08曲线与方程
1.直线与圆锥曲线的位置关系
①直线与圆锥曲线的位置关系包括直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，它们具有共同的方法特点，即“联立—消元—化归”，“化归”为“一元二次方程—判别式—韦达定理”解决。
直线与曲线有两个公共点；
直线与曲线有一个公共点；
直线与曲线没有公共点。
②值得注意的是，直线与双曲线、抛物线的位置关系中，对于特殊的直线，其方程与双曲线或抛物线的方程的“联立—消元—化归”，不能化归为一元二次方程，而是一元一次方程，它有一组解，相应的直线与双曲线或抛物线只有一个交点，但其位置关系不是相切，而是相交（如图）。
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2.直线与椭圆的位置关系
①位置关系的实质：“交点个数”与“解的个数”的对应。
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②直线与椭圆位置关系的判断：
已知椭圆：，直线，联立得
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，则
当时，直线与椭圆相交于两点；当时，直线与椭圆相切于一点；当时，直线与椭圆不相交，即相离。
③直线与椭圆位置关系的特点研究：
Ⅰ、直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率为，则弦长为
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Ⅱ、直线与椭圆相切于点，若椭圆方程是，
则过切点的椭圆切线方程为
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。
此外，求椭圆切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
Ⅲ、直线与椭圆相离，则可求直线与椭圆距离最近与最远的点，或求直线与椭圆最短与最长的距离。
设椭圆：，直线。
方法1：如图，是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最值，这个最值就是直线与椭圆的最短与最远的距离。即求的最值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与椭圆相切时，平行线与之间的最短或最远距离就是直线与椭圆最短或最远的距离。
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3.直线与双曲线的位置关系
①位置关系的实质：“交点个数”与“解的个数”的对应。
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②直线与双曲线位置关系的判断：
已知双曲线：，直线联立得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/48352e74471b4365858b5c12c9f950af/cb0c9a0c59d54e8ebc78484b807b11d6.006.png" \* MERGEFORMATINET ，
1o 若，则方程组有唯一一组解或无解，直线与双曲线相交于一点或不相交；
2o 若，则，那么
当时，直线与双曲线相交于两点；当时，直线与双曲线相切于一点；当时，直线与双曲线不相交，即相离。
③直线与双曲线位置关系的特点研究：
Ⅰ、直线与双曲线相交于两点，若直线的斜率为k，则弦长为
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Ⅱ、直线与双曲线相切于点，若双曲线方程是，
则过切点的双曲线切线方程为
。
此外，求双曲线切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
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Ⅲ、直线与双曲线相离，则可求直线与双曲线距离最近的点，或求直线与双曲线最短的距离。
设双曲线：，直线。
方法1：如图，是双曲线上任意一点，求点到直线的距离的最小值，这最小值就是直线与双曲线的最短距离。即求的最小值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与双曲线相切时，平行线与之间的较短距离就是直线与双曲线最短的距离。
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4.直线与抛物线的位置关系
①位置关系的实质：“交点个数”与“解的个数”的对应。
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②直线与抛物线位置关系的判断：
已知抛物线；，直线，联立得
，
1o 若，则方程组有唯一一组解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 直线与抛物线相交于一点；
2o 若，则 ，
当时，直线与抛物线相交于两点；当时，直线与抛物线相切于一点；当时，直线与抛物线不相交，即相离。
③直线与抛物线位置关系的特点研究：
Ⅰ、直线与抛物线相交于两点，若直线的斜率为，则弦长为
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Ⅱ、直线与抛物线相切于点，若抛物线方程是，
则过切点的抛物线切线方程为
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。
此外，求抛物线切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
Ⅲ、直线与抛物线相离，则可求直线与抛物线距离最近的点，或直线与抛物线最短的距离。
设抛物线；，直线。
方法1：如图，是抛物线上任意一点，求点到直线的距离最小值，这最小值就是直线与抛物线的最短距离。即求的最小值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与抛物线相切时，平行线与之间的距离就是直线与抛物线的最短距离。
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5.曲线的方程与方程的曲线
1.定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2.点与曲线的位置关系
若曲线C的方程，则点在曲线C上；点不在曲线C上.
6.求曲线的方程
①求未知曲线的方程：
求未知曲线的方程常用轨迹法，即把曲线上动点的几何条件解析化的方法。常见的方法有直接法，定义法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等。
Ⅰ、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。
程序：
—建立坐标系，设动点；
—揭示的几何条件；
—将解析化；
—化简方程；
—注意范围的制约。
Ⅱ、定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，构建已知轨迹定义的几何特征，利用相应的轨迹定义直接探求其方程。.
