C．若(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,则△ABC为钝角三角形
D．若(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,则△ABC的最大内角是最小内角的2倍
7．在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC= .
8．在△ABC中,B＝,BC边上的高等于BC,则cos A＝ .
9．在△ABC中,已知a=2,c=+,B=45°,求b及A.
10．在△ABC中,a+b=10,cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值.
11．在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数；(2)求AB的长度.
§1.6.1余弦定理
1~4. CCDB 5.BC 6.BD 7.150 8. －
9. 解:∵b2=a2+c2-2accos B
=(2)2+(+)2-2×2×(+)×cos45°
=12+(+)2-4×(+1)=8, ∴b=2.
由余弦定理，cos A=, ∴A=60°.
10. 解:∵2x2-3x-2=0,∴x1=2,x2=-．
又∵cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,∴cos C=-．
由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab．-=(a+b)2-ab,
则c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75．
当a=5时,c最小且c==5,此时a+b+c=10+5,
∴△ABC周长的最小值为10+5．
11. 解:(1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,∴C=120°.
(2)由题意,知
∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=a2+b2-2abcos120°
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,∴AB=．
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§1.6.2 正弦定理 第1课时
班级:_________ 姓名：___________
1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边长c的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在中，内角所对的边分别为，满足则有（ ） A．一解 B．二解 C．无解 D．不确定
4．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．[多选]已知中，，，，则的面积S的值可以为（ ） A． B．1 C． D．
6．[多选]已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是
A．或 B．
C． D．该三角形的面积为
7．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则___________.
8．已知在中边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，则的面积___________.
9．如图，在中，是边上一点，.
（1）求的大小；
（2）求的长.
10．在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.（1）求；（2）求BD的长．
11．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
§1.6.2 正弦定理 第一课时 参考答案
1~4 BBAB
5. AC 6. BC
7. 90° 8. .
9. 解：（1）在中，，
由余弦定理可得：.
.
（2），
在中，由正弦定理，得，即，解得.
10. 解：（1）在中，由正弦定理，得，所以．
（2）因为，所以，所以，在中，由正弦定理，得，所以．
11. 解：（1）由正弦定理，得，
又，则，因此；
（2）由（1）可知，则，，
所以，
所以由正弦定理得．
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§1.6.2正弦定理 第二课时
班级:_________ 姓名：___________
1．已知中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知的内角，，所对的边分别为，满足，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
3．在中，角，，的对边分别为，，，若bcosA=csinB-acosB,，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则以下结论错误的是（ ）
A． B．若，则△ABC为钝角三角形
C．若，则 D．若，则
5．（多选）在中，，，，则（ ）
A． B．的面积为
C．外接圆直径是 D．内切圆半径是
6．（多选）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是单位圆的内接三角形，则
B．若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则
C．若，则
D．若，则△ABC是锐角三角形
7．在中，，，其面积为，则_______．
8．已知a， b， c分别为△ABC内角A，B， C的对边，若， 2b=c，则的值为___________.
9．已知△ABC，请用两种方法证明a＝bcosC＋ccosB(射影定理)．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinB＝4asinA，bc＝2(b2－a2－c2)，求B.
11．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，且是锐角三角形，求的面积.
§1.6.2 正弦定理 第二课时
1~4 DDCC
5. ACD 6.BC 7. 8.
9. 证明：方法1：由正弦定理得bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin(180°－A)＝2RsinA＝a，即可证得结果.
方法2：利用余弦定理化简可得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝＝a，即可证得结果.
方法3：因为，故，即利用数量积公式可得a2＝cacosB＋bacosC.化简即可得出结果.
10. 解：因为bsinB＝4asinA，由正弦定理得：，
求得：，因为，，所以b＝2a.
因为bc＝2(b2－a2－c2)，所以 .
又因为，所以.
11. 解：（1）
由正弦定理边化角得，又，
，又，或
（2）因为是锐角三角形，，
，解得或，
当时，，舍去，故，
.
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§1.6.3解三角形应用举例
班级:_________ 姓名：___________
1．已知若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°
2．函数如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m C．25 m D． m
3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h
4．当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，sin θ的值为( ) A． B． C． D．
5．[多选]在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12km/h的航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是( )
A．这艘船航行速度为12 km/h B．这艘船航行速度为8 km/h
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°
6．[多选] 某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD=S，测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度是( )
A．S，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．S，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．S，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．S，∠ACB，∠BCD，∠ADC
7．为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=_________m.
8．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__________m.
9．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)
10．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
11．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx (A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
§1.6.3解三角形应用举例
1~4. BABA 5.BD 6.ACD
7.150 8.100
9. 解:(1)由题意，设AC＝x，
则BC＝x－×340＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以CH＝AC·tan∠CAH＝140(米)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
10. 解:(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝＝.
故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇．
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
故v2＝900－＋.
∵0又t＝时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．
12解:
解法一
(1)依题意，有，，又，。
当 是，
EMBED Equation.DSMT4 又
(2)在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
(1)同解法一
(2)在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故, 从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等
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