数的开方上学期]
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文档简介
平方根与立方根（1）
教学目标
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．
重点难点
1.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．
教学过程
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答 正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．
答 圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值
概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
练习：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问 正数的平方根是什么？
答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数．
问 0的平方根是什么？
答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．
问 负数有平方根吗？为什么？
答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
请同学概括数的平方根的性质．
答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
当a＞0时，a的正的平方根用符号“”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用符号“－”表示，这两个平方根合起来可以记作“”．这里，符号“”，读作“二次根号”，“”读作“二次根号a”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如记作，读作“根号a”；记作，读作“正负根号a”．
一般地，如果＝a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x=．例如，9
的平方根记作，读作正负根号9．
3.开平方．
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．
例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
解 (1)因为，所以49的平方根是，即．
(2) 因为，所以1.69的平方根是，即．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；
(2)0有一个平方根，它是0；
(3)因为，所以有两个平方根，且．
四、总结
1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．用表示．当a＞0时a有两个平方根，即，表示a的正的平方根，-表示a的负的平方根，它们互为相反数；当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、检测
1.说出下列各数的平方根
(1)64； (2)0.25； (3)．
2.求下列各数的平方根(1)； (2) 0.36； (3) 324．
平方根与立方根（2）
教学目标
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中
重点难点
1.使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.使学生体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.使学生用计算器求一个非负数的算术平方根．
教学过程
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3. ＝ ；
4.说出平方根的概念和性质．
1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
(1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
(2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根．
例1 求100的算术平方根．
解 因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即．
注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) ．
解 (1)因为(±6)2＝36． 所以36的平方根是±6，即；
；
．
说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3 求下列各式的值：
分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
解
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．
分析 用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．
解 (1) 在计算器上依次键入
，
显示结果为23，所以，529的算术平方根为
＝23．
(2) 在计算器上依次键入
，
显示结果为35，所以，1225的算术平方根为＝35．
(3) 在计算器上依次键入
，
显示结果为6.94027188，如果要求精确到0.01，那么≈6.94．
三、练习
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
(1)； (2)； (3)（精确到0.01）．
四、小结
1.平方根和算术平方根的区别：
(1)定义不同．如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，非负数a的平方根可以用表示；
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
②如果x2＝a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根，非负数a的算术平方根可以用表示，有≥0．
③一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．
(2)表示方法不同，正数a的平方根，表示为．正数a的算术平方表示为；
(3)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1．
2.平方根和算术平方根的联系：
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；
(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根；
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零；
(4)非负数a的算术平方根的值一定是非负．
五、练习
1.下列说法正确吗？如果不正确，那么请你写出正确答案.
(1)0.09的平方根是0.3； (2)＝±5．
2.用计算器计算（精确到0.01）．
(1) ； (2) ．
3.(1) 在哪两个整数之间？
(2)3.1＜＜3.2正确吗？(3)下列四个结论中，正确的是( )． (A)
3.15＜＜3.16 (B) 3.16＜＜3.17 (C) 3.17＜＜3.18 (D) 3.18＜＜3.19
平方根与立方根（3）
教学目标
1.在学方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
重点难点
1.使学生掌握立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.使学生理解“如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数”的意义，并会运用这个关系式求一个负数的立方根；