程序：
—建立坐标系，设动点；
—揭示的几何条件；
—说明是某一已知轨迹的定义；
—求出已知轨迹的方程；
—注意范围的制约。
Ⅲ、代入法(相关点法)：若两个或两个以上动点之间相关，根据相关点所满足的方程，通过转换代入而求动点的轨迹方程。
程序：设已知动点与定曲线上的动点的关系，则
—设动点，；
—建立间的坐标关系；
—解得；
—把代入方程得；
—化简方程；
—注意范围的制约。
Ⅳ、参数法：若动点的坐标中的分别随第三个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数得曲线的轨迹方程。
程序：
—设动点；
—根据动点的运动变化特点选择参数，确定的取值集合；
—建立动点的坐标与参数的函数关系
；
—消去参数得直接关系的方程；
—化简方程；
—注意范围的制约。
Ⅴ、交轨法：若两条曲线系相交，那么联立、消参、化简得两条曲线系交点的轨迹方程。
程序：
—设两条动曲线的交点为；
—揭示两条曲线系的方程分别为；
—联立；
—消去参数得直接关系的方程；
—化简方程；
—注意范围的制约。
②求已知曲线的方程：
求已知曲线的方程即求已知轨迹定义的曲线方程，其实质就是用待定系数法确定已知轨迹定义的曲线方程。
待定系数法程序：
—设含待定系数的已知曲线方程；
—依独立条件列含待定系数的方程组；
—解方程组，求得待定的系数；
—写出所求的曲线方程；
—注意范围的制约。
③求轨迹方程的说明：
Ⅰ、涉及圆锥曲线的轨迹方程，用圆锥曲线的定义方法解题能简化解题过程；
Ⅱ、多个动点的轨迹方程问题，用相关点法或参数法求解较好；
Ⅲ、解决轨迹问题要注意曲线上的点和方程的解之间的“等价关系”，曲线上的点的范围或方程解的范围既不能缩小也不能扩大，注意范围的制约。即一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
详解：
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合；
（3）用坐标表示条件，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。01命题及其关系
1.命题的概念
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①命题定义：
一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假（即成立或不成立）的陈述句叫做命题。
②命题的构成：
从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成。
③命题的形式：
在数学中，命题常写成“若，则”，或者 “如果，那么”的形式，通常，我们把这种形式的命题中的叫做命题的条件，叫做命题结论。
④命题的分类：
命题分为真命题与假命题。
Ⅰ、真命题：
如果由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论，那么这样的命题叫做真命题。
Ⅱ、假命题：
如果由命题的条件通过推理不一定可以得出命题的结论，那么这样的命题叫做假命题。
Ⅲ、命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
⑤真假命题的判断：
Ⅰ、数学中要判定一个命题是真命题，要经过推理证明。
Ⅱ、要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
详解：
证明假命题的通常方法是举出一个反例。社会生活中的许多命题很难确定真假，否则各种辩论赛就失去了存在的理由。
2.命题的四种形式
①命题四种形式的定义：
Ⅰ、原命题与逆命题：
在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
Ⅱ、原命题与否命题：
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题。
Ⅲ、原命题与逆否命题：
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的逆否命题。
②四种命题的形式表述：
原命题：若，则；
逆命题：若，则（交换原命题的条件和结论）；
否命题：若非，则非（同时否定原命题的条件和结论）；
逆否命题：若非，则非（交换原命题的条件和结论，并同时否定）。
③命题的四种形式的内在联系：
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④四种命题的真假关系：
Ⅰ、原命题与逆否命题是互为逆否命题，逆命题和否命题也是互为逆否命题；
Ⅱ、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
Ⅲ、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
Ⅳ、由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。这就是“反证法”的依据。
实例：
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题
( http: / / www.21cnjy.com )命题：矩形的两条对角线互相平分
解：原命题：若四边形是矩形，则它的两条对角线互相平分；
逆命题：若四边形的两条对角线互相平分，则它是矩形；
否命题：若四边形不是矩形，则它的两条对角线不互相平分；
逆否命题：若四边形的两条对角线不互相平分，则它不是矩形。
3.四种命题之间的关系
四种命题之间具有如下关系：
原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。
原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。
详解：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真 ( http: / / www.21cnjy.com )假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
（3）一个命题的逆命题与它的否命题，具有相同的真假性；
（4）在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，可以反向判断其逆否命题的真假。02充分条件与必要条件
1.充分条件和必要条件
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①充分条件与必要条件的定义：
命题“若，则”为真命题，就说是的充分条件；是的必要条件。记作。
②命题条件的分类：
Ⅰ、充分不必要条件：
“若则”为真命题，“若则”为假命题，则说是的充分不必要条件。记作
。
Ⅱ、必要不充分条件：
“若则”为假命题，“若则” 为真命题，则说是的必要不充分条件。记作
。
Ⅲ、既充分又必要条件：
“若则”为真命题，“若则” 为真命题，则说是的既充分又必要条件，那么也是的既充分又必要条件，简称充要条件，也就是即与是互为充要条件，记作
，或。
Ⅳ、既不充分又不必要条件：
“若则”为假命题，“若则” 亦为假命题，则说是的既不充分又不必要条件，那么也是的既不充分又不必要条件，记作
。
详解：
要判定充分、必要、充要条件，首先要分清哪是条件，哪是结论，然后用条件推结论，再由结论推条件，最后下定论
充分条件与必要条件
p是q的充分条件
“若p,则q”真
充要条件
q是p的必要条件
记作P→q06双曲线
1.双曲线的定义
①双曲线的定义：
平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
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②双曲线的圆锥曲线的统一定义：
双曲线是平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数的点的轨迹。其中常数是双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。
