2022-2023学年度第二学期第一阶段质量检测
高一数学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2. 若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】因为，所以，即，
设量、的夹角为，则，
因为，所以.
故选：B
3. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可.
【详解】
故选:C.
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化为关于的二次齐次式，然后弦化切代入计算．
【详解】，则，
故选：B．
5. 在中，已知D是AB边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的减法运算即可得到答案．
【详解】由可得
则有，
可得，所以
故选：B
6. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
故选：C.
7. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.
【详解】由题可知，
∵点F在BE上，
∴，
∴．
∴，．
∴．
故选：C．
8. 对于函数，若存在非零常数，使，则称点是曲线的“优美点”.已知则曲线的“优美点”个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求函数关于原点对称的函数的解析式，通过函数图像可得交点个数，即可得到结论.
【详解】若关于原点对称的函数为，
在同一直角坐标系中画出和的图象，
此时有两个“优美点”，满足，如图1.
若关于原点对称的函数为，
在同一直角坐标系中画出和的图象，
此时有两个“优美点”，满足，如图2.
综上，可知满足题意的“优美点”有4个.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 空间中所有的单位向量都相等
B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C. 若满足，且同向，则
D. 对于任意向量，必有
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的基本概念即可求解.
【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：
长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；
对于B：根据相反向量的定义可知B正确；
对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；
对于D：根据三角形三边关系知正确；
故选：BD.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】，，由于，
所以，所以A选项正确，B选项错误.
，
当时，得，所以关于对称，C选项正确，
，
当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.
故选：ACD
11. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A. 函数是奇函数 B. ，
C. 函数是偶函数 D. ，，
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：若是有理数，可得，可知不是奇函数；选项B：当时，符合题意；选项C：分两种情况讨论得，由偶函数的定义判断；选项D：分两种情况讨论，若是有理数，得；若是无理数，得.
【详解】若是有理数，则也是有理数，可得，则不是奇函数，故A错误；
当时，，，，此时，故B正确；
若是有理数，则；若是无理数，，则，又，则，因此，所以函数是偶函数，故C正确；
若是有理数，，则均是有理数，故；若是无理数，，则均是无理数，故，所以，，，故D正确．
故选：BCD.
12. 设正实数a，b满足，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为2 D. 的最小值为8
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.
【详解】正实数a，b满足，
对于A，，
当且仅当，即时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则点M的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.
【详解】解：由题意得，所以.
设，则，
所以，解得 ，
故点M的坐标为.
故答案为：
14. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.
故答案为：.
15. 若关于x不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
16. 若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，将问题转化为在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数可构造不等式组求得结果.
【详解】；
若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解，
当时，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其他5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；
（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.
【小问1详解】
由已知可得，.
所以有，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
又，
所以，
所以与的夹角为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位圆于、两点，已知、两点的横坐标分别为和.
（1）求、的值；
（2）求、的值；
【答案】（1），.
（2）；
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，根据三角函数的定义即可求得答案；
（2）利用二倍角公式求得，根据两角和的正余弦公式即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得的坐标分别为，
故，.
【小问2详解】
因为、为锐角，结合（1）可得，.，
故；
，
故.
19. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）当时，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代换法可求得单调递减区间；
（2）根据正弦型函数的值域可求得的解集，结合可求得结果.
【小问1详解】
；
令，解得：，
的单调递减区间为.
【小问2详解】
由得：，
，解得：，
分别取和得：和，
则当时，的解集为.
20. 已知函数（其中）的图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图像得到A=1，，进而求得，再由点在图像上求解；
（2）利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
解：由图像知：A=1，，则，，
所以，
因为点在图像上，所以，
所以，解得，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
解：由题意得，
因为，则，
所以，当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值
所以，即的值域为.
21. 党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【解析】
【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.
（2）建立获利和对A投资的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.
【小问1详解】
设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
【小问2详解】
设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
22. 函数定义在上的奇函数.
（1）求m的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由 即可得解；
（2）由定义证明单调性即可；
（3）根据函数的奇偶性和单调性求解即可.
【小问1详解】
解法1：因为为定义在上的奇函数，
所以，所以，
得，即.
因为，所以，即.
解法2：因为为定义在上的奇函数，
所以.
当时，，
所以.
【小问2详解】
在上单调递增.
由（1）得.
任取，
由于，又,所以，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）得函数在上单调递增，且为奇函数，
所以不等式等价于
等价于，
等价于，
等价于
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为空集.2022-2023学年度第二学期第一阶段质量检测
高一数学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知则（ ）
A. B. C. D.
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，已知DAB边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 对于函数，若存在非零常数，使，则称点是曲线的“优美点”.已知则曲线的“优美点”个数为（ ）
A 1 B. 2 C. 4 D. 6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 空间中所有的单位向量都相等
B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C. 若满足，且同向，则
D. 对于任意向量，必有
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增
11. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A. 函数是奇函数 B. ，
C. 函数是偶函数 D. ，，
12. 设正实数a，b满足，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为2 D. 的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则点M的坐标为______.
14. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．
15. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
16. 若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其他5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角．
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位圆于、两点，已知、两点的横坐标分别为和.
（1）求、的值；
（2）求、的值；
19. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）当时，求不等式的解集．
20. 已知函数（其中）的图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．
21. 党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
22. 函数定义在上的奇函数.
（1）求m的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式.
