03数列的概念与简单表示法
1.数列的定义
①按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项。数列的一般形式可以写成：，简记为
②数列是特殊的函数：
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其中n∈N* ，或 。
③数列是有序数集：。
2.数列的简单表示
①数列的自然语言表示，例如数列的奇数项是0，偶数项是2。
②数列的集合符号表示，例如数列，，或。
③数列的列举表示，例如数列4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。``
④数列的通项公式描述表示，例如数列 。
⑤数列的列表表示，例如
⑥数列的图象表示，例如
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⑦数列的递推表示，例如数列，， v:shapes="_x0000_i1043">。
⑧数列的几何表示，例如谢宾斯基（Sierpinski）三角形
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详解：
（1）与是不同的：表示数列而只表示这个数列的第n项。
（2）通项公式代表数列中的任何一项，但并非所有的数列都能写出它的通项公式，如的近似值形成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…就没有通项公式。
（3）对于一个确定的数列，其通项公式并不一定唯一。
实例：
写出下列数列的一个通项公式1，0，，0，，0，，0，….
解：把数列改写成，， v:shapes="_x0000_i1056">，，，，，，….
分母依次为1，2，…，而分子为1，0，-1，0，…，周期性地出现，因此，我们可以用 v:shapes="_x0000_i1062">来表示分子，所以 v:shapes="_x0000_i1063">.
3.数列的分类
（1）按照数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的项数多少进行分类：项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。
（2）我们还可以按照数列的每一项随序号变化的情况对数列进行分类：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。如1，3，5，7，9，….
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。如：10，5，0，-5，-10，….
常数列：各项相等的数列。如：2，2，2，….
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。如：-1，1，-1，1，-1，1….
4.数列的图象
在直角坐标系中，数列的图象是孤立有序点集。
例如，数列 ① 4，5，6，7，8，9，10…；② 1, , , ,… 的图象如下：
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5.数列的性质
①单调性：
单调递增数列：。
单调递减数列：。
②周期性，
如，下列数列的周期T=2：
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③有界性：
设数列，如果常数，使得或或 对所有的n∈N* 都成立，则称数列是有界的， M是数列的界。
如：。
6.数列的通项公式与前n项和的关系
①关系：
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②应用：
⑴已知求；01正弦定理和余弦定理
1.正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（其中R为△ABC的外接圆半径）。
即
详解：
正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对 ( http: / / www.21cnjy.com )应角的正弦之间的对应关系
正弦定理的特点：
1 分式连等形式，各边对应各角，分子均为边长，分母均为角的正弦值；
2 正弦定理对任意三角形都成立；
3 正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系，是边和角的和谐统一。
2.正弦定理的应用
利用正弦定理可以解决以 ( http: / / www.21cnjy.com )下两类有关三角形的问题：
1 已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；
2 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。
详解：
对于第（1）类，其解是唯一确定的，一般先有 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的内角和为180°求得第三个角，再利用正弦定理求其余两边；
对于第（2）类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现两解、一解或无解三种情况。
3.解三角形
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
详解：
解三角形基本思路
①已知三 ( http: / / www.21cnjy.com )边，先用余弦定理求角；
②已知两边夹角，先用余弦定理求第三边，再用正弦定理其较小角；
③已知两边及一边的对角，先用正弦定理求角，注意有解、无解、多解的分析；
④已知一边及两角，用正弦定理求边。
4.余弦定理
余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍所得的差。
；；
应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的的第三条边
也可以变形写成：
；；
从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式。
详解：
理解、应用余弦定理应注意以下四点：
1 ( http: / / www.21cnjy.com ) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；
2 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
3 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；
4 运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的。
5.三角形内角和与诱导公式
①，
则，
②，
则，
。02正余弦定理应用举例
1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的应用举例
有关名词、术语
仰角和俯角：与目标在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角。目标视线在水平线上面时角仰角，目标视线在视平线下方时叫做俯角。如图示：
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方位角：一般是指正北方向顺时针转到目标线的水平角，如果方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向。
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比。
基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线。
详解：
测量一定要选用基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度；
一般来说，基线越长，测量的精确度越高。
2.解三角形应用题的一般思路
解三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )应用题的一般思路如下：
1 读懂题意、理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、方位角等，理清量与量之间的关系；
2 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；
3 合理选择正弦定理和余弦定理求解；
4 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。
详解：
无
3.实习作业的方法步骤
实习作业的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤如下：
1.首先要准备皮尺、测角仪器；
2.然后选定测量的现场（或模拟现场）；
3.再收集测量数据；
4.最后解决问题，完成实习报告。
要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据、整理信息。
详解：
实习作业中的选取问题，一般有：
① ( http: / / www.21cnjy.com )距离问题，如从一个可到达点到一个不可达到点之间的距离，或两个不可达到点之间的距离；
②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物得高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。07一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式及一元二次不等式的解集
形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式。例如，等。
设一元二次方程的两个不等实根分别为，则
不等式的解集为；
不等式的解集为；
不等式的解集为；
不等式的解集为.