双曲线的这个定义常常称之为双曲线的第二定义，而把前一个双曲线的定义称为双曲线的第一定义。双曲线的第一定义具有双曲线的定义三角形（即）的特点，双曲线的第二定义具有涉及焦半径（即）的“斜直转化”特色（即把解决焦半径转化为解决，其中）。
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2.双曲线的方程
①双曲线的标准方程
Ⅰ、焦点在x轴的双曲线标准方程：
，（）；
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Ⅱ、焦点在y轴的双曲线标准方程：
，（）。
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②双曲线系方程：
中心在原点，焦点在轴，具有相同离心率，或相同渐近线的双曲线系方程为 （参数）。
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详解：
注意区分焦点是在x轴还是在y轴，牢记有关关系式为，避免与椭圆的混淆起来。
3.双曲线的几何性质
①双曲线的范围
由双曲线标准方程，双曲线上点的坐标满足不等式,
∴ ， ∴，得，。
这表明双曲线位于两直线的外侧区域里。
②双曲线的对称性
在双曲线标准方程里，以代替方程不变，所以若点在曲线上时，则点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；
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同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，双曲线关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心。
③双曲线的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在双曲线的标准方程中，令，的值不存在，则双曲线与轴无交点。令得，即，是双曲线与轴的两个交点。这两个交点叫做双曲线的顶点。
记，，则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长。
.若，那么双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线.
若以已知双曲线的虚轴为实轴，以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
④双曲线的定型三角形
由双曲线的对称性知，双曲线的虚轴端点到顶点的距离为，那么虚轴端点、顶点和中心三点构成双曲线的定型直角三角形，可称之为双曲线的定型三角形。
即在中， ，即。
⑤双曲线的离心率
双曲线的焦距与长轴的比叫双曲线的离心率。
∵，∴。由知，越接近，就越小，对应的双曲线张口越小；
反之，越大，就越大，对应的双曲线张口越大。
⑥双曲线的渐近线
Ⅰ、焦点在x轴：双曲线 的渐近线为
，或，或。
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Ⅱ、焦点在y轴：双曲线 的渐近线为
，即，或，或。
⑦双曲线的焦半径
若是双曲线上任一点，
是双曲线的左焦点和右焦点，则双曲线的焦半径为
，；
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若是双曲线上任一点，
是双曲线的下焦点和上焦点，则双曲线的焦半径为
，。
⑧双曲线的准线
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，同样得到双曲线的标准方程 （其中）。这条定直线叫双曲线的准线。
根据图形的对称性，双曲线有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的双曲线，与焦点对应的准线方程分别为；
对于中心在原点，焦点在轴上的双曲线，与焦点对应的准线方程分别为。
详解：
1.若，那么双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线.
2.若以已知双曲线的虚轴为实轴，以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
4.双曲线与点的位置关系
Ⅰ、位置关系：
对于双曲线而言，已知点。
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Ⅱ、判断方法：
(1)“以点代面”判断法：
即在双曲线外找一特殊的点（如），将其坐标代入双曲线方程的左边式子，得或，则判断出或的点与所找的特殊点属于同一区域。
(2)“位置结论”判断法：
对于双曲线而言，已知点，
若则点P在双曲线上；
若则点P在双曲线外；
若则点P在双曲线内。
5.双曲线与直线的位置关系
Ⅰ、双曲线与直线的位置关系：
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Ⅱ、双曲线与直线位置关系的判断方法：
已知双曲线：，直线联立得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/41ddac9c906b460aa81b33b37f08b5bd/3e374437a7c7427781a6492f1e455714.006.png" \* MERGEFORMATINET ，
1o 若，则方程组有唯一一组解或无解，双曲线与直线相交于一点或不相交；
2o 若，则，那么
当时，双曲线与直线相交于两点；当时，双曲线与直线相切于一点；当时，双曲线与直线不相交，即相离。
Ⅲ、双曲线与直线位置关系的特点研究：
1o 双曲线与直线相交于两点，若直线的斜率为k，则弦长为
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2o 双曲线与直线相切于点，若双曲线方程是，
则过切点的双曲线切线方程为
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。
此外，求双曲线切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
3o 双曲线与直线相离，则可求双曲线与直线距离最近的点，或求直线与双曲线最短的距离。
设双曲线：，直线。
方法1：如图，是双曲线上任意一点，求点到直线的距离的最小值，这最小值就是直线与双曲线的最短距离。即求的最小值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与双曲线相切时，平行线与之间的较短距离就是直线与双曲线最短的距离。
6.双曲线与圆的位置关系
Ⅰ、只限于双曲线与圆有共同对称轴时，研究双曲线与圆的最小距离。
由于圆的半径是不变的，双曲线与圆的最小距离就转化为定圆的圆心与双曲线的最小距离。
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Ⅱ、如图，设双曲线：的点，圆：，与圆交于点，则
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求的最小值转化为求二次函数
在区间或上的最小值，于是
。
Ⅲ、如图，设双曲线：的点，圆：，与圆交于点，则
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求的最值转化为求二次函数
在上的最小值，于是
。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"03简单的逻辑联结词
1.简单的逻辑连接词
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①逻辑联结词
“或”、“且”、“非”，这些词叫做逻辑联结词（logical connectives）。
且：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”.
