02导数的计算
1.几个幂函数的导数
几个幂函数的导数：
1 常数函数的导数为0：
2 恒等函数导数为1：
3
4
5
详解：
要牢记这几个幂函数的导数，在做题时可以直接使用
2.一些初等函数的导数公式
一些初等函数的导数公式（公式对函数定义域内的自变量x有效）：
（1）（C为常数）；
（2）；
（3）；
（4）（且）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
（10）
详解：
同学们要牢记这些初等函数的导数公式，为后面求复合函数的导数以及今后的进一步学习打下坚实的基础。
3.导数的运算法则
导数运算法则表：
（1）（c为常数）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
详解：
无07推理与证明
1.归纳
定义：有一系列有限的特殊事例 ( http: / / www.21cnjy.com )得出一般结论的方法的推理方法叫做归纳。
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
详解：
尽管由归纳推理得到的结论未必是可靠的，还 ( http: / / www.21cnjy.com )需进一步检验，但是它由特殊到一般，有具体到抽象的认识功能，对于科学的发现确实十分有用的。观察、试验、对有限的资料进行归纳整理，提出猜想，乃是科学研究的最基本的方法之一。
归纳有以下特点：
⑴归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；
⑵归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因为结论具有猜测的性质。
⑶归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足与观察、经验或实验的基础上的。
类比：类比是根据两个不同的对象在某方面的相似 ( http: / / www.21cnjy.com )之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处。
类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
详解：
无
3.演绎推理
演绎推理：
1.演绎推 ( http: / / www.21cnjy.com )理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
2.“三段论”是演绎推理的一般模式
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
3.“三段论”可以表示为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结论：S是P
详解：
无
实例：
已知空间四边形ABCD中，点E,F分别是AB, AD的中点.求证：. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
证明：连接BD
∵点E,F分别是AB, AD的中点，
∴
又∵，，
∴
4.“三段论”
从推理形式上看，归纳是 ( http: / / www.21cnjy.com )由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明。演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的证明，往往是由多个“三段论”构成的.在本题中其实暗含着两个“三段论”。
详解：
数学中的合情推理有多种多样，最常见的就是归纳和类比。
5.综合法与分析法
1.综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
2.分析法：一般地，从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种证明的方法叫做分析法。
用表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显成立的条件
详解：
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论.若由可以推出成立，就可以证明结论成立。
用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：
→→…→ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ←…←←
实例：
已知且①；
②，求证：.
证明：因为所以将①②代入上式，可得……③
另一方面，要证，
即证， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
即证，
即证，
即证.
由于上式与③相同，于是问题得证.
6.反证法
反证法：一般地，假设原命题不 ( http: / / www.21cnjy.com )成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
详解：
一般直接证明较困难的，采用反证法， ( http: / / www.21cnjy.com )反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具。所说的矛盾，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况。
应用反证法证明的一般步骤：反设——归谬——结论
在应用反证法证明时，必须按“反设——归谬——结论”的思路进行，这就是应用反证法的三步曲，但叙述上可以简略每一步的名称。
7.数学归纳法
在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：
1 证明时命题成立；
2 证明：如果时命题成立，那么时命题也成立。
我们有(1)(2)作依据，根据(1),知时命题成立，再根据(2)知时命题成立，再依据(2)知时命题成立，这样延续下去，就可以知道对任何正整数n命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法。
详解：
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
1 证明当n取第一个值（例如等）时结论正确；
2 假设当时结论正确，证明当时结论正确。
在完成这两个步骤后，可以判定命题对于从开始的所有正整数n都正确。03导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性
函数y= f(x)在某个区间内可导，
（1）若，则y= f(x)在这个区间内单调递增；
（2）若，则y= f(x)在这个区间内单调递减。
详解：
反之，如果函数y= f(x)在区间内递增（或递减），则在该区间内（或）。
2.函数的极值
设f(x)在点附近有定义，若对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点。
详解：
（1）极大值点、极小值点统称极值点 ( http: / / www.21cnjy.com )，极大值和极小值统称为极值。
（2）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，因此极大值可以比极小值小，极小值可以比极大值大。
3.求可导函数f(x)的极值的步骤
求可导函数f(x)的极值的步骤：
（1）求导数；
（2）求f(x)的驻点，即求方程的实根；
（3）检查在驻点左右的符号，如果在驻点的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y= f(x)在这个极处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右面侧附近为正，那么函数y= f(x)在这个根处取得极小值；
（4）如果在驻点的左侧附近与右侧附近同号，那么f(x)在这个驻点处无极值。
详解：
可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数，当时就不是极值点，但.