详解：
课本中给出的一元二次不等式解集的形式是在，的情况下，若
，应将不等式的两边同乘-1化为二次项系数大于零再求解。
，若其判别式，则方程有两相等实根，此时不等式
的解集为；不等式的解集为Ф；若判别式
，则方程无实数根，此时不等式的解集为；不等式的解集为Ф.
求一元二次不等式的步骤：先求一元二次方程的两根，然后再写出不等式的解集。
注意把不等式化为的形式
2.二次函数与二次方程、二次不等式的关系
二次方程与二次不等式都是二次函数的特例。
当二次函数的函数值y=0时，即，就是一元二次方程。因此：
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当二次函数的函数值y＞0（或y＜0）时，即（或），就是一元二次不等式。而y=0是y＞0与y＜0的“分水岭”，它们之间形成不可分割的内在关系。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/c0e6ff08217b4808bfa0d424bbde3dd5/e5cedf9147434d7ea8e04c73556b06ea.006.jpg" \* MERGEFORMATINET
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/c0e6ff08217b4808bfa0d424bbde3dd5/e5cedf9147434d7ea8e04c73556b06ea.007.jpg" \* MERGEFORMATINET
3.不等式的解法
一、一元二次不等式的解法
一元二次不等式，其中是方程的两个根且，则不等式的解集如下：
当时，解集 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
当时，解集 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
二、一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常进行因式分解，化为（或＜0）的形式，然后利用穿根法求解，利用此法时注意将x的系数化为正的，以防出错.
穿根法求解步骤：①将p(x)的最高次项的系数化为正数；②将p(x)分解因式，化成（取）③当时，所有因式皆正，积为正；当时，有一个因式为负，其余为正，积为负，依次类推；④当相应的方程有偶次重根时，遵循“奇穿偶不穿”的规则。
三、分式不等式的解法
分式不等式＞0（或＜0）的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解.
（＜0）（＜0）；
（≤0）09基本不等式
1.基本不等式
基本不等式：
我们常把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数。
详解：
利用基本不等式求函数的最值
当时，利用基本不等式有：
若为定值，则当且仅当时，有最小值为.
若为定值，则当且仅当时，有最大值为.
