人教版八年级下册18.2.3 正方形 同步练习（含答案）

18.2.3 正方形 同步练习
班级：_________ 姓名：_________ 学号：__________
选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
2．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（　　）
A．cm B．cm C．8cm D．10cm
4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ).
A．22.5° B．45° C．30° D．135°
6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
8．如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
10．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）
A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
二、填空题（本大题共6小题，在横线上填上合理的答案）
11．若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．
12．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．
13．如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加________（写出一个合适的条件即可）
14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．
16．如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
19．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．
20．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
21．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．
22．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示．
根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论∶若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a ____ b 时，ab取得最大值．
拓展： 如图所示，在正方形的四边上分别取点，使得，
（1）求证：四边形是正方形．
（2）若，求证四边形是正方形．
答案：
1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．8
13．（答案不唯一） 14． 15．①②③ 16．16
17．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
18．（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．
理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵AP′=AP′，
∴△ABP′≌△ADP′，
∴BP′=DP′，
∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，
即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
（2）
解：由（1）得：B P′=DP′，
∴P′B＋P′E＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6．
∴AD＝AB＝8．
∴DE＝＝10．
∴PB＋PE的最小值是10．
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
19．证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
21．（1）由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
22．∵由“赵爽弦图”知，大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和，
即，
∴，
∴当a=b时，ab取得最大值，且最大值为；
故答案为：=；
拓展：
（1）在正方形中，，
，
又，
，
．
，
，
，
四边形是正方形．
（2），且，
四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，
，
，
，且，
四边形为正方形．