或：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p或q”.
非：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”。
不含逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题可称为复合命题。
②含逻辑联结词的命题构成形式
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③“或”、“且”、“非”形式命题的真假性
Ⅰ、非形式命题的真假性：
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Ⅱ、且形式命题的真假性：
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Ⅲ、或形式命题的真假性：
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④判断“或”、“且”、“非”形式命题真假的步骤
Ⅰ、确定命题构成的形式；
Ⅱ、判断各简单命题的真假；
Ⅲ、利用真值表判断构成命题的真假。
2.四种命题之间的相互关系
四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
真值表：
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详解：
（1）两个命题互为逆否命题 ( http: / / www.21cnjy.com )，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
（3）一个命题的逆命题与它的否命题，具有相同的真假性；
（4）在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，可以反向判断其逆否命题的真假。10立体几何中的向量方法
1.直线的方向向量
1.直线的方向可以用向量来表示：在直线l上任取两个不同的点A、B，则有向线段AB所代表的向量就表示直线的方向，称为直线l的方向向量，当然，也是直线l的方向向量。
一般地，如果向量v所在直线与直线l平行，就称v为l的方向向量。
2.设空间直线和的方向向量分别为和，则
3.设两条直线的夹角为θ（锐角），则直线的方向向量所成的角与θ相等或互补，设直线
的方向向量分别为和，则
详解：
空间两直线的夹角为
2.直线与平面垂直的定义与判定
直线与平面垂直的定义：如果一条直线l与一个平面α相交，并且垂直于平面α内所有的直线，就称直线l与平面α垂直，记作.
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
3.过空间任意一点P做平面α的垂线与α相交于点，则称为点P在平面α内的射影，与平面相交而不垂直的直线l称为平面α的斜线。
详解：
无
3.三垂线定理及其逆定理
关于平面 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜线和它在平面上的射影有如下性质：
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影垂直。
详解：
三垂线定理和逆定理中的“ ( http: / / www.21cnjy.com )平面内”这个条件不能省略。
三垂线定理及其逆定理常用语判定空间直线相互垂直，在引用时要清楚以下问题：
⑴从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”。
⑵从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面直线垂直的问题；逆定理正好相反。
4.平面的法向量
向量与平面平行或垂直的定义：
如果有向线段AB所在的直线与平面α平行，或者AB在平面α上，就称向量与平面α平行。
如果有向线段AB所在的直线与平面α垂直，就称向量与平面α垂直。
平面的法向量
与平面a垂直的非零向量称为a的法 ( http: / / www.21cnjy.com )向量，平面的法向量可以代表平面的方向，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。
平面法向量的求法：
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
⑴设出平面的法向量为
⑵找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
⑶根据法向量的含义建立关于x，y，z的方程组；
⑷解方程组，取其中一个解，即得法向量。
详解：
无
5.直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
⑴定义：直线与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
⑵范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是.
⑶向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为Ф，则有或.
详解：
无
6.二面角的求法
二面角的求法：
①AB，CD分别是二面角的两个面与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为（如图3）；
②设分别是平面的法向量，则就是二面角的平角或其补角的余弦值大小（如图4）
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详解：
二面角的取值范围是.
7.用向量求空间中的距离
用向量法求距离和角
1.用向量法求解空间距离的问题
（1）两点间的距离的求法：
A、B两点间的距离为（如图1）
（2）点线距离的求法：在直线l上任取一点B，取直线l的一个
方向向量e，则点到l的距离为（如图2）
（3）点面距离的求法：设n是平面的一个法向量，AB是平面
的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图3）.