即当或有一个为正值时，可以利用公式求另一个最值。
利用公式求函数最值时，应注意以下三个条件：
1 x，y均为正数；
2 ⑵与有一个为定值；
3 ⑶等号必须取到。
以上三个条件缺一不可。
拓展：
若a、b∈R，则，当且仅当a=b时等号成立。06不等关系与不等式
1.常用的不等关系及符号
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2.实数比较大小—比较法：
①求差比较法
②求商比较法
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/37c43a4157a14eceaee3c91a1e496177/d2acf9c8306440ba81785ee5ad49e4df.002.jpg" \* MERGEFORMATINET HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "../../../06不等关系与不等式.files/image003.jpg" \* MERGEFORMAT \d v:shapes="_x0000_i1028">
3.不等式性质
①不等式性质定理
教材的叙述，不等式性质定理如下：
(1)a>b b
(2)a>b，b>c a>c；
(3)a>b a+c>b+c；
(4)a>b，c>d a+c>b+d；
(5)a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac(6)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(7)a>b>0 (n∈N，且n>1)；
(8)a>b>0 (n∈N，且n>1)
②与等式性质比较
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
③不等式性质实质
不等式性质的实质是某些函数单调性的具体化。例如：
函数y=kx（k＞0）在R上是增函数
∴若a＞b，则ka＞kb。
函数y=kx（k＜0）在R上是减函数
∴若a＞b，则ka＜kb。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4.①比较代数式的大小：
比较代数式F与G的大小。
Ⅰ、用求差比较法：作差“F-G”—变形—判断正负 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
Ⅱ、用求商比较法：作商“”—变形—与1比较大小（注意G的正负）F与G的大小。
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
5.②解不等式：
一元一次不等式、一元二次不等式是解不等式的基本点与基础，这里重点叙述利用不等式性质解不等式。
⑴高次不等式：把高次不等式因式分解，利用不等式的可乘性把高次不等式转化为一次或二次不等式，进而解之。
模型：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
特殊地，f(x)能全部分解成一次因式，那用数轴标根法解之。
⑵分式不等式：利用不等式的可乘性把分式不等式两边同乘以分母的平方转化为整式不等式。
模型：
，或 。
⑶无理不等式：利用不等式的乘方性把无理不等式两边平方转化为有理不等式。
模型：
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⑷绝对值不等式：
Ⅰ、绝对值的定义：
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。其性质为
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Ⅱ、绝对值不等式性质：
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Ⅲ、解法原则：
Ⅳ、模型：
(1) 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
的解集是
它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合，如图，它是开区间（－a，a）。
(2) 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
的解集是
或。
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合，如图，它是两个开区间的并集。
(3) 设a为正数，解不等式
根据绝对值的意义，我们先求出ax＋b和cx+d的零点，再分区间讨论。容易得出分别是ax＋b和cx+d的零点。它们把数轴分成三个区间，（不妨设）即
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6.③证明函数的单调性：
证明函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递增或递减。
Ⅰ、设a＜x1 ＜x2 ＜b，
Ⅱ、用求差比较法：作差f(x1 )-f(x2 )—变形—判断正负f(x1 )与f(x2 )的大小函数y=f(x)在区间（a,b）上的单调性。
Ⅲ、用求商比较法：作商—变形—与1比较大小（注意f(x2 )的正负）f(x1 )与f(x2 )的大小函数y=f(x)在区间（a,b）上的单调性。
7.④证明不等式
设证明不等式F≤G或F≥G。
Ⅰ、用求差比较法：作差“F-G”—变形—判断正负，
若； 若。
Ⅱ、用求商比较法：作商“”—变形—与1比较大小（注意G的正负），
若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； 若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。05等比数列
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
也就是说，对于数列{an }，若 (q是与n无关的数或字母，q≠0，n∈N* )，则此数列是等比数列，叫做公比。
2.等比数列的图象
当q＞1时，等比数列图象为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/38d71b0201c342d982afb94877a4a3b9/244829f6ed2d4887af975150b6f1d31f.001.jpg" \* MERGEFORMATINET
当q=1时，等比数列图象为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/38d71b0201c342d982afb94877a4a3b9/244829f6ed2d4887af975150b6f1d31f.002.jpg" \* MERGEFORMATINET
当0＜q＜1时，等比数列图象为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/38d71b0201c342d982afb94877a4a3b9/244829f6ed2d4887af975150b6f1d31f.003.jpg" \* MERGEFORMATINET
当q＜0时，等比数列图象为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/38d71b0201c342d982afb94877a4a3b9/244829f6ed2d4887af975150b6f1d31f.004.jpg" \* MERGEFORMATINET
当q=-1时，等比数列图象为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/38d71b0201c342d982afb94877a4a3b9/244829f6ed2d4887af975150b6f1d31f.005.jpg" \* MERGEFORMATINET
3.等比数列的公式
Ⅰ、通项公式：
(1)
(2)
Ⅱ、中项公式：如果三个数a,b,c成等比数列，则，或，称b是等比数列的中项。
详解：
当a，b同号时，等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项。
注意“a，G，b成等比数列”与“”是不等价的。
一般有
4.数列通项公式的求法
⑴已知前n项—可用观察法，通常先将每项进行合理的等价变形，以便发现数列的项与项数n的关系，然后用不完全归纳法得出通项公式。
⑵已知，可用
⑶已知首项，递推公式为，可构造数列，使其满足，其中a可由待定系数法确定，即最后转化为可用累加、累乘或基本数列知识来解决的数列。
⑷已知且，可用“累加法”。即
⑸已知且，可用“累乘法”
即
实例：
已知数列中，，，求.