4.求可导函数单调区间的一般步骤和方法
求可导函数单调区间的步骤：
（1）确定y= f(x)的定义域；
（2）求导数；
（3）求出的根，将f(x)的定义域分成若干区间，考查这若干区间内的符号，进而确定f(x)的单调区间。
详解：
符号为正的是单调递增区间，符号为负的是单调递减区间。
5.函数的最值
设函数y= f(x)是定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )区间[a，b]上的函数y= f(x)在区间（a,b）内有导数，求y= f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求y= f(x)在（a,b）内的极值；
（2）将y= f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
详解：
（1）若函数y= f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y= f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值；
（2）图象连续不间断地函数在开区间（a,b）上不一定有最大（或最小）值；如果图象连续不间断的函数在开区间（a,b）内只有一个极值，则该极值就是最值。05定积分的概念
1.曲边梯形的面积
求曲边梯形面积的解题过程：
1 分割：将区间等分成n个小区间；
2 近似代替：过各分点做x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，小区间长度为底作矩形，于是得到各个小矩形的面积。
3 求和：将所得到的这些小矩形的面积全部加起来，记为S
4 取极限：当时，和式无限趋于某个值，这个值就是曲边梯形的面积。
详解：
无
2.变力所做的功
求变力所做的功的解题过程：
1 分割：将区间等分成n个小区间；
2 近似代替：过各分点做x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，小区间长度为底作矩形，于是得到各个小矩形的面积。
3 求和：将所得到的这些小矩形的面积全部加起来，记为S
4 取极限：当时，和式无限趋于某个值，这个值就是变力所做的功。
详解：
无
3.定积分的概念
通过4.5.1曲边梯形面积的计算,4.5.2变力所做的功的计算以及圆锥体积的计算，其数学模型都是一样的，都相当于计算一个函数f(x)在某个区间
[a，b]上的曲边梯形面积。这曲边梯形面积也叫做f(x)在区间[a，b]上的定积分，记号为.
式中的变量x可以换成任意字母，意义不变，a和b分别叫做定积分的下限和上限，f(x)叫作被积函数，[a，b]叫作积分区间。
详解：
前面考虑的问题中被积函数都是正的，定积 ( http: / / www.21cnjy.com )分的值Q也是正的，如果被积函数是负的，函数曲线在横坐标轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形面积，当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是横坐标轴纸上的正的面积和横坐标轴之下的负的面积的代数和。
4.定积分的数学定义
定积分的数学定义：
设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点，
，记小区间为，其长度为，记作，中最大的记作d，再在每个小区间上任取一点代表点，做和式：
如果（不论如何取分点和代表点）当d趋于0时和式以S为极限，就说函数f(x)在上[a，b]可积，并且说S是f(x)在[a，b]的定积分，记作.
“当d趋于0时和式以S为极限”，意思是“当d越来越小时，和式越来越接近于S，要多接近，就有多接近”。
定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形面积。一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。
详解：
定积分是一个常数
用定义求定积分的一般方法：
1 分割；
2 近似代替；
3 求和；
4 取极限04生活中的优化问题举例
1.生活中的优化问题
优化问题的定义：生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，称为优化问题。
详解：
解决实际应用问题的程序：读题、建模、求解 ( http: / / www.21cnjy.com )、反馈。
（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，将其转化成函数关系式，确定自变量的定义域；
（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义。
（3）实际问题的最值中不考虑端点的函数值，因为有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值。06微积分基本定理
1.微积分基本定理
微积分基本定理：
如果f(x)在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可微并且，则
.
详解：
计算上的定积分的步骤：
1 化整为零，插入等分点；
2 以直代曲，估计误差；
3 积零成整，精益求精；08复数
1.数系的扩充
数系的扩充的具体做法：
引进一个新的数，用符号i来代表，它满足条件，并且规定这个新的数i可以按照我们数系的运算法则以及一个新的法则与实数进行运算，产生一批新的数，与原来的全体实数一起组成一个新的数系。
详解：
无
2.复数的相关概念
（1）复数：形如的数叫复数，其中i为虚数单位，a叫实部，b叫虚部。
（2）共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 v:shapes="_x0000_i1030">的共轭复数用表示。
（3）在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且.
（4）对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数。
详解：
数集之间的关系可用下页图表示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3.复数的四则运算
复数的四则运算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
详解：
无
4.复数的几何表示
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
详解：
（1）相等的向量对应着同一个复数；
（2）虚数不能比较大小。
5.复数的模
复数在复平面上对应的向量的模叫做复数z的模，即.
虚数单位i的运算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
详解：
，即复数z的模等于点到原点O的距离，一般地，即为复平面上点到的距离。
6.共轭复数的性质
设，则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
详解：
无01变化率与导数
1.求自由落体的瞬时速度
若物体的运动方程为，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度在d趋于0时的极限。
详解：
物体在某个时刻t的瞬时速度为.
2.求抛物线上任意一点的斜率
求作抛物线上P点的斜率的方法：
详解：
利用求出极限后，利用点在点斜式就可以求出抛物线上任意一点的切线方程。
在学习导数的概念之后，我们可以得到求曲线切线方程的一般步骤：
求曲线切线方程的步骤：
（1）求导数；
（2）求斜率；
（3）写出切线的方程.
注意：点必须在曲线上，当该点不在曲线上时，不能采取上述的步骤。
3.平均变化率
在函数y=f(x)中，如果自变量x在处有增量，那么函数相应的有增量，其比值就叫做函数y=f(x)在到之间的平均变化率。
详解：
由公式原理可知：函数y=f(x)在到之间的平均变化率为
.
4.导数的概念
若函数y=f(x)在处可导，则其导数为：
.
详解：
函数y=f(x)的导数，就是当自变量x在处有增量时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，也可称为函数y=f(x)在处的瞬时变化率。记作或.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说函数在开区间(a,b)内可导，由这些导数值构成的函数叫做y=f(x)在开区间(a,b)内的导函数（简称导数）。
5.导数的几何意义
函数y=f(x)在点处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。
详解：
这里强调的是只是在点处的切线，这条切线跟函数y=f(x)的图像未必只有一个交点。
