18.2.3 正方形 课后练习（含答案）

18.2.3正方形
一、单选题
1．下列四个命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
2．矩形，菱形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分组对角 D．四个角都是直角
3．在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD需要满足的条件是（　　）
A．垂直 B．相等
C．垂直且相等 D．不再需要条件
4．下列判定正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
5．正方形的面积是4cm2，那么对角线是（ ）cm．
A．2cm B．4cm C．cm D．cm
6．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则两对角线OC，BD的交点的坐标是（ ）
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
8．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．如图是一个正方形和直角三角形的组合图形，直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为10cm，8cm，则该正方形的面积为（ ）
A．6cm2 B．36cm2 C．18cm2 D．2cm2
10．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题
11．若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．
12．已知正方形的一条对角线长是，则它的面积等于__________．
13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，请添加一个条件______________（只需添加一个即可），使矩形ABCD是正方形．
14．如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是______.
15．如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是_____．
三、解答题
16．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
17．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．
18．图1，图2，图3，图4都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长均为1．在图1，图2，图3中已画出线段，在图4中已画出点，按下列要求画图．
（1）在图1中，以格点为顶点，为一边画一个等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，为一边画一个平行四边形；
（3）在图3中，以格点为顶点，为一边画一个正方形；
（4）在图4中，以点为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
19．如图，是正方形对角线上一点，，点分别是垂足.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
20．如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成正方形ABCD．
（1）正方形ABCD的面积为　　　　，边长为　　　　，对角线BD=　　　　；
（2）求证：；
（3）如图②，将正方形ABCD放在数轴上，使点B与原点O重合，边AB落在x轴的负半轴上，则点A所表示的数为　　　　，若点E所表示的数为整数，则点E所表示的数为　　　　．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．C
6．C
7．C
8．B
9．B
10．D
11．8
12．16
13．AB=AD，答案不唯一
14．矩形
15．（3，3）或（，）．
16．以正方形的对角线为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，
以正方形的边为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△AOB，△BOC，△OCD，△AOD，
故总共有8个等腰三角形，且都是等腰直角三角形．
17．（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
18．解：（1）如图，符合条件的C点有5个：
；
（2）如图共有三类符合条件的CD共有9条，每类情况CD向右平移1个单位如第4个图，平移2个单位如第5个图，平行四边形ABCD共有九个

（3）如图，利用旋转作图，以A点为圆心，AB=为半径顺时针旋转90°得AD，在以B为圆心，AB长为半径逆时针旋转90°，得BC，连结CD，则四边形ABCD为正方形，正方形ABCD即为满足条件的图形：
（4）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．
．
此时正方形的面积为（）2=10．
19．（1）证明：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，
在和中
，
∴，
∴.
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
20．解：（1）由图形拼接不改变面积可得：正方形ABCD＝
由边长是面积的算术平方根可得：正方形ABCD的边长为
由拼接可得
大正方形的面积
（负根舍去）
故答案为：2，，2；
（2）小正方形的面积
由拼接可得：
大正方形的面积，
（3）由（1）知：在数轴负半轴上，
点表示
在之间且表示整数，
表示
故答案为：，．