解法一：，.两式作差得
是以为首项，公比的等比数列
，
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解法二：，令，易得
是首项，公比为的等比数列
，即
5.等比数列的性质
Ⅰ、函数性质：
(1)当a1 =1时，an =q n-1 ，an 是关于n的指数式，从图象上看，表示数列的各点(n，an )均在指数函数图象向右平移1个单位的函数y=qx-1 的图象上，具有相关指数函数的性质。
(2) 当a1 ≠1时，，从图象上看，表示数列的各点(n，an )均在指数函数图象向右平移1个单位、纵向伸缩倍的函数的图象上，具有变换的指数函数的相关性质。
Ⅱ、运算性质：
(1) 、是等比数列，则、、（其中p是非零常数、k是常数）也是等比数列。
(2) 是正数等比数列，则（其中是常数，m＞0，m≠1）是等差数列。
Ⅲ、等距离性质：
一、首末等距离
（1）；
（2）。
形象地： 对称(积)
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二、等间隔项等距离
等比数列的等间隔项仍然组成等比数列，仍然具有等距离的性质。
形象地：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如，等比数列，则（其中p、k是常数，）仍然是等比数列。
三、等间隔等长(和)等距离
等比数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等比数列。
形象地：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如，等比数列，则仍然是等比数列
6.等比数列的前n项和
1.等比数列的前n项和公式： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2.等比数列的性质：若为等比数列，公比为，则
（1）仍为等比数列，公比为;
（2）；
（3）若，则，反之不一定成立。
若，则
（4）成等比数列，公比为；
（5）当n为偶数时，；n为奇数时，
详解：
（1）非零常数列简记形式为，它既是等差数列（公差为0）又是等比数列（公比为1）。
（2）等比数列中任一项都不取0，且公比.
实例：
设等比数列的公比，前n项和为，已知求的通项公式。
解：题设知，则
由得
因为
解得，或
当时，可得
通项公式
当时，可得，
通项公式
7.数列求和方法之错位相减法
错位相减源于等比数列求和，形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法。
详解：
错位相减法主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广。
实例：
求数列的前n项和
解：
两式相减得
8.数列求和方法之分组转化法
分组转化法就是把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解。
详解：
无
实例：
求数列的前n项和.
解：
9.数列求和方法之裂项相消法
裂项相消法就是把数列的通项公式拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项。
形如：；
都可以使用此法进行求和计算。
10.数列求和方法之倒序相加法
倒序相加法就是把数列的正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广。
详解：
倒序相加源于等差数列求和，利用与首末两项等距的两项相加后有公因子可提，以便化简化求和。
实例：
求数列的前n项和.
解：设
两式相加得
11.数列之经典考题
在本章结束的尾声中，我们来看一道经典考题，希望通过此道题目，让读者对数列这一章的知识有一个更好的把握。
实例：
设等比数列的公比为q，前n项和.⑴求公比q的取值范围；⑵设，记数列的前n项和前n项和，试比较和的大小。
解：⑴因为是等比数列，，可得，.当时，
；当时，即
上式等价于不等式组……①或……②
解①式得；
解②式，由于n可为奇数亦可为偶数，得
综上，q的取值范围是
⑵由得，，于是
又，且或
当或时，即
当且时，即
当或，即08二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式（组）与平面区域
①定义：如图，一般地，二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示平面上的区域。
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②表示：在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域。
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线。
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③判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，所以只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为特殊点判断。
详解：
二元一次不等式表示平面区域需要注意的问题：
⑴二元一次不等式表示平面区域，使用了点集的观点来分析直线，并研究了点的集合表示什么区域的问题，要注意到用集合的观点和语言来分析描述图形的问题，能使问题更清楚、准确、便于理解。
⑵表示的是直线某一侧的平面区域，一定要注意不不包括边界；表示的是直线及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界。
⑶对于直线的同一侧的所有点，实数的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点代入，由值的符号即可判断出表示的是直线哪一侧的点集，当时，此点常选坐标原点。
2.线性规划问题界定
在实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题中形成的二元一次不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件（线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示）。t=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数。由于t=ax+by又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。那么，满足线性约束条件的解（x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在解决实际问题中，可行域是用阴影部分表示的平面区域，其可行解就是使目标函数取得最大值和最小值，无论可行解多少，它们都叫做这个问题的最优解。
3.简单线性规划问题
1、简单的线性规则是讨论在二元一次不等式线性条件约束下求线性目标函数的最大值和最小值的问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有的可行解组成的集合叫做可行域。
2、解线性规划问题的步骤
(1)要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;?