4.会用计算器求数的立方根．
教学过程
计算下列各题：
强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解 设正方体纸盒的棱长为xcm，则
，
因为63＝216，所以x＝6．
答 正方体的棱长应为6 cm．
问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）．
试一试(1)27的立方根是什么？
(2)－27的立方根是什么？(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）．
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
例1 求下列各数的立方根：
(1)； (2)-125； (3)-0.008； (4)0．
解 (1)因为()3=，所以=；
(2)因为(－5)3＝－125，所以=－5；
(3)因为，所以；
(4)因为，所以．
根据上述练习提问：
(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
相同点：
正数，都存在平方根或立方根；
零，都存在一个平方根或立方根，它们都是零．
不同点：
正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不同；
负数，有一个立方根，还是负数；但负数却没有平方根．这是因为，正数、零、负数的平方都不是负数．
例2 求下列各数的立方根：
．
解
由上例可以看出，
问 等式两边的被开方数有什么关系？如果把上面的等式中的被开方数设为a(a＞0)，我们可以得出一个什么样的等式呢？请用语言叙述．
答 等式两边的被开方数互为相反数，设被开方数为a(a＞0)，就可以得到等式
强调指出：
(1)这就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数．
(2)求负数的立方根有两个方法，一是由立方根定义去求，二是转化成先求负数的绝对值的立方根，再求它的相反数．
例3 用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331； (2)－343； (3)9.263．
分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按，也可以按．
解 (1)在计算器上依次键入
显示结果为11，所以
＝11．
(2)在计算器上依次键入
显示结果为－7，所以
＝－7．
(3)在计算器上依次键入
显示结果为2.100151161，如果要求精确到0.01，那么
≈ 2.10．
四、小结
请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
4.求一个负数的立方根可以用两种方法；
(1)根据立方根的定义来求；
(2)运用关系(a＞0)来求．
五、练习
1.求下列各数的立方根：
(1)216； (2) -0.027； (3) －；
(4)0.125； (5) －； (6) 1 331．
2.用计算器计算．(1) ； (2) ；
(3)（精确到0.01）； (4)（精确到0.01）．
3.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62厘米．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少（用计算器计算，结果精确到0.1厘米）
二次根式（1）
教学目标
1.了解二次根式的概念；
2.掌握二次根式的基本性质.
重点难点
经历分组讨论，以及交流、归纳、总结，培养合作学习的意识，体会比较分析、分类讨论的数学思想.
教学过程
我们学方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面的问题：
1.表示什么？
2.a需要满足什么条件？为什么？
让学生合作交流，然后回答问题（可以相互补充），归纳为：
1.当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；
2.当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根；
3. a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
1.基本性质
问题1 你能用一句话概括以上的3个结论吗？
让一个学生回答，其他学生补充，概括为：(a≥0)表示非负数的算术根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，即≥0(a≥0).
问题2 (a≥0)等于什么？说说你的理由，并举例验证.
让学生分组讨论或自主探索得出结论：＝a(a≥0)，如＝4，＝2等.
以上两个问题得结论就是基本性质，特别是＝a（a≥0）可以当公式使用，直接应用于计算，反过来，把＝a（a≥0）写成a＝（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式，例如：3＝， 0.3＝.
提问：
(1) 0＝,对不对？
(2)-5＝对不对？如果不对，错在哪里？
2.二次根式概念
形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
说明：二次根式必须具备以下特点：
(1)有二次根号；
(2)被开方数不能小于零.
让学生举出二次根式的几个例子，并判断是不是二次根式.
例 要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？分析 要使式子有意义，必须x－1≥0，即x≥1.
解 由 x－1≥0，
得 x≥1．
提问：若将式子改为，则字母x的取值必须满足什么条件？
完成下列练习
1.计算：
(1)()2； (2)()2；
(3)； (4).
2.要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件：
(1)； (2).
我们已经研究了＝a（a≥0），现在研究等于什么.
提问：
1.对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？
2.在中，a的取值有没有限制？
3.取a的一些值，分别算一算，看等于什么，从中你发现了什么？
我们不妨取为2，(－2)，3，(－3)，计算对应的值，有
＝2， ＝2
＝3， ＝3
观察以上结果有：当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝－a，也就是说，＝，也可以写成
因此我们今后遇到时，先改写成a的绝对值，再按照绝对值的意义化简.
4.和是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流.
四、小结
1.什么叫二次根式？你能举例说明吗
2.二次根式有哪两个形式上的特点？
(1)有二次根号；
(2)被开方数不能取负值.
3．二次根式有哪些性质？
(1)≥0（a≥0）
(2)＝a（a≥0）
(3)
五、练习
1.计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
2.要使下面的式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
(1) (2) (3) (4)
3.根据下列条件，判断式子是不是二次根式：
(1)a＞0 (2)a＝0 (3)a＜0
二次根式（2）
教学目标
1.使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算；
2.使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这个性质熟练地化简二次根式；
3.使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算；
4.使学生掌握商的算术平方根的性质，会根据这个性质熟练地化简二次根式；
5.使学生会将分母中含有一个二次根式得式子进行分母有理化；
重点难点
经历探索二次根式的乘法和除法运算法则的过程，培养学生的探究精神和团结合作的习惯.