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（4）异面直线间的距离的求法：是两条异面直线，n是的
公垂线段AB的方向向量，又C,D分别是上的任意两点，则
（如图4）. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(5)两平行平面间的距离求法：转化为求点面距离。
详解：
无
8.共面向量
直线与平面的位置关系：（1）直线 ( http: / / www.21cnjy.com )在平面内；（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交和直线与平面平行也统称为直线在平面外。
共面向量
2 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量。
⑵共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使。
3 设n是平面ABC的任意一个法向量，则A，B，C，D四点共面直线AD在平面ABC内
详解：
无
9.平行
证明线面平行的方法：
判 ( http: / / www.21cnjy.com )定直线与平面平行的方法：
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点；
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行。
(3)反证法：假设直线与平面不平行，那么直线与平面相交或直线在平面内，由已知或定理、定理证明这是不可能的，这样否定假设。
⑷证明直线与平面的法向量互相垂直，且直线在平面外，则直线与平面互相平行。
证明面面平行的方法：
判定两个平面平行的方法有以下几种：
1 利用定义：正两个平面没有公共点；
2 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
3 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
4 利用两个平面的法向量，证明两个平面的法向量互相平行，则两个平面平行。
详解：
无05椭圆
1.椭圆的定义
⒈椭圆的定义：平面内动点P与两个点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点,叫做椭圆的焦距。
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（1）当时，P点轨迹是椭圆；
（2）当时，P点轨迹是线段；
（3）当时，P点轨迹不存在。
椭圆具有圆锥曲线统一的定义，椭圆是平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数的点的轨迹。其中是椭圆的离心率，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
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2.椭圆的圆锥曲线的统一定义
椭圆的这个定义常常称之为椭圆的第二定义，而把前一个椭圆的定义称为椭圆的第一定义。椭圆的第一定义具有椭圆的定义三角形（即）的特点，椭圆的第二定义具有涉及焦半径（即）的“斜直转化”特色（即把解决焦半径转化为解决，其中）。
2.椭圆的标准方程
Ⅰ、焦点在x轴的椭圆标准方程：
，（）；
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/dc7d6afa42124811bbcb86d147f0a796/b058fd3bd03b4793b7cd1435644e2cce.003.jpg" \* MERGEFORMATINET
Ⅱ、焦点在y轴的椭圆标准方程：
，（）。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/dc7d6afa42124811bbcb86d147f0a796/b058fd3bd03b4793b7cd1435644e2cce.006.jpg" \* MERGEFORMATINET
椭圆系方程
相同离心率的椭圆系方程为 （参数）。
3.椭圆的几何性质
①椭圆的范围
由椭圆标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，
∴ ，， ∴，，得，。
这表明椭圆位于直线，所围成的矩形框里。
②椭圆的对称性
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在椭圆标准方程里，以代替方程不变，所以若点在曲线上时，
则点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；
同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③椭圆的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
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同时，线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为
和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④椭圆的定型三角形
由椭圆的对称性知，椭圆的短轴端点到焦点的距离为，那么短轴端点、焦点和椭圆中心三点构成椭圆的定型的直角三角形，称之为椭圆的定型三角形。
即在中， ，即。
⑤椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
特殊地，当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
⑥椭圆的焦半径
若是椭圆上任一点，是椭圆的左焦点和右焦点，则椭圆的焦半径为
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；
若是椭圆上任一点，是椭圆
的下焦点和上焦点，则椭圆的焦半径为
。
在求过椭圆焦点的弦长时，利用焦半径公式非常方便，设弦AB，其中若AB过焦点，则.
⑦准线方程
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，同样得到椭圆的标准方程 （其中）。 这条定直线叫椭圆的准线。
根据图形的对称性，椭圆有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为；
对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为。
4.椭圆与点的位置关系
Ⅰ、位置关系：
对于椭圆而言，已知点，则
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Ⅱ、判断方法：
(1)“以点代面”判断法：
在椭圆内找一特殊的点（如），将其坐标代入椭圆方程的左边式子，得或，则判断出或的点与点在同一区域内。
(2)“位置结论”判断法：
对于椭圆而言，已知点，
若则点在椭圆上；
若则点在椭圆内；
若则点在椭圆外。
5.椭圆与直线的位置关系
Ⅰ、椭圆与直线的位置关系：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
Ⅱ、椭圆与直线位置关系的判断：
已知椭圆：，直线，联立得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/dc7d6afa42124811bbcb86d147f0a796/fbc2d24ea42e459a882177c273696ee0.006.png" \* MERGEFORMATINET ，
，则
当时，椭圆与直线相交于两点；当时，椭圆与直线相切于一点；当时，椭圆与直线不相交，即相离。
Ⅲ、椭圆与直线位置关系的特点研究：
1o 椭圆与直线相交于两点，若直线的斜率为，则弦长为
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2o 椭圆与直线相切于点，若椭圆方程是，
则过切点的椭圆切线方程为
。
此外，求椭圆切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
3o 椭圆与直线相离，则可求椭圆与直线距离最近与最远的点，或求直线与椭圆最短与最长的距离。
设椭圆：，直线。
方法1：如图，是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最值，这个最值就是直线与椭圆的最短与最远的距离。即求的最值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与椭圆相切时，平行线与之间的最短或最远距离就是直线与椭圆最短或最远的距离。
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6.椭圆与圆的位置关系
Ⅰ、只限于椭圆与圆有共同对称轴时，研究椭圆与圆上点的最大或最小距离。
由于圆的半径是不变的，椭圆与圆上点的最大或最小距离就转化为定圆的圆心与椭圆上点的最大或最小距离。
Ⅱ、如图，设椭圆：的点，圆：，与圆交于点，则
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
求的最值转化为求二次函数在
区间上的最值。于是
, 。
Ⅲ、若椭圆用参数方程表示，则
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
令，则
求的最值转化为求二次函数在
区间上的最值。于是
, 。
Ⅳ、如图，设椭圆：的点，圆：，与圆交于点，则
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HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
求的最值转化为求二次函数在
区间上的最值，于是
, 。04全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词
1.全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题，用符号简记为.