(2)设t=0，画出直线l0 ;
(3)观察、分析，平移直线l0 ，从而找到最优解;?
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值。
实例：
若变量x，y满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 则，的最大值是（ ）
A.90 B.80 C.70 D.40
解：作出可行域如下图所示：
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由于的斜率分别为-2，，而的斜率为，故线性目标函数的倾斜角应大于的倾斜角小于的倾斜角，由图知，经过点时，z有最大值，z的最大值为70.
4.简单线性规划模型方法与应用步骤：
Ⅰ、简单线性规划模型方法；
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Ⅱ、简单线性规划应用步骤：
⑴寻找线性约束条件，建立线性目标函数；?
⑵由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；?
⑶在可行域内求目标函数的最优解；
⑷注意检查问题的实际意义。04等差数列
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，记作d。
也就是说，对于数列{an }，若 (d是与n无关的数或字母，n≥2，n∈N* )，则此数列是等差数列，d叫做公差。
注意：对给定的等差数列，其公差d一定是由后项减前一项所得的差，而不能用前项减后一项。
2.等差数列的图象
在直角坐标系中，等差数列的图象是线性等距离的离散点集。
当d＞0时，等差数列图象为：
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当d＜0时，等差数列图象为：
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当d=0时，等差数列图象为：
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3.等差数列的公式：
Ⅰ、通项公式：
(1)
(2)
(3)(p、q是常数)。
数列{an }为等差数列的充要条件是其通项(p、q是常数)。
Ⅱ、中项公式：如果三个数a,b,c成等差数列，则或，称b是等差数列的中项。
4.等差数列的判定方法
1.定义法：（常数）是等差数列
2.中项公式法：是等差数列
3.通项公式法：是等差数列
4.前n项和公式：是等差数列
详解：
定义法是判断数列是否是等差数列的主要方法
5.等差数列的性质
Ⅰ、函数性质：
(1)若d=0，则{an }是常数列a1 ，a1 ，a1 ，….,， an =a1 是离散型常数函数。
(2)若d≠0，则an 是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an )均在一次函数y=kx+b的图象上，一次项的系数k等于公差d，直线在y轴上的截距b等于a1 -d。
(3)若d≠0，则Sn 是关于n的常数项为0的二次函数式，表示数列的各点(n，Sn )均在二次函数y=ax2 +bx的图象上，即。
Ⅱ、运算性质：
(1) 、是等差数列，则、（其中p、q是非零常数）也是等差数列。
(2) 是等差数列，则（其中是常数，m＞0，m≠1）是等比数列。
Ⅲ、等距离性质：
一、首末等距离
（1）；
（2）。
形象地： 对称(和)
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二、等间隔项等距离
等差数列的等间隔项仍然组成等差数列，仍然具有等距离的性质。
形象地：
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如，等差数列，则（其中p、k是常数，）仍然是等差数列。
三、等间隔等长(和)等距离
等差数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等差数列。
形象地：
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如，等差数列，则仍然是等差数列。
6.等差数列的前n项和
等差数列的前n项和公式：
(1)。
(2)。
(3)。
数列{an }为等差数列的充要条件是其前n项和， (A、B是常数)。注意Sn 不含常数项。
详解：
由前n项和求数列的通项公式时，要注意分和两种情况来研究。
实例：
已知数列的前n项和，第k项满足，k的值为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
解：当时，
当时，也满足式子
∴数列的通式公式为
∵，∴
解得∴