教学过程
1.什么叫二次根式？下列式子中哪些是二次根式？
(1) (2)
(3) (4)
(5)
2.二次根式有哪些性质？计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
二、探究归纳
1.试一试
计算：
(1) =
=
(2) =
=
问 观察以上结果你能发现什么？
，
2.思考 与是否相等？
问 (1)你将用什么方法计算？
(2)通过计算，你发现了什么？是否与前面试一试的结果一样？
3.概括
让学生观察以上计算结果，归纳得出结论：
(a≥0,b≥0)
注意 a、b必须都是非负数，上式才能成立.
问 两个二次根式相除，怎样进行呢？
让学生参考二次根式的乘法运算法则得研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论？
经过归纳、总结，结论如下：
(a≥0，b＞0)
注意 因为分母不能为零，所以上式中的b不为零.
例1 计算
(1) (2)
解 (1)
(2)
注意 二次根式得结果，应尽量化简.
例2 化简：
(1)； (2).
解 (1)
(2)
注意 (1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简；
(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式或因数用它们得算术平方根代替，移到根号得外面.
例3 计算：
(1) ； (2) ．
解 (1)==
(2)
例4 化简：(要求分母不带根号)
解
完成下列练习
1．计算：
(1) ×； (2)×；
(3) ； (4) ．
2.化简：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)；
(5)； (6) ．
四、小结
1.二次根式乘法法则：
(a≥0,b≥0)；
2.二次根式除法法则：
(a≥0，b＞0)．
五、练习
1.计算
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
2.化简：
(1)； (2)； (3)．
3.火箭、人造卫星要冲破地球的万有引力的束缚，围绕地球旋转，它们的速度都必须超过一定的数值，这个速度我们称之为第一宇宙速度．计算这一速度的公式是v＝，其中g为重力加速度，通常取9.8米/秒2，R为地球半径，约为6 370千米．试计算第一宇宙速度（用计算器计算，结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）．
二次根式（3）
教学目标
1.理解什么是同类二次根式，会判断两个二次根式是否为同类二次根式；
2.通过合并同类二次根式，进行二次根式的加减法运算．
重点难点
经历二次根式的加减法运算法则的探索过程，体会归类的数学思想.
教学过程
1.计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
2.计算：
(1)； (2)．
观察以上两题，你联想到什么？
让学生类比、联想、讨论、交流，然后举手回答，并归纳总结.
1.同类二次根式
像和，和这样的二次根式，称为同类二次根式.
说明 (1)被开方数相同；
(2)二次根式不能再化简；
(3)与二次根式的系数无关.
请同学们再举几个例子说明.
二次根式的加减法，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并.
例1 计算：3+－2－3．
解 3+－2－3
=（3－2）+（－3）
=－2．
例2 计算： + +
分析 先将各二次根式化简： ＝ 2， = 3 ，＝2．
可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是．将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果．解 ++
＝2＋3＋2
＝5＋2
例3 计算：
(1)
(2)
先让学生试试看，自行完成此题.
解 (1)
＝
＝
(2)
＝
＝
完成下列练习：
1.化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式：
(1)2与； (2)与3.
2.计算：
(1)3-+-4；
(2)5-；
(3).
四、小结
1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式；(2)被开方数相同.