2.存在量词
短“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题，用符号简记为.
有些教材把特称命题叫存在性命题。
详解：
一、（1）判断一个命题是全称命题还是特称命题，要从命题的真正含义入手，而不仅仅看是否有全称量词或存在量词；
（2）对同一个数学关系式，如果冠以不同的量词，命题的属性也不一样。如“对”是全称命题，而“”是特称命题。
二、含有一个量词的命题的否定
1.全称命题的否定
全称命题，
它的否定.
2.特称命题的否定
特称命题，
它的否定.07抛物线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
若定点不在这条定直线上，则点的轨迹是抛物线；若定点在这条
定直线上，则点的轨迹
是过定点F且垂直于定直线的直线。
2.抛物线的标准方程
，或 。
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3.抛物线的几何性质
①抛物线的范围：
的范围是；
的范围是；
的范围是；
的范围是。
②抛物线的对称性：
Ⅰ、关于轴对称。
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Ⅱ、关于轴对称。
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③抛物线的顶点：
抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点，抛物线只有一个顶点。
④抛物线的离心率：
抛物线的离心率都是等于1。
⑤抛物线的焦半径：
抛物线上点的焦半径是；
抛物线上点的焦半径是；
抛物线上点的焦半径是；
抛物线上点的焦半径是。
⑥抛物线的通径：
过抛物线焦点且垂直与对称轴的弦称为抛物线的通径。由抛物线的定义知，抛物线的通径都等于。
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⑦抛物线几何性质比较：
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详解：
p的几何意义是抛物线焦点到准线距离，对于方程，当x值确定时，p值越大，也越大，此时抛物线开口越大。
4.抛物线与点的位置关系
Ⅰ、抛物线与点的位置关系：
对于抛物线而言，已知点。
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Ⅱ、判断方法：
(1)“以点代面”判断法：即在抛物线外找一特殊的点，将其坐标代入抛物线方程的左边式子，得或则判断出或的点与点在同一区域内。
(2)“关系结论”判断法：
对于抛物线而言，已知点，
若则点在抛物线上；
若则点在抛物线内；
若则点在抛物线外。
5.抛物线与直线的位置关系
Ⅰ、抛物线与直线的位置关系：
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Ⅱ、抛物线与直线位置关系的判断：
已知抛物线；，直线，联立得
，
1o 若，则方程组有唯一一组解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 抛物线与直线相交于一点；
2o 若，则 ，
当时，抛物线与直线相交于两点；当时，抛物线与直线相切于一点；当时，抛物线与直线不相交，即相离。
Ⅲ、抛物线与直线位置关系的特点研究：
1o 抛物线与直线相交于两点，若直线的斜率为，则弦长为
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2o 抛物线与直线相切于点，若抛物线方程是，
则已知切点的抛物线切线方程为
。
此外，求抛物线切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。
3o 抛物线与直线相离，则可求抛物线与直线距离最近的点，或直线与抛物线最短的距离。
设抛物线；，直线。
方法1：如图，是抛物线上任意一点，求点到直线的距离最小值，这最小值就是直线与抛物线的最短距离。即求的最小值。
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方法2：如图，平行于直线的动直线：与抛物线相切时，平行线与之间的距离就是直线与抛物线的最短距离。
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6.抛物线与圆的位置关系
只限于抛物线与圆有共同对称轴的情况，研究抛物线与圆的最短距离。
由于圆的半径是不变的，抛物线与圆的最短距离就转化为定圆的圆心
与抛物线的最短距离。
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如图，设抛物线：上点，圆：，与圆交于点，则
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求的最小值转化为求二次函数
在区间上的最小值，于是
。09空间向量及其运算
1.空间向量的概念
①向量定义：一般地，既有大小，又有方向的量叫做向量。
②相关概念：
Ⅰ、向量的模： 向量(或)的大小，就是向量(或)的长度，称为向量的模，记作||(或)。
向量与向量的模的概念表明，向量不能比大小，向量的模可以比较大小。
Ⅱ、零向量与单位向量：
长度为0的向量叫零向量，记作。规定零向量的方向是任意的。
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量，记作。
概念表明，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，而没确定的方向。
Ⅲ、相等向量、平行向量和共线向量：
⑴相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
⑵平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，记作。
规定零向量与任一向量平行，即。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
⑶共线向量：平行向量也叫做共线向量。因此，共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量。
⑷区别与联系：相等向量一定是平行向量，也一定是共线向量；反之，平行向量、共线向量不一定是相等向量。平行向量可以在同一条直线上，共线向量可以不在同一条直线上。
2.空间向量的表示
①有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。它有三个要素：起点、方向、长度。
②空间向量的表示：
Ⅰ、空间向量的几何表示：
⑴用“有向线段”表示。记作。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
⑵向量与有向线段的区别：有向线段只是向量的一种几何表示，不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”。因为向量只由方向和大小决定，而与向量起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，且与起点的位置有关。
Ⅱ、空间向量的字母表示：
⑴可用字母a，b，c，…表示，若印刷用粗黑体字母表示，若手写，则用字母a 头上加“→”来表示，如，手写体上面的箭头一定不能漏写。
