贵州省镇远县文德民族中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

文德民族中学校2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章～第七章7.1.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量，则点对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. 1 B. C. 0 D.
3. 不等式，解集为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列向量关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（ ）
A. 边所直线上 B. 边所在直线上
C. 边所在直线上 D. 的内部
8. 在中，若，，则形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在中，若，则a的值可以为（ ）
A. B. C. · D.
11. 已知向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则等于________.
14. 已知，，若，则_______.
15. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______.
16. 已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知角的终边经过点.
（1）求，，；
（2）求，，.
18. 已知向量均单位向量，且.
（1）求与夹角的大小；
（2）求的值.
19. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20. 已知二次函数对任意x都有，且的图象与x轴的两个交点间的距离为6.
（1）求的解析式；
（2）设，若在上是减函数，求的最小值.
21. 在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，的面积为，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的周长.
22. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围.
文德民族中学校2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷 答案解析
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章～第七章7.1.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量，则点对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义直接求解作答.
【详解】因为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量，
则点对应的复数为.
故选：B
2. （ ）
A. 1 B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式直接求得.
【详解】.
故选：B.
3. 不等式，的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出的图象即可求不等式的解集.
【详解】如图所示，是函数的图象
由图可得，的解集为.
故选：C.
4. 下列向量关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量概念与线性运算法判断即可；
【详解】解：根据向量的概念可得A、B错误，对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到，根据平移法则得到答案.
【详解】,
要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
6. 由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分成六个等边三角形，计算面积和.
【详解】因为正六边形的边长为，所以正六边形可以分成六个等边三角形，
所以面积.
故选：D.
7. 已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（ ）
A. 边所在直线上 B. 边所在直线上
C. 边所在直线上 D. 的内部
【答案】B
【解析】
【分析】根据，利用平面向量的线性运算转化为，再利用平面向量共线定理求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以点P在边所在直线上．
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.
8. 在中，若，，则形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.
【详解】因为,
所以,
因为
所以，
所以，可得或，
又因为，,
所以
所以，，，
所以为等边三角形.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质可逐项判断最小正周期和单调性即可.
【详解】函数的最小正周期，时，，则函数在区间上不单调，故A不符合；
函数的最小正周期，时，，则函数在区间上单调递增，故B符合；
函数最小正周期，故C不符合；
函数的最小正周期，时，函数单调递增，故D符合.
故选：BD.
10. 在中，若，则a的值可以为（ ）
A. B. C. · D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据余弦定理，直接计算求值.
【详解】根据，得，
即，解得：或.
故选：AB
11. 已知向量，，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，与共线向量的坐标关系，即可判断是否为共线向量，即可判断A，B；利用坐标运算求解向量的模长，即可判断C，D.
【详解】已知向量，，
则，所以，故，故A正确；
则，故，故B正确；
又，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则等于________.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】由两角差的正切公式得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
14. 已知，，若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的平行的坐标关系列方程求解得的值.
【详解】已知，，若，则，所以.
故答案为：.
15. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据投影向量公式求得结果即可.
【详解】在上的投影向量为，
所以4.
故答案为：4.
16. 已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】化简，原题等价于函数与函数的图象的交点个数为1，做出图像，数形结合，即可得答案.
【详解】利用辅助角公式，化简可得，
方程仅有一个实数根，等价于函数与函数的图象的交点个数为1，结合图象可知，
当时，m的最大值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知角的终边经过点.
（1）求，，；
（2）求，，.
【答案】（1），
（2），，
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解，，的值；
（2）由（1）中值结合二倍角公式与商数关系，即可求得，，的值.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，；
【小问2详解】
由（1）可得，
，则.
18. 已知向量均为单位向量，且.
（1）求与夹角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的模长与数量积的运算法则化简可得的值，根据两个向量夹角余弦值运算公式求值，即可得与夹角的大小；
（2）根据数量积求解模长即可.
【小问1详解】
由题知，则，
所以 ，故，
又，所以，即与夹角的大小为；
【小问2详解】
由（1）得.
19. 已知，.
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过解方程组得出，再根据上述关系求得.
（2）先根据诱导公式化简，再代入得出结果.
【小问1详解】
已知，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
.
20. 已知二次函数对任意的x都有，且的图象与x轴的两个交点间的距离为6.
（1）求的解析式；
（2）设，若在上是减函数，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称性和两根之间的距离即可解答；
（2）求出的解析式，利用二次函数的单调性即可解答．
【小问1详解】
，
关于对称，
，．
设方程的两根为，，则：，，
又，
，
解得：，
．
【小问2详解】
，
当时，，满足题意．
当时，，开口向上，对称轴为，
又在，上是减函数，，
解得：，
的最小值为．
当时，，开口向下，对称轴为，
又在，上是减函数，
，解得：，
综上当在，上是减函数时，，，
的最小值为：．
21. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面积公式可得，即可得证；
（2）由余弦定理及（1）的结论可得，再由正弦定理将边化角，即可得到或，再分类讨论，得到，则，再由求出，即可得解；
【小问1详解】
证明：因为，所以，又，
所以，则，即，
所以；
【小问2详解】
解：由余弦定理，，
由（1）得，所以，即，由正弦定理可得，
在锐角中，所以，，所以或，
若，则，所以，，与为锐角三角形矛盾，舍去；
所以，故，即，所以，解得，，
所以的周长为.
22. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，结合函数的解析式和奇函数的性质可得函数的解析式；
（2）首先确定函数的单调性，结合函数的单调性转化为对任意的，恒成立，结合二次函数的性质可得的取值范围.
【小问1详解】
函数是定义在R上的奇函数，所以，解得.
当时，，
当时，，
所以.
小问2详解】
当时，，单调递增，
因为在上是增函数，又为奇函数，所以在R上单调递增.
因为为奇函数，，
所以，即，
则对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立.
当时，取最大值，所以.
故的取值范围是.