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
五、练习
1.下列各组里的二次根式是不是同类二次根式：
(1)； (2)；
(3) ； (4)．
2.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3.当x＝7时，求下列代数式的值：
实数与数轴（1）
教学目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
重点难点
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
教学过程
1.做一做：(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数．那么，是怎样的数呢？
1.回顾有理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数；
(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较, 计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数．类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数．
有理数和无理数统称为实数．
1.试一试：你能在数轴上找到表示的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图所示：
例1 试估计+与π的大小关系．
解 用计算器求得+≈3.14626437,
而π≈3.141592654
这样,容易判断+＞π
说明：正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行．
提问：若将本题改为“试估计－(+)与－π的大小关系” ，如何解答
例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
答 如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满．
四、小结
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；
(2)任意一个无理数的绝对值是正数．
2.计算：（结果保留两位小数）．
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
(1)； (2)．
实数与数轴（2）
教学目标
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算．
重点难点
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移．
教学过程
1.复习提问：
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)平方差公式？完全平方公式？
(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
例1 计算：（结果精确到0.01）．
分析 对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行．
解 用计算器求得≈－0.778539072,
于是≈0.778539072,
所以≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255
≈0.79．
例2 计算:
(1)(＋1)(－1)； (2) ．
解 (1)＝＝2－1＝1；
(2)=＝＝1．
小结
1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；
2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；
3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数．
练习
1.计算：(1)； (2)．
2.借助计算器计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
单元复习（1）
教学目标
1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.理解并掌握二次根式的意义和基本性质；
3.掌握二次根式乘法和除法运算法则，并能熟练应用.
重点难点
经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的数学知识解决问题的方式和方法.
教学过程
本章知识结构如图所示：
小结
1.平方根和算术平方根的意义：
(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；
(2)正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根；
(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
(4)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为逆运算．
2.立方根的意义：
(1)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
(3)任何数都有立方根.
3.二次根式的意义：
形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
4. 二次根式的基本性质：
(1) ≥0（a≥0）；
(2) ＝a（a≥0）；
(3)
5. 二次根式的乘法和除法运算法则
(a≥0,b≥0)；
(a≥0，b＞0)．
例1 填空：
(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于，的算术平方根是 .
解 (1)，3；
(2)，.
例2 当x满足什么条件时，下列各式有意义：
(1)； (2) ；
(3)； (4) ．
解 (1)x≤0；
(2)x＞0；
(3)x＝0；
(4)x≥．
注意 (2)中的x在分母上，所以不能等于零.
例3 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.
解 由题意可得
当时，
＝＝＝
当时，
＝＝＝
例4 在实数范围内分解因式：
(1) (2)
解 (1)＝
(2)＝＝
例5 计算：
(1)； (2) ；
(3)； (4)．
解 (1)＝；
(2)；
(3)；
(4)．
总结
1.平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.二次根式的意义和基本性质；
3.二次根式乘法和除法运算法则．
练习
根据表格中所给信息填空；
2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：
3.平方根等于本身的数是 ；
立方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于本身的数是 .
4.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5) ．
5.当x满足什么条件时，下列各式有意义：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)
6.化简：．
单元复习（2）
教学目标
1.理解二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.能熟练地进行二次根式的加减运算；
2.理解并掌握实数、无理数的意义，并能正确识别有理数和无理数；
3.正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
重点难点
经历实数分类的复习过程，进一步体验数学中的分类和类比思想，从数轴上的点与实数的关系中体会数形结合是研究数学问题的重要方法.
教学过程
复习：
1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式；(2)被开方数相同.
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
3.无限不循环小数叫做无理数．
4.有理数与无理数统称为实数．
5.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
例1 对实数进行分类.
解
例2 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
π，，，0，.
解 ＜＜0＜＜π．
例3 数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简：．
解 由图可得：-2＜a＜-1, 1＜b＜2，
所以 a+1＜0, b-1＞0, a-b＜0，
=
=
=-2．
例4 已知，求代数式的值.
解 先化简
，
把代入所求的代数式得：
．
注意 也可以把所求的代数式作适当的变化后再代入，如
．
例5 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)(a＜0)．
解
(1)；
(2)
＝
＝；
(3)
＝
＝
＝3；
(4)(a＜0)
＝
＝
＝．
小结1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式，(2)被开方数相同；
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式；
3.无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数；
4.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
练习
1.填空：若 ，则＝ ，－的相反数是 ，－的绝对值是 ，
－的倒数是 .
2.把下列各数填入相应的大括号内：
，－3，0，3.1415 , , , , ,,
1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}.
3.一个正方体的体积为285，求这个正方体的表面积（结果保留3个有效数字）.
4.将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
．
5.已知，求的值.