⑵可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如、。
Ⅲ、空间向量的坐标表示：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量（或）在空间直角坐标系中的坐标，记作（或），叫横坐标, 叫纵坐标，叫竖坐标。
显然，。
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3.空间向量的加法运算：
（1）空间向量加法运算的定义：
如图，已知非零向量、，在空间内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和，记作，即。
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求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
⑵空间向量加法运算的几何意义：
1°向量加法的三角形法则：
向量加法定义给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
2°向量加法的平行四边形法则：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
⑶空间向量加法运算律：
1o 加法交换律： 。
2o 加法结合律： 。
4.空间向量的减法运算
⑴空间向量减法运算的定义：
1o 相反向量：规定与向量长度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，记作 。
规定：零向量的相反向量是零向量。
2o 空间向量减法运算的定义：规定
。
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
⑵空间向量的减法运算的几何意义：
1°向量减法的平行四边形法则：
如图，已知向量，作向量的相反向量，以空间一点O为起点，
以两个向量、为邻边作平行四边形OACD，则以O为起点的对角线
就是向量与的和，实质上就是向量与的差。这种作两个向量差
的方法叫做向量减法的平行四边形法则。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
2°向量减法的三角形法则： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，已知向量、，在空间内任取一点O，作，，
则=，即向量可以表示为从向量的终点指向向量的终点
的向量，这就是向量减法的几何意义，也就是向量减法的三角形法则。
⑶空间向量加减运算的坐标表示：
已知，，则
，
。
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。
5.空间向量的数乘运算
⑴空间向量数乘运算定义：
我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。它的长度与方向规定如下：
1o ；
2o 当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当λ=0时，。
⑵空间向量数乘运算的几何意义：平面向量数乘运算的几何意义是把向量沿的方向或的反方向放大或缩小。
⑶空间向量数乘运算律：
设λ、μ为实数，那么
1o 对实数的结合律： ；
2o 对实数加法的分配率：；
3o 对向量加法的分配率：。
⑷空间向量共线定理：如果向量与共线（或说），那么有且只有一个实数λ，使。
⑸直线的方向向量：如果向量与直线平行，则称向量为直线的方向向量。
⑹空间向量数乘运算的坐标表示：
若，则。
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
详解：
共面向量的判定方法：
①共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
②空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对，使得
，或对空间任一点O，有.
③上述式子也可以改写为，其中.
6.空间向量数量积运算
Ⅰ、空间向量数量积的概念：
⑴概念：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)。记作，即
。
其中θ是与的夹角，向量夹角的范围是0°≤θ≤180°。
叫做向量在方向上(或在方向上)的投影。
如图为两向量数量积的各种关系：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
⑵概念说明：
1o 零向量与任一向量的数量积为0，即。
2o 符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替。
3o 当0≤θ<时，cosθ>0，从而；当<θ≤π时，cosθ<0，从而；当θ=时，cosθ=0，从而。
Ⅱ、空间向量数量积的几何意义：
向量的数量积的几何意义为数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。
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Ⅲ、空间向量数量积的运算性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量，则
⑴；
⑵；
⑶当与同向时，；当与反向时，；
特别地或；
⑷ ；
⑸ 。
Ⅳ、空间向量数量积的运算律：
设向量和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
⑴(交换律)；
⑵ (数乘结合律)；
⑶ (分配律)。
Ⅴ、空间向量数量积的坐标表示：
设，则
。
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
7.空间向量数量积运算的应用
⑴求证垂直：求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直。
若设两直线的方向向量分别为，则
⑵求向量的模：若，则
。
⑶求两直线的夹角：求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角。
若设两直线的方向向量分别为，则
。
⑷求两点间的距离：求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度，即求向量的模。
若，则
。
⑸求平面的法向量：
1o 平面的法向量：如果，那么向量叫做平面的法向量。
2o 求平面的法向量：
设非零向量，使得，不共线，若非零向量为平面的法向量，则
。
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
令（,可取使尽量简单的常数值），则法向量
。
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⑹求空间点面距离：
如图，设平面的法向量及平面上一点A，则点P到
平面的距离d为
。
用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线，不要求找到垂足就可以求得点面距离。
⑺求线面所成的角：
设直线L的方向向量为平面的法向量为，向量与的夹角为，直线L与平面所成的角为，则，
。
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⑻求空间二面角：
设平面α的法向量为，平面β的法向量为，向量所成的角为，
若， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则
。
那么二面角的大小为或，视具体情况而定（如图）。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
8.空间向量基本定理
①空间向量基本定理：
Ⅰ、空间向量基本定理：如果是空间中三个不共面的单位向量，那么对于空间中任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组，使得
。
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Ⅱ、定理说明:
⑴不共面向量叫做表示空间中所有向量的一组基底，
基底不唯一，关键是不共面；
⑵由空间向量基本定理可将空间中任一向量在给定基底的
条件下进行分解，分解的形式是唯一的。
②空间向量的正交分解：
Ⅰ、关于向量的夹角：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 如图，已知两个非零向量a和b，作，，
则叫做向量与的夹角。
显然，当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反向。因此，两非零
向量的夹角在区间[0°,180°]内。
Ⅱ、垂直向量：如果与的夹角是90°，则说向量与垂直，记作⊥。
Ⅲ、空间向量的正交分解：
如果是空间中三个两两垂直的单位向量，
那么对于空间中任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组，使
。
这样把空间中任意一个向量分解为三个两两垂直的向量，叫做空间向量的正交分解。
空间向量的正交分解是空间向量分解中非常重要的一种情形，它构建了空间向量及运算的坐标表示。
9.空间向量的坐标表示
Ⅰ、空间直角坐标系：
⑴若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用表示。
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⑵在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以
的方向为正方向建立轴、轴、轴三个坐标轴．则称建立了一个空间
直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标
轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面， 平面。
Ⅱ、空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作， 叫横坐标, 叫纵坐标， 叫竖坐标。
显然，。
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Ⅲ、向量坐标表示的说明:
⑴向量与有序实数对一一对应。
⑵向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系。
如图，是表示向量的有向线段，若点B、C的坐标分别为 ，，则向量的坐标为：。
⑶若把坐标原点作为表示向量的有向线段的起点，则向量的坐标就由表示向量的有向线段的终点坐标唯一确定，即点A的坐标就是向量的坐标。即
。
⑷若，，则。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
⑸线段的中点坐标：
若，，则线段AB的中点坐标为。
即线段的中点坐标等于线段两端点坐标的平均值。
10.空间向量的坐标运算
Ⅰ、空间向量的坐标运算：
设向量，，则
，
，
。
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
Ⅱ、向量模的坐标运算：
将向量平移，使得点A与坐标原点O重合，则平移后的B点位置就是P点。向量的坐标是以原点为始点，点P为终点的向量坐标，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。因此，向量的模与向量的模是相等的。由此可得向量模的坐标运算公式，即平面内两点间的距离公式：
。
Ⅲ、向量坐标与有向线段始终点坐标的关系：
。
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
11.向量共线的坐标表示
Ⅰ、设向量，其中，
由得 (x1 ，y1 ，z1 )= λ(x2 ，y2 ，z2 ) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/4f9a576eec0047a3994294d258151ab4/bd68b8fda7e54f03b4f5b84e65e7dc8e.004.png" \* MERGEFORMATINET
即的充要条件是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/4f9a576eec0047a3994294d258151ab4/bd68b8fda7e54f03b4f5b84e65e7dc8e.006.png" \* MERGEFORMATINET 。
Ⅱ、若向量，则 是向量a、b共线的充分不必要条件。
Ⅲ、向量共线的充要条件有两种形式： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "http://f1./edu_mobile_upload/4f9a576eec0047a3994294d258151ab4/bd68b8fda7e54f03b4f5b84e65e7dc8e.009.png" \* MERGEFORMATINET
12.空间向量数量积的坐标表示
Ⅰ、空间向量数量积的坐标表示：
设向量，则
。
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
Ⅱ、向量模的坐标表示：
若向量，则 ，或。
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，则
。
Ⅲ、两向量垂直的坐标表示：
设向量a=(x1 ，y1 ，z1 )，b=(x2 ，y2 ，z2 )，则
。
Ⅳ、两向量夹角的坐标表示：
设a、b都是非零向量，a=(x1 ，y1 ，z1 )，b=(x2 ，y2 ，z2 )，θ是a与b的夹角，则
。
13.空间向量的应用
①研究几何的主要方法：
研究几何的方法主要有：
Ⅰ、综合方法——不使用其他工具，利用几何的公理化体系对几何元素及其关系直接进行讨论、论证。
Ⅱ、解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论、论证。
Ⅲ、向量方法——以向量和向量的运算（含向量的坐标运算）为工具，对几何元素及其关系进行讨论、论证。
②空间几何中的向量方法：
几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
③向量方法的步骤（简称“三步曲”）：
向量方法的“三步曲”可以简结地表述为：
。即
Ⅰ、建立空间几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将空间几何问题转化为向量问题；
Ⅱ、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
Ⅲ、把运算结果“翻译”成几何关系。
空间几何中涉及距离、夹角、平行、垂直等问题，用向量方法容易解决。