6.计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)．
7.化简(要求分母中不带根号)：
(1)；(2)．
教学目标
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．
重点难点
1.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．
教学过程
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答 正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．
答 圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值
概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
练习：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问 正数的平方根是什么？
答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数．
问 0的平方根是什么？
答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．
问 负数有平方根吗？为什么？
答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
请同学概括数的平方根的性质．
答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
当a＞0时，a的正的平方根用符号“”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用符号“－”表示，这两个平方根合起来可以记作“”．这里，符号“”，读作“二次根号”，“”读作“二次根号a”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如记作，读作“根号a”；记作，读作“正负根号a”．
一般地，如果＝a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x=．例如，9
的平方根记作，读作正负根号9．
3.开平方．
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．
例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
解 (1)因为，所以49的平方根是，即．
(2) 因为，所以1.69的平方根是，即．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；
(2)0有一个平方根，它是0；
(3)因为，所以有两个平方根，且．
四、总结
1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．用表示．当a＞0时a有两个平方根，即，表示a的正的平方根，-表示a的负的平方根，它们互为相反数；当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、检测
1.说出下列各数的平方根
(1)64； (2)0.25； (3)．
2.求下列各数的平方根(1)； (2) 0.36； (3) 324．
平方根与立方根（2）
教学目标
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中
重点难点
1.使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.使学生体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.使学生用计算器求一个非负数的算术平方根．
教学过程
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3. ＝ ；
4.说出平方根的概念和性质．
1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
(1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
(2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根．
例1 求100的算术平方根．
解 因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即．
注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) ．
解 (1)因为(±6)2＝36． 所以36的平方根是±6，即；
；
．
说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3 求下列各式的值：
分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
解
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．
分析 用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．
解 (1) 在计算器上依次键入
，
显示结果为23，所以，529的算术平方根为
＝23．
(2) 在计算器上依次键入
，
显示结果为35，所以，1225的算术平方根为＝35．
(3) 在计算器上依次键入
，
显示结果为6.94027188，如果要求精确到0.01，那么≈6.94．
三、练习
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
(1)； (2)； (3)（精确到0.01）．
四、小结
1.平方根和算术平方根的区别：
(1)定义不同．如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，非负数a的平方根可以用表示；
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
②如果x2＝a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根，非负数a的算术平方根可以用表示，有≥0．
③一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．
(2)表示方法不同，正数a的平方根，表示为．正数a的算术平方表示为；
(3)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1．
2.平方根和算术平方根的联系：
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；
(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根；
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零；
(4)非负数a的算术平方根的值一定是非负．
五、练习
1.下列说法正确吗？如果不正确，那么请你写出正确答案.
(1)0.09的平方根是0.3； (2)＝±5．
2.用计算器计算（精确到0.01）．
(1) ； (2) ．
3.(1) 在哪两个整数之间？
(2)3.1＜＜3.2正确吗？(3)下列四个结论中，正确的是( )． (A)
3.15＜＜3.16 (B) 3.16＜＜3.17 (C) 3.17＜＜3.18 (D) 3.18＜＜3.19
平方根与立方根（3）
教学目标
1.在学方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
重点难点
1.使学生掌握立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.使学生理解“如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数”的意义，并会运用这个关系式求一个负数的立方根；
4.会用计算器求数的立方根．
教学过程
计算下列各题：
强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解 设正方体纸盒的棱长为xcm，则
，
因为63＝216，所以x＝6．
答 正方体的棱长应为6 cm．
问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）．
试一试(1)27的立方根是什么？
(2)－27的立方根是什么？(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）．
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
例1 求下列各数的立方根：
(1)； (2)-125； (3)-0.008； (4)0．
解 (1)因为()3=，所以=；
(2)因为(－5)3＝－125，所以=－5；
(3)因为，所以；
(4)因为，所以．
根据上述练习提问：
(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
相同点：
正数，都存在平方根或立方根；
零，都存在一个平方根或立方根，它们都是零．
不同点：
正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不同；
负数，有一个立方根，还是负数；但负数却没有平方根．这是因为，正数、零、负数的平方都不是负数．
例2 求下列各数的立方根：
．
解
由上例可以看出，
问 等式两边的被开方数有什么关系？如果把上面的等式中的被开方数设为a(a＞0)，我们可以得出一个什么样的等式呢？请用语言叙述．
答 等式两边的被开方数互为相反数，设被开方数为a(a＞0)，就可以得到等式
强调指出：
(1)这就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数．
(2)求负数的立方根有两个方法，一是由立方根定义去求，二是转化成先求负数的绝对值的立方根，再求它的相反数．
例3 用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331； (2)－343； (3)9.263．
分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按，也可以按．
解 (1)在计算器上依次键入
显示结果为11，所以
＝11．
(2)在计算器上依次键入
显示结果为－7，所以
＝－7．
(3)在计算器上依次键入
显示结果为2.100151161，如果要求精确到0.01，那么
≈ 2.10．
四、小结
请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
4.求一个负数的立方根可以用两种方法；
(1)根据立方根的定义来求；
(2)运用关系(a＞0)来求．
五、练习
1.求下列各数的立方根：
(1)216； (2) -0.027； (3) －；
(4)0.125； (5) －； (6) 1 331．
2.用计算器计算．(1) ； (2) ；
(3)（精确到0.01）； (4)（精确到0.01）．
3.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62厘米．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少（用计算器计算，结果精确到0.1厘米）
二次根式（1）
教学目标
1.了解二次根式的概念；
2.掌握二次根式的基本性质.
重点难点
经历分组讨论，以及交流、归纳、总结，培养合作学习的意识，体会比较分析、分类讨论的数学思想.
教学过程
我们学方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面的问题：
1.表示什么？
2.a需要满足什么条件？为什么？
让学生合作交流，然后回答问题（可以相互补充），归纳为：
1.当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；
2.当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根；
3. a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
1.基本性质
问题1 你能用一句话概括以上的3个结论吗？
让一个学生回答，其他学生补充，概括为：(a≥0)表示非负数的算术根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，即≥0(a≥0).
问题2 (a≥0)等于什么？说说你的理由，并举例验证.
让学生分组讨论或自主探索得出结论：＝a(a≥0)，如＝4，＝2等.
以上两个问题得结论就是基本性质，特别是＝a（a≥0）可以当公式使用，直接应用于计算，反过来，把＝a（a≥0）写成a＝（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式，例如：3＝， 0.3＝.
提问：
(1) 0＝,对不对？
(2)-5＝对不对？如果不对，错在哪里？
2.二次根式概念
形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
说明：二次根式必须具备以下特点：
(1)有二次根号；
(2)被开方数不能小于零.
让学生举出二次根式的几个例子，并判断是不是二次根式.
例 要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？分析 要使式子有意义，必须x－1≥0，即x≥1.
解 由 x－1≥0，
得 x≥1．
提问：若将式子改为，则字母x的取值必须满足什么条件？
完成下列练习
1.计算：
(1)()2； (2)()2；
(3)； (4).
2.要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件：
(1)； (2).
我们已经研究了＝a（a≥0），现在研究等于什么.
提问：
1.对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？
2.在中，a的取值有没有限制？
3.取a的一些值，分别算一算，看等于什么，从中你发现了什么？
我们不妨取为2，(－2)，3，(－3)，计算对应的值，有
＝2， ＝2
＝3， ＝3
观察以上结果有：当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝－a，也就是说，＝，也可以写成
因此我们今后遇到时，先改写成a的绝对值，再按照绝对值的意义化简.
4.和是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流.
四、小结
1.什么叫二次根式？你能举例说明吗
2.二次根式有哪两个形式上的特点？
(1)有二次根号；
(2)被开方数不能取负值.
3．二次根式有哪些性质？
(1)≥0（a≥0）
(2)＝a（a≥0）
(3)
五、练习
1.计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
2.要使下面的式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
(1) (2) (3) (4)
3.根据下列条件，判断式子是不是二次根式：
(1)a＞0 (2)a＝0 (3)a＜0
二次根式（2）
教学目标
1.使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算；
2.使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这个性质熟练地化简二次根式；
3.使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算；
4.使学生掌握商的算术平方根的性质，会根据这个性质熟练地化简二次根式；
5.使学生会将分母中含有一个二次根式得式子进行分母有理化；
重点难点
经历探索二次根式的乘法和除法运算法则的过程，培养学生的探究精神和团结合作的习惯.
教学过程
1.什么叫二次根式？下列式子中哪些是二次根式？
(1) (2)
(3) (4)
(5)
2.二次根式有哪些性质？计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
二、探究归纳
1.试一试
计算：
(1) =
=
(2) =
=
问 观察以上结果你能发现什么？
，
2.思考 与是否相等？
问 (1)你将用什么方法计算？
(2)通过计算，你发现了什么？是否与前面试一试的结果一样？
3.概括
让学生观察以上计算结果，归纳得出结论：
(a≥0,b≥0)
注意 a、b必须都是非负数，上式才能成立.
问 两个二次根式相除，怎样进行呢？
让学生参考二次根式的乘法运算法则得研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论？
经过归纳、总结，结论如下：
(a≥0，b＞0)
注意 因为分母不能为零，所以上式中的b不为零.
例1 计算
(1) (2)
解 (1)
(2)
注意 二次根式得结果，应尽量化简.
例2 化简：
(1)； (2).
解 (1)
(2)
注意 (1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简；
(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式或因数用它们得算术平方根代替，移到根号得外面.
例3 计算：
(1) ； (2) ．
解 (1)==
(2)
例4 化简：(要求分母不带根号)
解
完成下列练习
1．计算：
(1) ×； (2)×；
(3) ； (4) ．
2.化简：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)；
(5)； (6) ．
四、小结
1.二次根式乘法法则：
(a≥0,b≥0)；
2.二次根式除法法则：
(a≥0，b＞0)．
五、练习
1.计算
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
2.化简：
(1)； (2)； (3)．
3.火箭、人造卫星要冲破地球的万有引力的束缚，围绕地球旋转，它们的速度都必须超过一定的数值，这个速度我们称之为第一宇宙速度．计算这一速度的公式是v＝，其中g为重力加速度，通常取9.8米/秒2，R为地球半径，约为6 370千米．试计算第一宇宙速度（用计算器计算，结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）．
二次根式（3）
教学目标
1.理解什么是同类二次根式，会判断两个二次根式是否为同类二次根式；
2.通过合并同类二次根式，进行二次根式的加减法运算．
重点难点
经历二次根式的加减法运算法则的探索过程，体会归类的数学思想.
教学过程
1.计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
2.计算：
(1)； (2)．
观察以上两题，你联想到什么？
让学生类比、联想、讨论、交流，然后举手回答，并归纳总结.
1.同类二次根式
像和，和这样的二次根式，称为同类二次根式.
说明 (1)被开方数相同；
(2)二次根式不能再化简；
(3)与二次根式的系数无关.
请同学们再举几个例子说明.
二次根式的加减法，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并.
例1 计算：3+－2－3．
解 3+－2－3
=（3－2）+（－3）
=－2．
例2 计算： + +
分析 先将各二次根式化简： ＝ 2， = 3 ，＝2．
可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是．将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果．解 ++
＝2＋3＋2
＝5＋2
例3 计算：
(1)
(2)
先让学生试试看，自行完成此题.
解 (1)
＝
＝
(2)
＝
＝
完成下列练习：
1.化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式：
(1)2与； (2)与3.
2.计算：
(1)3-+-4；
(2)5-；
(3).
四、小结
1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式；(2)被开方数相同.
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
五、练习
1.下列各组里的二次根式是不是同类二次根式：
(1)； (2)；
(3) ； (4)．
2.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3.当x＝7时，求下列代数式的值：
实数与数轴（1）
教学目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
重点难点
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
教学过程
1.做一做：(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数．那么，是怎样的数呢？
1.回顾有理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数；
(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较, 计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数．类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数．
有理数和无理数统称为实数．
1.试一试：你能在数轴上找到表示的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图所示：
例1 试估计+与π的大小关系．
解 用计算器求得+≈3.14626437,
而π≈3.141592654
这样,容易判断+＞π
说明：正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行．
提问：若将本题改为“试估计－(+)与－π的大小关系” ，如何解答
例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
答 如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满．
四、小结
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；
(2)任意一个无理数的绝对值是正数．
2.计算：（结果保留两位小数）．
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
(1)； (2)．
实数与数轴（2）
教学目标
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算．
重点难点
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移．
教学过程
1.复习提问：
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)平方差公式？完全平方公式？
(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
例1 计算：（结果精确到0.01）．
分析 对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行．
解 用计算器求得≈－0.778539072,
于是≈0.778539072,
所以≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255
≈0.79．
例2 计算:
(1)(＋1)(－1)； (2) ．
解 (1)＝＝2－1＝1；
(2)=＝＝1．
小结
1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；
2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；
3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数．
练习
1.计算：(1)； (2)．
2.借助计算器计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
单元复习（1）
教学目标
1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.理解并掌握二次根式的意义和基本性质；
3.掌握二次根式乘法和除法运算法则，并能熟练应用.
重点难点
经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的数学知识解决问题的方式和方法.
教学过程
本章知识结构如图所示：
小结
1.平方根和算术平方根的意义：
(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；
(2)正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根；
(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
(4)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为逆运算．
2.立方根的意义：
(1)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
(3)任何数都有立方根.
3.二次根式的意义：
形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
4. 二次根式的基本性质：
(1) ≥0（a≥0）；
(2) ＝a（a≥0）；
(3)
5. 二次根式的乘法和除法运算法则
(a≥0,b≥0)；
(a≥0，b＞0)．
例1 填空：
(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于，的算术平方根是 .
解 (1)，3；
(2)，.
例2 当x满足什么条件时，下列各式有意义：
(1)； (2) ；
(3)； (4) ．
解 (1)x≤0；
(2)x＞0；
(3)x＝0；
(4)x≥．
注意 (2)中的x在分母上，所以不能等于零.
例3 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.
解 由题意可得
当时，
＝＝＝
当时，
＝＝＝
例4 在实数范围内分解因式：
(1) (2)
解 (1)＝
(2)＝＝
例5 计算：
(1)； (2) ；
(3)； (4)．
解 (1)＝；
(2)；
(3)；
(4)．
总结
1.平方根和算术平方根、立方根的意义；
2.二次根式的意义和基本性质；
3.二次根式乘法和除法运算法则．
练习
根据表格中所给信息填空；
2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：
3.平方根等于本身的数是 ；
立方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于本身的数是 .
4.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5) ．
5.当x满足什么条件时，下列各式有意义：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)
6.化简：．
单元复习（2）
教学目标
1.理解二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.能熟练地进行二次根式的加减运算；
2.理解并掌握实数、无理数的意义，并能正确识别有理数和无理数；
3.正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
重点难点
经历实数分类的复习过程，进一步体验数学中的分类和类比思想，从数轴上的点与实数的关系中体会数形结合是研究数学问题的重要方法.
教学过程
复习：
1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式；(2)被开方数相同.
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
3.无限不循环小数叫做无理数．
4.有理数与无理数统称为实数．
5.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
例1 对实数进行分类.
解
例2 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
π，，，0，.
解 ＜＜0＜＜π．
例3 数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简：．
解 由图可得：-2＜a＜-1, 1＜b＜2，
所以 a+1＜0, b-1＞0, a-b＜0，
=
=
=-2．
例4 已知，求代数式的值.
解 先化简
，
把代入所求的代数式得：
．
注意 也可以把所求的代数式作适当的变化后再代入，如
．
例5 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)(a＜0)．
解
(1)；
(2)
＝
＝；
(3)
＝
＝
＝3；
(4)(a＜0)
＝
＝
＝．
小结1.同类二次根式：(1)它们都是最简二次根式，(2)被开方数相同；
2.二次根式加减的实质就是合并同类二次根式；
3.无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数；
4.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
练习
1.填空：若 ，则＝ ，－的相反数是 ，－的绝对值是 ，
－的倒数是 .
2.把下列各数填入相应的大括号内：
，－3，0，3.1415 , , , , ,,
1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}.
3.一个正方体的体积为285，求这个正方体的表面积（结果保留3个有效数字）.
4.将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
．
5.已知，求的值.
6.计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)．
7.化简(要求分母中不带根号)：
(1)；(2)．